В. В. Асеев
Мёбиус-билипшицево однородные дуги на плоскости

>Мёбиус-билипшицевым называется $\eta$-квазимёбиусово отображение с линейной функцией искажения $\eta(t)=Kt$. Показано, что если открытая жорданова дуга $\gamma\subset\overline{\mathbb C}$ с различными концами $a,b$ однородна относительно $\mathscr F_K$ семейства мёбиус-билипшицевых автоморфизмов сферы $\overline{\mathbb C}$ c заданным $K$ , то она имеет ограниченное искривление по Рикману $RT(\gamma)$ и, следовательно, является квазиконформным образом прямолинейного отрезка. Однородность $\gamma$ относительно $\mathscr F_K$ означает, что для любых $x,y\in\gamma\setminus\{a,b\}$ существует $f\in\mathscr F_K$, у которого $f(\gamma)=\gamma$ и $f(x)=y$. Для получения верхней оценки рикманова искривления $RT(\gamma)$ вводится условие $BR(\delta)$ ограниченного вращения жордановой дуги $\gamma$, и тогда эта оценка выражается явно через $K$ и $\delta$.

V. V. Aseev
Möbius bilipschitz homogeneous arcs on the plane

A möbius bilipschitz mapping is an $\eta$-quasimöbius mapping with the linear distortion function $\eta(t)=Kt$. We show that if an open Jordan arc $\gamma\subset\overline{\mathbb C}$ with distinct endpoints $a$ and $b$ is homogeneous with respect to the family $\mathscr F_K$ of möbius bilipschitz automorphisms of the sphere $\overline{\mathbb C}$ with $K$ specified then $\gamma$ has bounded turning $RT(\gamma)$ in the sense of Rickman and, consequently, $\gamma$ is a quasiconformal image of a rectilinear segment. The homogeneity of $\gamma$ with respect to $\mathscr F_K$ means that for all $x,y\in\gamma\setminus\{a,b\}$ there exists $f\in\mathscr F_K$ with $f(\gamma)=\gamma$ and $f(x)=y$. In order to estimate $RT(\gamma)$ from above, we introduce the condition $BR(\delta)$ of bounded rotation of $\gamma$, and then the explicit bound depends only on $K$ and $\delta$.

DOI 10.17377/smzh.2016.57.302
Ключевые слова: билипшицева однородность, квазиконформная однородность, квазиконформное отображение, билипшицево отображение, квазимебиусово вложение, мёбиус-билипшицево отображение, мёбиус-билипшицева однородность, ограниченное искривление.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file