ABSTRACTS

Analyses: Problem solving in mathematics. Part 2
Part 1  

Paradigm of the 'open-approach' method in mathematics teaching: focus on mathematical problem solving
Nobuhiko Nohda, Tsukuba City (Japan)

Our study 'Problem Solving' is a current topic of mathematics education in Japan. The aim of 'Problem-Solving' is to foster simultaneously both the creative thinking of the students, and mathematical activities. In other words both the activities of the students and mathematical content must be analysed to the fullest extent. This study is carried out in order to ascertain the effects of teaching and learning of teachers and students who engage in problem-solving by means of the 'Open-Approach' particularly with regard to sharing mathematical structures of problems and using mathematical structures involved in problem solving. We have to become more aware of the information processes which consist of the strategies and difficulties between the teacher's explanation and the pupil's approach to problem-solving.

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Das Paradigma der Methode des 'offenen Zugangs' im Mathematikunterricht: mathematisches Problemlösen im Brennpunkt. Unsere Untersuchung zum Problemlösen beschäftigt sich mit einem zur Zeit sehr wichtigen Aspekt des Mathematikunterrichts in Japan. Durch das Problemlösen sollen Kreativität und mathematische Aktivitäten der Schüler gefördert werden. Mit Hilfe dieser Untersuchung sollen Auswirkungen der 'offenen Methode' beim Problemlösen auf den Lehr-Lern-Prozess erforscht werden, insbesondere im Hinblick auf mathematische Strukturen sowohl von Aufgaben wie auch im Problemlöseprozess. Es ist vonnöten, mehr Erkenntnisse über Informationsprozesse zu gewinnen, die Problemlösestrategien und Kommunikationsschwierigkeiten bzgl. Lehrererklärungen einerseits und Lösungsmethoden der Schüler andererseits zugrundeliegen.

Offene Probleme für den Mathematikunterricht und ein Ausblick auf Forschungsfragen
Bernd Zimmermann, Hamburg (Germany, F.R.)

Merkmale 'offener Probleme' werden beschrieben und damit verbundene Bildungsziele umrissen. Das 'Wesen' der Mathematik, die Erkenntnistheorie sowie verschiedene Defizite im Bildungssystem können Gründe liefern, die für die Bedeutung des offenen Problemlösens sprechen. Abschließend werden einige Forschungsfragen zu diesem Thema diskutiert.

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Open problems for the mathematics classroom and research questions. Some characteristics of 'open problems' are described and educational objectives incorporated in this concept are outlined. Possible reasons for emphasizing open problems can be drawn from 'the nature' of mathematics, from epistemology and from several deficits in the educational 'system'. Some research questions concerning open problems are posed at the end of this paper.

Developments in the understanding of problem solving
Erkki Pehkonen, Helsinki (Finland)

Here it is tried to sketch some changes on the emphasis in research on problem solving. In the 1970's, many researchers expressed the opinion that the making of heuristic strategies explicit, as well as the teaching and learning of them, would gradually help individuals to become better problem solvers. However in the beginning of 1980's, some researchers noted that one cannot fully understand an individual's problem solving behaviour by only considering cognitive factors, such as his mathematical knowledge or his use of heuristics. Affective factors, such as one's mathematical beliefs, should also be used as predictors. The various research results which have been obtained for belief systems point to the following conclusion: If most students of mathematics are to become better problem solvers, their beliefs about mathematics must change. Finally, we will briefly describe a teaching experiment running in Helsinki, the aim of which is the integration of problem solving with 'normal' mathematics teaching through problem-oriented teaching.

