ABSTRACTS

Analyses: Sixth International Conference on Geometry. Part 1
Part 2

Alt, aber nicht veraltet: der Goldene Schnitt
Peter Baptist, Bayreuth (Germany)

Mathematisches Arbeiten erfolgt in der Regel nicht in untereinander isolierten Schubkästen. Es bestehen Querverbindungen sowohl zwischen einzelnen Teilgebieten als auch zu Anwendungen und zu anderen Fachgebieten. Eine solche Vernetzung kann in der Schule an ausgewählten Beispielen deutlich gemacht werden. Anhand der Thematik 'Goldener Schnitt' wird hier exemplarisch die Wechselwirkung mit drei Gebieten, nämlich Geschichte der Mathematik, Zahlentheorie und Fraktale Geometrie, aufgezeigt.

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Ancient, but not outdated: the golden section. To give students at school a real impression of mathematical reasoning connections among various mathematical topics and interactions with applications and other sciences should be considered. With the golden section we show the interplay of three different topics using the following as examples: history of mathematics, number theory and fractal geometry.

Generating hyperbolic ornaments with a computer
Peter Herfort, Tübingen (Germany)

Symmetries within the circle-model of the hyperbolic plane proposed by H. Poincare are hard to be visualized by classical methods. So hyperbolic ornaments rather rarely are matters of consideration or realization. The four circle-limit-woodcuts of  M.C. Escher are an exception. A new way to generate hyperbolic ornaments is gained by using the methods of fractal geometry. Linking 'Iterated Function Systems' (IFS) in a hierarchical manner a large variety of hyperbolic ornaments can be generated.

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Die Erzeugung hyperbolischer Ornamente mit dem Computer. Symmetrien in dem von H. Poincare vorgeschlagenen Grenzkreismodell der hyperbolischen Ebene sind mit klassischen Methoden nur mühsam zu veranschaulichen und daher auch nur selten Gegenstand der Betrachtung. Die vier Kreislimit-Holzschnitte von M.C. Escher bilden hier die Ausnahme. Eine neuartige Erzeugungs- und Visualisierungsmöglichkeit hyperbolischer Ornamente bieten einige Methoden der fraktalen Geometrie. Mit Hilfe hierarchisch gekoppelter 'Iterated Function Systems' (IFS) gelangt man zu einer grossen Vielfalt hyperbolischer Ornamente.

The Descartes angular deficiency in higher dimensions
Peter Hilton, Binghamton (USA); Jean Pedersen, Santa Clara (USA)

The relation Delta=2 pi chi between the Descartes angular deficiency Delta and the Euler characteristic chi of a closed (not necessarily orientable) surface cannot extend to higher dimensional manifolds since Delta ceases to be a topological invariant in higher dimensions - it is not even a topological invariant for arbitrary surfaces. However, we point out that Delta remains a combinatorial invariant for the class of polyhedra with a given cellular subdivision. We choose particular cellular structures on the (n-1)-sphere Ssup(n-1), studied by Coxeter, to calculate the Descartes deficiency explicitly. For these three structures - the boundary of a closed n-simplex, the (n-1)-dimensional cross-polytope, and the boundary of the n-dimensional parallelotope (hypercube) - the calculations reveal not only different values of Delta for the three different polytopes, but even entirely different growth laws.

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Descartesscher Winkeldefekt in höheren Dimensionen. Die Relation Delta=2 pi chi zwischen dem Descartesschen Winkeldefekt Delta und der Eulerschen Charakteristik chi einer geschlossenen (nicht notwendigerweise orientierbaren) Fläche kann nicht auf höherdimensionale Mannigfaltigkeiten ausgedehnt werden, da Delta in höheren Dimensionen keine topologische Invariante mehr ist - Delta ist noch nicht einmal eine topologische Invariante für beliebige Flächen. Wir zeigen jedoch, dass Delta eine kombinatorische Invariante für die Klasse der Polyeder mit gegebener Unterteilung von Zellkomplexen bleibt. Wir wählen bestimmte Zellstrukturen auf der (n-1)-Kugel Ssup(n-1), die von Coxeter untersucht wurden, um Delta explizit zu berechnen. Die Berechnungen für diese drei Strukturen - Rand eines geschlossenen n-Simplexes, (n-1)dimensionales Kreuzpolytop, Rand eines n-dimensionalen Parallelotops (Hyperwürfel) - ergeben nicht nur verschiedene Werte für Delta für die drei verschiedenen Polytope, sondern auch vollkommen unterschiedliche Wachstumsgesetze.

Visual estimation of discrete quantities
Zvia Markovits, Rehovot (Israel); Rina Hershkowitz, Rehovot (Israel)

Visual Estimation occurs when one is presented with a large group of objects for a short period of time and is asked to evaluate their number. Four strategies were expressed by third grade children in visual estimation situations: counting, grouping, comparison and global perception. After going through some visual estimation activities, some changes in children strategies were found.

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Visuelles Schätzen diskreter Mengen. Von visuellem Schätzen ist dann die Rede, wenn eine grosse Anzahl von Objekten für eine kurze Zeit gezeigt wird und die Anzahl der Objekte anzugeben ist. Schüler einer dritten Klasse wendeten vier verschiedene Strategien beim visuellen Schätzen an: Zählen, Bündeln, Vergleichen und globales Wahrnehmen. Die Erfahrung mit mehreren Aktivitäten des visuellen Schätzens führte zu einigen Strategieänderungen bei den Kindern.

Mathematik und Verkehr (Mathematics and traffic). Essen, 6.10.1992
Wilfried Herget, Clausthal-Zellerfeld (Germany)

Bericht über eine Fortbildungstagung, die sich mit der Einbeziehung des Themas 'Verkehr' in den Mathematikunterricht der Klassen 5-13 befasste. Die in Arbeitsgruppen vorgestellten (erprobten) Unterrichtsmaterialien, auch für fächerübergreifenden Unterricht, werden hier kurz umrissen.

    
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