Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  099.03903
Autor:  Erdös, Pál; Rény, Alfréd
Title:  A probabilistic approach to problems of diophantine approximation. (In English)
Source:  Ill. J. Math. 1, 303-315 (1957).
Review:  Es seien stets zj = ei\phij (0 \leq \phij < 2\pi; j = 1,...,n) komplexe Zahlen vom Betrag 1, Sk = sumj = 1n zjk (k natürliche Zahl). Wir bezeichnen eine Menge (z1,...,zn) stets mit Zn. Dann zeigen die Verff. folgende Sätze.
Satz 1: Es gibt für jedes n \geq 2 ein Zn, so daß |Sk| < \sqrt {6n log (k+1)} (k = 1,2,...). Ein ähnliches Resultat gilt, wenn k reell beliebig ist. Satz 2: Es gibt für n \geq 2 stets ein Zn, so daß |Sk| < cn für alle k mit 1 \leq k < 1/4 \exp (n c2/2) für jedes c in 0 < c < 1.
Dagegen (Satz 6) ist für alle Zn und 2 \leq c \leq n-1,

max1 \leq k \leq 2n (4 \pi n \sqrt {c+2)c+2} |Sk| \geq c.

Satz 3: Für n \geq 10 und 0 < \epsilon < 1/16 gibt es Zn, so daß

|Sk| < n (1-\epsilon),   (1 \leq k \leq (16n \epsilonn-1)- ½).

Der Beweis dieser Sätze stützt sich auf das Lemma: Sind \phi1,...,\phin unabhängige zufällige Variable, gleich verteilt auf (0,2\pi), dann ist für jedes c mit 0 < c < 1, P(|Sk| \geq cn) \leq 4 e-c2n/2 (P: Wahrscheinlichkeit). In den Sätzen kann noch angenommen werden, daß die zj Einheitswurzeln vom Grad p (p Primzahl > p0(n)) sind. In Verbindung mit dem Satz von Erdös-Turán aus der Theorie der Gleichverteilung (Zbl 031.25402) folgt aus Satz 1: Es gibt ein Zn, so daß für die Anzahl Nn(k) (\alpha, \beta) der z1k,...,znk auf dem Bogen (\alpha, \beta) des Einheitskreises gilt

|Nn(k) (\alpha,\beta)/n-(\beta-\alpha)/2\pi| < c \sqrt\delta[ log (e \delta)]3/2 für k \leq e\delta n-2

0 < \delta < 1 (c absolute Konstante). Zur Bedeutung dieser Sätze siehe das Buch von P.Turán (Zbl 052.04601).
Reviewer:  E.Hlawka
Classif.:  * 11N30 Turan theory
                   11K06 General theory of distribution modulo 1
Index Words:  number theory

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