Романов В. Г.
Оценка устойчивости решения в двумерной обратной задаче электродинамики

Рассмотрена задача об определении трех коэффициентов c(x), σ(x), q(x) в гиперболическом уравнении. При этом коэффициент c(x) стоит перед оператором Лапласа, σ(x) — перед первой производной по времени, а q(x) — перед младшим членом. К такой задаче приводится обратная задача электродинамики об определении электродинамических параметров изотропной среды в предположении, что свойства среды и внешний ток не зависят от одной из координат. Предполагается, что коэффициенты c(x)-1, σ(x), q(x) малы в некоторой норме и носитель их содержится внутри некоторого круга B. Это эквивалентно предположению, что электродинамические параметры среды близки к постоянным. Принимается, что источник, инициирующий колебания, имеет вид импульсной функции δ(t),δ(x · ν), локализованной на множестве t=0, x · ν=0. Здесь ν — единичный вектор, играющий роль параметра задачи. Электромагнитное поле, вызванное этим источником, приложенным вне B, измеряется в точках границы области B на некотором временном интервале фиксированной длины T, отсчитываемом с момента прихода сигнала от источника для трех различных значений параметра ν. Доказано, что при достаточно большом T задаваемая информация однозначно определяет искомые коэффициенты. Получена оценка условной устойчивости решения рассматриваемой задачи.

Romanov V. G.
A stability estimate for a solution to a two-dimensional inverse problem of electrodynamics

We consider the problem of finding the three coefficients c(x), σ(x), and q(x) in a hyperbolic equation. Here c(x) is the coefficient at the Laplace operator, σ(x) is the coefficient of the first time derivative, and q(x) is the coefficient of the lower-order term. The problem results from the inverse electrodynamic problem of finding the electrodynamic parameters of an isotropic medium under the assumption that the properties of the medium and the exterior current are independent of one coordinate. We suppose that the coefficients c(x)-1, σ(x), and q(x) are small in some norm and their supports are contained in some disk B. This is equivalent to the assumption that the electrodynamic parameters of the medium are close to constants. We suppose that the source initiating oscillations has the form of the impulse function δ(t),δ(x · ν) localized on the set t=0, x · ν=0. Here ν is a unit vector playing the role of a parameter of the problem. The electromagnetic field excited by this source applied outside B is measured at points of the boundary of the domain B on some time interval of a fixed length T counted from the moment of arrival of the signal from the source for three different values of the parameter ?. It is proven that, for a sufficiently large T, these data determine the sought coefficients uniquely. We obtain a conditional stability estimate for a solution to the problem.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (482 KB)
• PostScript file (914 KB)