Homology, Homotopy and Applications, vol.5(1), 2003, pp.437–547

BICATÉGORIES MONOIDALES ET EXTENSIONS DE GR-CATÉGORIES

ALAIN ROUSSEAU

(communicated by Antonio Cegarra)

Abstract In this work, we study the 2-category Ext(\underline{K}, \underline{G}) of extensions of a gr-category \underline{K} by a gr-category \underline{G}. Such an extension consists of a gr-category \underline{H}, an essentially surjective homomorphism p : \underline{H} ⟶ \underline{K} and a monoidal equivalence q : \underline{G} ⟶ N(p) where N(p) is the homotopy kernel of the homomorphism p. The main result is a classification theorem which constructs a biequivalence between the 2-category Ext(\underline{K}, \underline{G})^{op} and the bicategory Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq}(\underline{G})) of monoidal bicategory homomorphisms between \underline{K} and \underline{Bieq}(\underline{G}), where \underline{Bieq}(\underline{G}) is the monoidal bicategory of biequivalences of \underline{G} with itself.

1. Introduction

Une gr-catégorie ou groupe catégorique est un groupoïde muni d’une loi de groupe c’est-à-dire une catégorie monoïdale dont les flèches sont des isomorphismes et dont les objets sont quasi-inversibles. L’exemple le plus simple est celui de la gr-catégorie discrète H[0] associée à un groupe H dont les objets sont les éléments de H, cas particulier de la gr-catégorie stricte C(δ) associée à un module croisé δ : G⟶H. Un cas de gr-catégorie non stricte est obtenu avec un groupe K, un groupe abélien A muni d’une structure de K-module et un 3-cocycle ω ∈ Z^{3}(K, A), ce dernier définissant une contrainte d’associativité sur la ⊗-catégorie obtenue avec le module croisé trivial 0 : A⟶K, [33]. Ce cas est générique. Pour \underline{H} une grcatégorie, l’ensemble π_{0}(\underline{H}) des classes d’isomorphisme d’objets de \underline{H} est un groupe, le groupe abélien π_{1}(\underline{H}) := Aut(I) des automorphismes de l’objet unité de \underline{H} est un π_{0}(\underline{H})-module, la condition de cohérence de l’associativité du produit dans \underline{H} donne un 3-cocycle de π_{0}(\underline{H}) à valeur dans π_{1}(\underline{H}). La gr-catégorie obtenue comme dans l’exemple cité plus haut avec ce π_{0}(\underline{H})-module π_{1}(\underline{H}) et ce 3-cocycle est alors monoïdalement équivalente à \underline{H}, [35]. Pour un groupe abélien A muni d’une structure de K-module, H. X. Sinh obtient ainsi que le troisième groupe de cohomologie H^{3}(K, A) détermine à équivalence près, les gr-catégories \underline{H} dont les groupes π_{0} et

Received September 1, 2003, revised October 13, 2003; published on November 22, 2003. 2000 Mathematics Subject Classification: 18-02, 18D05, 18D10, 18G50. Key words and phrases: gr-catégory, extension, monoïdal bicatégory, torsor, bitorsor, nonabelian cohomology. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2003, Alain Rousseau. Permission to copy for private use granted.

le π_{1} sont donnés à isomorphisme près par K et A, ce qui donne la classification des classes d’équivalence d’extensions de gr-catégories du type

1⟶A[1] ⟶^{r} \underline{H} ⟶^{p} K[0]⟶1,  (1.0.1)

où A[1] est la gr-catégorie associée au module croisé A⟶0. L’objet de ce travail est d’étudier le cas général. Pour \underline{G} et \underline{K} deux gr-catégories quelconques, on cherche donc à classifier la 2-catégorie Ext(\underline{K}, \underline{G}) des extensions de \underline{K} par \underline{G},

1⟶\underline{G} ⟶^{r} \underline{H} ⟶^{p} \underline{K}⟶1.  (1.0.2)

Un cas bien connu est celui obtenu lorsque toutes les gr-catégories considérées sont discrètes c’est-à-dire celui des classes d’extensions de groupes,

1⟶G ⟶^{r} H ⟶^{p} K⟶1.  (1.0.3)

Pour G = A un groupe abélien, on sait depuis [16] que l’ensemble classifiant est donné par le second groupe de cohomologie H^{2}(K, A) où A est muni de la structure de K-module définie par la conjugaison dans H. Lorsque G est un groupe quelconque, la classification est connue depuis O. Schreier [34]. Une section ensembliste de l’homomorphisme p de (1.0.3) définit un cocycle de Schreier, soit, un couple d’applications (θ : K⟶Aut(G), χ : K × K⟶G) vérifiant certaines conditions de cohérence. Ce cocycle détermine à équivalence près le groupe H et l’ensemble des classes d’extensions de K par G est alors en bijection avec ce qu’il est convenu à présent d’appeler le H^{2} non abélien de K à valeur dans G. Une généralisation des classifications précédentes a été obtenue par L. Breen dans [3]. Pour une gr-catégorie \underline{G} quelconque et un groupe K fixés, L. Breen décrit en des termes cohomologiques les classes d’extensions du type :

I⟶\underline{G} ⟶^{r} \underline{H} ⟶^{p} K[0]⟶I.  (1.0.4)

Les cocycles obtenus sont à valeur dans le ` ` carré croisé´´ i : \underline{G}⟶Eq(\underline{G}) associé à la gr-catégorie \underline{G}, généralisation du module croisé défini pour un groupe G par l’homomorphisme de conjugaison intérieure i : G⟶Aut(G). Lorsque la grcatégorie \underline{K} n’est plus supposée discrète, des classifications ont été obtenues dans des cas où des hypothèses de commutativité sont prises pour la gr-catégorie \underline{G}. Dans [7], P. Carrasco et A.M. Cegarra ont classifié les extensions centrales, cas particulier de la classification des extensions singulières obtenue par la suite dans [8] par P. Carrasco, A. R. Garzon et J. G. Miranda. Citons pour finir le cas des F-extensions traité par D. Bourn et E. M. Vitale [4].

