ABSTRACTS

Analyses: Sixth International Conference on Geometry. Part 2
Part 1

Some materials for teaching mathematical ideas
Abe Shenitzer, North York, ON (Canada)

This collection consists of four essays: Essay (1) traces the evolution of Fourier series in the 18th and 19th centuries. It describes the brilliant guess of Daniel Bernoulli, Fourier's contribution to Fourier series and integrals, and the extension of Fourier's work by Sturm and Liouville. Essay (2) gives a brief description of the key contributions to the problem of finding the rational points on rational algebraic curves by Diophantus, Euler, Jacobi, Poincare, and Faltings. Essay (3) gives a brief description of the key contributions to the introduction of the field concept and to the evolution of field theory by Lagrange, Gauss, Abel, Galois, Kummer, Weber, and Steinitz. Essay (4) compares Eudoxus' theory of ratios and Dedekind's theory of real numbers as 'cuts' in the rational number system and emphasizes the basic differences between the two theories.

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Einige Materialien zum Unterrichten mathematischer Ideen. Der Artikel besteht aus vier Abschnitten. Im ersten Abschnitt wird die Entwicklung der Fourierreihen im 18. und 19. Jahrhundert skizziert: die brillante Vermutung von Daniel Bernoulli, Fouriers Beitrag und die Ausweitung der Fourierschen Theorie durch Sturm und Liouville. Abschnitt 2 gibt einen Überblick über wesentliche Beiträge von Diophantus, Euler, Jacobi, Poincare und Faltings zum Problem, rationale Punkte auf rationalen algebraischen Kurven zu finden. Die Arbeiten von Lagrange, Gaus, Abel, Galois, Kummer, Weber und Steinitz zur Einführung des Körperbegriffs und zur Entwicklung der Körpertheorie sind Thema von Abschnitt 3. Im letzten Abschnitt werden die Theorie von Eudoxus über Verhältnisse und die von Dedekind über reelle Zahlen miteinander verglichen und als Einschnitte in das System der rationalen Zahlen gewertet.

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How much information should a geometrical definition include? Group discussions with student teachers
Shlomo Vinner, Jerusalem (Israel); Liora Linchenvski, Jerusalem (Israel); Ronnie Karsenty, Jerusalem (Israel)

The authors examine some aspects of mathematical definition as conceived by prospective teachers. The aspects are minimality and arbitrariness. This is done by means of a geometrical questionnaire which appears to be a didactical questionnaire. Most of the students seem to be aware of the minimality principle. Some accept it and some reject it. On the other hand, it seems that many of the students are not aware of the arbitrariness aspect. In addition, some serious geometrical mistakes are found in the freshmen.

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Wieviel Information sollte eine geometrische Definition enthalten? Gruppendiskussionen mit Lehramtsstudenten. Die Autoren untersuchen einige Aspekte der mathematischen Definition, wie sie von zukünftigen Lehrern empfunden werden, nämlich Minimalität (Minimum an Information) und Willkür (der Entscheidung für eine von mehreren Definitionsmöglichkeiten). Die Grundlage bildet eine Befragung zur Geometrie, die sich dann als didaktisch erweist. Die meisten Studenten scheinen sich des Prinzips der Minimalität bewusst zu sein; einige akzeptieren es, andere lehnen es ab. Andererseits scheint es so, als ob vielen Studenten der Beliebigkeitsaspekt nicht bewusst sei. Darüber hinaus wurden bei den Anfängern gravierende geometrische Fehlvorstellungen aufgedeckt.

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Remarkable right angles
Gunter Weiss, Wien (Austria)

Let two opposite-similar isosceles right angles be linked at one leg's endpoint. Then their vertices and the center of the line segment defined by the free legs' endpoints form an isosceles right angle. This little theorem gives rise to many generalisations and applications, which range from elementary triangle-geometry to conformal kinematics and to fractal geometry. The article's didactical aim is to practice the mathematical principle of generalisation and to suggest independent research work.

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Bemerkenswerte rechte Winkel. Hängen zwei rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke in einer (Hypothenusen)-Ecke gegensinnig ähnlich zusammen, so bilden ihre Rechtwinkel-Ecken und der Mittelpunkt der von den übrigen Ecken gebildeten Strecke ebenfalls ein rechtwinkelig-gleichschenkliges Dreieck. Dieser Sachverhalt gestattet zahlreiche naheliegende Verallgemeinerungen und Anwendungen, die sich von der elementaren Dreiecksgeometrie bis hin zur konformen Kinematik und zur fraktalen Geometrie erstrecken, und deren didaktischer Nutzen neben dem Einüben mathematisch-geometrischer Arbeitsmethoden in der Anregung zu eigenständigem Forschen liegt.

    
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