Бородин О. В., Иванова А. О.
Комбинаторное строение граней в триангулированных 3-многогранниках с минимальной степенью 4

В 1940 г. Лебег доказал, что каждый 3-многогранник с минимальной степенью не менее 4 содержит 3-грань, набор степеней вершин которой мажорируется одной из следующих последовательностей: (4, 4, 1), (4, 5, 19), (4, 6, 11), (4, 7, 9), (5, 5, 9), (5, 6, 7). Это описание было усилено Бородиным (2002) следующим образом: (4, 4, 1), (4, 5, 17), (4, 6, 11), (4, 7, 8), (5, 5, 8), (5, 6, 6).
Для триангуляций с минимальной степенью не менее 4 Йендроль (1999) дал такое описание граней: (4, 4, 1), (4, 5, 13), (4, 6, 17), (4, 7, 8), (5, 5, 7), (5, 6, 6).
Мы даем следующее описание граней в плоских триангуляциях (в частности, для триангулированных 3-многогранников) с минимальной степенью не менее 4, в котором все параметры неулучшаемы и достигаются независимо от других: (4, 4, 1), (4, 5, 11), (4, 6, 10), (4, 7, 7), (5, 5, 7), (5, 6, 6).
Попутно опровергается гипотеза Йендроля (1999) о комбинаторном строении граней в триангулированных 3-многогранниках.

Borodin O. V., Ivanova A. O.
Combinatorial structure of faces in triangulated 3-polytopes with minimum degree 4

In 1940, Lebesgue proved that every 3-polytope with minimum degree at least 4 contains a 3-face for which the set of degrees of its vertices is majorized by one of the entries: (4, 4,∞), (4, 5, 19), (4, 6, 11), (4, 7, 9), (5, 5, 9), and (5, 6, 7). This description was strengthened by Borodin (2002) to (4, 4,∞), (4, 5, 17), (4, 6, 11), (4, 7, 8), (5, 5, 8), and (5, 6, 6).
For triangulations with minimum degree at least 4, Jendrol’ (1999) gave a description of faces: (4, 4,∞), (4, 5, 13), (4, 6, 17), (4, 7, 8), (5, 5, 7), and (5, 6, 6).
We obtain the following description of faces in plane triangulations (in particular, for triangulated 3-polytopes) with minimum degree at least 4 in which all parameters are best possible and are attained independently of the others: (4, 4,∞), (4, 5, 11), (4, 6, 10), (4, 7, 7), (5, 5, 7), and (5, 6, 6).
In particular, we disprove a conjecture by Jendrol’ (1999) on the combinatorial structure of faces in triangulated 3-polytopes.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file