Боровков А. А.
Оценки для распределения сумм и максимумов сумм случайных величин при невыполнении условия Крамера
Borovkov A. A.
Estimates for the distribution of sums and maxima of sums of random variables without the Cramer condition

Пусть $X_1,X_2,\ldots$ --- независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения $F(t)$, $$ S_k=\sum_{j=1}^k X_j,\quad \overline{ S}_n(a)=\max\limits_{k\leq n}(S_k-a k). $$ Получены близкие к правильным оценки сверху и снизу для $\bold{P}(S_n>x)$, $\bold{P}(\overline{ S}_n(a)>x)$ при $x\to \infty$, $a\geq 0$, а также оценки для $\bold{P}(\overline{ S}_n(a)>x; B(v))$, где $$ B(v)=\bigcap_{j=1}^n\{X_j\leq y+v g(j)\}, \quad v\geq 0, $$ при подходящих функциях $g$. Относительно распределения $F$ предполагается, что <<хвосты>> $F(-t)$ и $1-F(t)$, $t\to \infty$, мажорируются или минорируются правильно меняющимися функциями либо вида $x^{-\beta} L(x)$, где $L(x)$ --- медленно меняющаяся функция, либо вида $e^{-x^\alpha L(x)}$, $\alpha\in (0,1)$. В качестве следствий установлены относительная равномерная сходимость распределений сумм к устойчивому закону и закон повторного логарифма для последовательности $\{S_n\}$ в случае $\bold{E}X_j^2=\infty$.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (635 KB)
• PostScript file (1,2 MB)