Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 051.04003
Autor: Erdös, Pál; Rado, R.
Title: A problem on ordered sets. (In English)
Source: J. London Math. Soc. 28, 426-438 (1953).
Review: Désignons par \omegan le plus petit ordinal de puissance \alephn; Soit S un ensemble ordonné de puisance \alephn; supposons que l'on soit dans l'un des trois cas suivants: ou bien il existe un ensemble de S qui a pour type \omega^*n (ordre inverse de \omegan), ou bien il existe un ensemble de S qui a pour type d'ordre \omegan, ou bien, quel que soit l'ordinal \alpha < \omegan, il existe des ensembles de S qui ont pour types d'ordre \alpha et \alpha^*. – S'il en set ainsi quel que soit S, les AA. disent que \alephn a la propriété P.
Rappelant qu'un cardinal a est dit "régulier" s il n'est pas la somme de cardinaux < a en nombre < a, ils démontrent le théorème suivant: Supposons vraie l'égalité 2\aleph\nu = \aleph\nu+1 (hypothèse H); alors un cardinal \alephn a propriété P si, et seulement si \alephn^- est régulier (a^- étant égal au cardinal immédiatement inférieur à a s il existe et égal à s'il n existee pas). C'est évident pour n = 0. La démonstration est assez longue et fait intervenir 4 lemmes. D'après les AA., J.C.Shepherdson dit avoir démontré de son côté le théorème pour n = 1. Une note ajoutée au cours de la correction des épreuves signale que L.Gillman a démontré la réciproque à savoir: la proposition "\alephn a la propriété P si, et seulement si \alephn^- est régulier" entraine l'hypothèse H.
Reviewer: R.de.Possel
Classif.: * 04A10 Ordinal and cardinal numbers; generalizations
04A30 Continuum hypothesis and generalizations
Index Words: set theory
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