Петроградский В. М., Смирнов А. А.
Перечисление максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли

Пусть L — конечно порожденная ограниченная алгебра Ли над конечным полем F_q. Обозначим через a_n(L) число ограниченных подалгебр H ⊆ L таких, что dim_Fq L/H = n, n ≥ 0. Пусть ã_n(L) — число подалгебр, которые дополнительно удовлетворяют условию максимальности. Для свободной ограниченной алгебры Ли L = F_d ранга d ≥ 2 установлена асимптотика для ã_n(F_d) и показано, что она совпадает с асимптотикой для a_n(F_d), найденной первым автором ранее. Подход основан на изучении действий ограниченных алгебр дифференцированиями на кольцах срезанных многочленов. Установлено, что максимальным подалгебрам соответствуют так называемые примитивные действия. Полученный результат означает, что «почти все» ограниченные подалгебры конечной коразмерности H ⊂ F_d максимальны. Он аналогичен соответствующим результатам для свободных групп и свободных ассоциативных алгебр.

Petrogradskii V. M., Smirnov A. A.
Enumeration of maximal subalgebras in free restricted lie algebras

Given a finitely generated restricted Lie algebra L over the finite field F_q, and n ≥ 0, denote by a_n(L) the number of restricted subalgebras H ⊆ L with dim_Fq L/H = n. Denote by ã_n(L) the number of the subalgebras satisfying the maximality condition as well. Considering the free restricted Lie algebra L = F_d of rank d ≥ 2, we find the asymptotics of ã_n(F_d) and show that it coincides with the asymptotics of a_n(F_d) which was found previously by the first author. Our approach is based on studying the actions of restricted algebras by derivations on the truncated polynomial rings. We establish that the maximal subalgebras correspond to the so-called primitive actions. This means that “almost all” restricted subalgebras H ⊂ F_d of finite codimension are maximal, which is analogous to the corresponding results for free groups and free associative algebras.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (475 KB)
• PostScript file (855 KB)