Кондратьев А. С., Маслова Н. В., Ревин Д. О.
О пронормальности подгрупп нечетных индексов в конечных простых симплектических группах

Подгруппа $H$ группы $G$ называется пронормальной, если для любого элемента $g \in G$ подгруппы $H$ и $H^g$ сопряжены в подгруппе $\langle H, H^g\rangle$. В [1] была высказана гипотеза о том, что подгруппа нечетного индекса в конечной простой группе всегда пронормальна. Недавно [2] авторы подтвердили эту гипотезу для всех конечных простых групп, за исключением $PSL_n(q)$, $PSU_n(q)$, $E_6(q)$ и ${}^2E_6(q)$, где $q$ во всех случаях нечетно и $n$ не является степенью числа $2$, а также $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$, где $q \equiv \pm 3 \pmod 8$. Однако в [3] авторами было доказано, что при $q\equiv\pm 3\pmod 8$ и $n\equiv 0\pmod 3$ простая симплектическая группа $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ содержит непронормальную подгруппу нечетного индекса. Тем самым гипотеза о пронормальности подгруппы нечетного индекса в конечной простой группе была опровергнута.
Как естественное расширение данной гипотезы возникает проблема классификации конечных неабелевых простых групп, в которых любая подгруппа нечетного индекса пронормальна. В настоящей работе продолжается изучение этой проблемы для симплектической простой группы $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ при $q \equiv \pm 3 \pmod 8$ (в отсутствие этого ограничения подгруппы нечетных индексов пронормальны). Доказано, что если $n$ не является числом вида $2^m$ или $2^m(2^{2k}+1)$, то данная группа содержит непронормальную подгруппу нечетного индекса. Доказано, что если $n=2^m$, то все подгруппы нечетных индексов в группе $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ пронормальны. Для случая $n=2^m(2^{2k}+1)$ и $q \equiv \pm 3 \pmod 8$ вопрос о пронормальности подгрупп нечетных индексов в группе $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ пока остается открытым.

A. S. Kondrat’ev, N. V. Maslova, D. O. Revin
On the pronormality of subgroups of odd index in finite simple symplectic groups

A subgroup $H$ of a group $G$ is pronormal if the subgroups $H$ and $H^g$ are conjugate in $\langle H, H^g\rangle$ for every $g \in G$. It was conjectured in [1] that a subgroup of a finite simple group having odd index is always pronormal. Recently the authors [2] verified this conjecture for all finite simple groups other than $PSL_n(q)$, $PSU_n(q)$, $E_6(q)$, ${}^2E_6(q)$, where in all cases $q$ is odd and $n$ is not a power of 2, and P Sp2n(q), where $q \equiv \pm 3 \pmod 8$. However in [3] the authors proved that when $q\equiv\pm 3\pmod 8$ and $n\equiv 0\pmod 3$, the simple symplectic group $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ has a nonpronormal subgroup of odd index, thereby refuted the conjecture on pronormality of subgroups of odd index in finite simple groups.

The natural extension of this conjecture is the problem of classifying finite nonabelian simple groups in which every subgroup of odd index is pronormal. In this paper we continue to study this problem for the simple symplectic groups $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ with $q \equiv \pm 3 \pmod 8$ (if the last condition is not satisfied, then subgroups of odd index are pronormal). We prove that whenever $n$ is not of the form $2^m$ or $2^m(2^{2k}+1)$, this group has a nonpronormal subgroup of odd index. If $n=2^m$, then we show that all subgroups of $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ of odd index are pronormal. The question of pronormality of subgroups of odd index in $P\operatorname{Sp}_{2n}(q)$ is still open when $n=2^m(2^{2k}+1)$ and $q \equiv \pm 3 \pmod 8$.

DOI 10.17377/smzh.2017.58.310
Ключевые слова: конечная группа, простая группа, симплектическая группа, пронормальная подгруппа, нечетный индекс.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file