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Verständnisentwicklung beim Problemlösen. Hier wird versucht, einige Änderungen in den Schwerpunkten der Problemlöseforschung zu skizzieren. In den siebziger Jahren äußerten viele Forscher die Meinung, dass das explizite Darstellen und Unterrichten heuristischer Strategien Individuen allmählich helfen könnte, sich zu besseren Problemlösern zu entwickeln. Am Anfang der achtziger Jahre bemerkten jedoch einige Forscher, dass man das Problemlöseverhalten eines Individuums nicht vollständig verstehen kann, wenn man nur die kognitiven Faktoren, wie seine mathematischen Kenntnisse und sein Anwenden der Heuristik, betrachtet. Auch die affektiven Variablen, wie z.B. seine mathematischen Überzeugungen, sollten als Prädiktor verwendet werden. Die vielen Forschungsresultate, die man über Überzeugungssysteme gesammelt hat, führen zu der Schlussfolgerung: Wenn aus den meisten Schülern bessere Problemlöser in der Mathematik werden sollten, dann muss ihre Anschauung von Mathematik geändert werden. Zum Schluss berichten wir kurz über einen Unterrichtsversuch in Helsinki, dessen Ziel die Integration des Problemlösens in den 'normalen' Mathematikunterricht mit Hilfe des problemorientierten Unterrichts ist.

Mathematik als Bildungsgrundlage in der veränderten Welt
Hartmut Köhler, Stuttgart (Germany, F.R.)

Es könnte ja sein, dass der Mathematikunterricht das heute sowohl unter dem Horizont der Ermöglichung von Bildung als auch angesichts der sich beschleunigt verändernden Welt besonders nötige Verständnis nur dann erreichen kann, wenn er in einem Aufbruch zur Wirklichkeit verstärkt pädagogisch gestaltet wird, und wenn er angesichts einer den Schüler nicht mehr genug herausfordernden Welt kompensatorisch unverzichtbare körperlich-sinnliche Grundlagen entwickelt. Der entsprechenden Fragen müsste sich eine Mathematikdidaktik annehmen, der es wichtiger ist, den Lehrer über mögliches Entwicklungsgeschehen des Schülers und dessen Relevanz für mathematisches Verstehen zu verständigen, als ihm Unterrichtsvorschläge zur Ausführung anzubieten. Diese Didaktik hätte statt technologischer Modelle eine Unterrichtsarchitektur im Auge, die wesentlich an der persönlichen Gestaltung durch den Lehrer (und die Schüler) hängt. Dafür gäbe sie dem Lehrer eine Entwicklungspsychologie mathematischen Denkens an die Hand, und sie riete ihm nicht einfach zur Beachtung pädagogisch-didaktischer Prinzipien, sondern entwickelte ihm Spannungsfelder, in denen diese Prinzipien stehen und aus denen sie ihren je relativen Wert für konkrete Situationen gewinnen. Solche Hilfe ermöglicht den Lehrern, Schüler auf einem Weg zur Mathematik zu führen, der ihnen zunächst lokales Verständnis in der Mathematik, aber schließlich auch ein globales Urteil über die Mathematik, das heisst über Sinn und Grenzen von Mathematisierungen, ermöglicht.

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Mathematics as educational foundation in a changing world. Considering genuine education as well as our rapidly changing environment it becomes increasingly important that pupils really comprehend mathematics. To perform this task teaching mathematics ought to be pedagogically redefined with a view to reality and an emphasis on a development including physical and sensual experience in order to compensate the lack of development of this kind in actual everyday life. These matters should be treated by a kind of mathematical didactics that lay grater stress on the development of the pupil and its importance for mathematical comprehension than on 'models' for classes designed to be followed rigidly by the teacher. Instead of aiming at technological patterns the way of teaching would depend mainly on the personal molding of the teacher (and his pupils), i.e. these didactics would provide a developmental psychology of mathematical thinking and instead of advising the teacher to confine to pedagogical or didactical principles, they would elaborate for him a frame for these principles which determines their relative value for definite situations. This aid enables teachers to help pupils find their way to mathematics; a way that leads the pupils first to a comprehension of mathematical details and later on to a general view of mathematics, its range and its limits.

    
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