Бородин О. В., Иванова А. О.
Высота малых граней в 3-многогранниках без треугольников

Высота h(f) грани f в 3-многограннике есть максимальная степень инцидентных грани f вершин. 4-Грань называется пирамидальной, если она инцидентна не менее чем трем 3-вершинам. Заметим, что в полуправильном (3, 3, 3, n)- многограннике каждая грань f является пирамидальной и имеет h(f) = n.
В 1940 г. Лебег доказал, что в каждом четыреангулированном 3-многограннике без пирамидальных граней найдется грань f с h(f) ≤ 11. В 1995 г. эта оценка была улучшена до 10 С. В. Августиновичем и О. В. Бородиным. Недавно мы улучшили эту оценку до 8 и построили четыреангулированный 3-многогранник без пирамидальных граней, в котором h(f) ≥ 8 для каждой грани f.
Целью настоящей статьи является доказательство того, что в каждом 3-многограннике без треугольников и пирамидальных 4-граней найдется 4-грань с h(f) ≤ 10 или 5-грань с h(f) ≤ 5, причем оценки 10 и 5 неулучшаемы.

Borodin O. V., Ivanova A. O.
Heights of minor faces in triangle-free 3-polytopes

The height h(f) of a face f in a 3-polytope is the maximum of the degrees of vertices incident with f. A 4-face is pyramidal if it is incident with at least three 3-vertices. We note that in the (3, 3, 3, n)-Archimedean solid each face f is pyramidal and satisfies h(f) = n.

In 1940, Lebesgue proved that every quadrangulated 3-polytope without pyramidal faces has a face f with h(f) ≤ 11. In 1995, this bound was improved to 10 by Avgustinovich and Borodin. Recently, the authors improved it to 8 and constructed a quadrangulated 3-polytope without pyramidal faces satisfying h(f) ≥ 8 for each f.

The purpose of this paper is to prove that each 3-polytope without triangles and pyramidal 4-faces has either a 4-face with h(f) ≤ 10 or a 5-face with h(f) ≤ 5, where the bounds 10 and 5 are sharp.

DOI 10.17377/smzh.2015.56.502
Ключевые слова: плоская карта, планарный граф, 3-многогранник, структурные свойства, высота грани.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file