Les résultats de classification obtenus pour de telles questions s’expriment le plus souvent en des termes cohomologiques [29, 35, 11, 3, 7, 8, 10, 4, 9, ...]. L. Breen avait remarqué, au vu de la nature compliquée de ses cocycles, qu’il ne serait guère possible de poursuivre actuellement dans cette direction pour les dimensions supérieures sans une formulation maniable de ce qu’est une n-catégorie (voir par exemple [25]). Pour définir les ensembles de cohomologie non abélienne de degré supérieur à 3 et à valeur dans un groupe G [3, §4.3], il choisit le contexte topologique plutôt que le contexte n-catégorique. On dispose en effet dans le cadre topologique d’un résultat très général pour le problème de la classification des fibrations sur un CW-complexe Y, de fibres homotopiquement équivalentes à un espace X. De telles fibrations sont classifiées par l’ensemble [Y, B(E(X))]_{pt} des classes d’homotopie d’applications continues pointées de l’espace Y vers l’espace classifiant du monoïde E(X) des auto-équivalences d’homotopie de X. Les résultats obtenus dans le travail qui suit, montrent que l’on peut s’attendre à un énoncé de nature similaire dans un contexe purement n-catégorique qui, dans le cas présent, est celui des tricatégories et surtout de leurs homomorphismes lâches dont les définitions apparaissent dans [17].

Le cas de la dimension 1 des extensions de groupes s’exprime avec des homomorphismes de catégories monoïdales soit des homomorphismes de bicatégories ayant un seul objet. On peut commencer par remarquer que les 2-cocycles d’un groupe K à valeur dans un module croisé δ : G⟶H et les cobords associés définis par Dedecker [13] ne sont rien d’autre que les objets et les morphismes de la catégorie Mon(K[0], C(δ)) des homomorphismes monoïdaux de la gr-catégorie discrète K[0] associée à K dans la gr-catégorie C(δ) associée au module croisé δ. En particulier, pour δ le module croisé i : G⟶Aut(G) donné par l’homomorphisme de conjugaison intérieure associé à un groupe G, on retrouve les 2-cocycles obtenus par Schreier pour la classification de (1.0.3). La gr-catégorie C(i) associée au module croisé précédent est celle des auto-équivalences Eq(G[1]) du groupoïde G[1], groupoïde ayant un seul objet dont les flèches sont les éléments du groupe G. La classification des extensions de groupes se résume alors simplement à une équivalence de catégories

Mon(K[0], Eq(G[1]))⟶Ext(K, G)^{op}.  (1.0.5)

Ce résultat est d’ailleurs mieux connu dans le cadre faisceautique c’est-à-dire lorsque K et G sont des groupes d’un topos T quelconques. L. Breen, suivant A. Grothendieck, a montré [2, th. 4.5] l’existence d’une équivalence entre le gr-champ Eq(G[1]) et celui des G-bitorseurs de T et la classification du champ des extensions de K par G de T est exprimée avec une équivalence, Hom(K[0], \underline{Bitors}(G))⟶Ext(K, G), entre le champ des foncteurs additifs du grchamp associé au groupe K vers celui des G-bitorseurs et celui des extensions.

Le cas de la dimension 2, auquel on s’intéresse ici, nécessite l’utilisation d’homomorphismes de bicatégories monoïdales, c’est-à-dire de trihomomorphismes de tricatégories ayant un seul objet [17]. Le théorème de classification obtenu étend exactement à la dimension supérieure l’équivalence de catégories (1.0.5). Il a été nécessaire de définir pour les bicatégories monoïdales les bicatégories d’homomorphismes Bimon(−, −), équivalent des catégories Mon(−, −) d’homomorphismes de catégories monoïdales. Comme pour le cas de la gr-catégorie Eq(G[1]) associée au module croisé i : G⟶Aut(G) défini pour un groupe G, au carré croisé i : \underline{G}⟶Eq(\underline{G}) introduit dans [3] doit être associée la bicatégorie monoïdale \underline{Bieq}(\underline{G}[1]) des auto-biéquivalences de la bicatégorie à un seul objet \underline{G}[1] associée à \underline{G}. Pour toutes gr-catégories \underline{G} et \underline{K}, le résultat de classification s’exprime avec une biéquivalence de bicatégories, résultat principal de ce travail,

Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq}(\underline{G}[1]))⟶Ext(\underline{K}, \underline{G})^{op}.  (1.0.6)

Ce résultat est global puisqu’il s’exprime via une biéquivalence et à ce titre ne peut plus être seulement considéré de type cohomologique, qui pour ce genre de problème avait le défaut d’occulter la nature des objets mis en jeu. On entrevoit mieux à présent l’analogie avec la classification des fibrations d’espaces évoquée plus haut et conjointement ce que pourrait être le cas de la dimension n. Par ailleurs, les récents travaux comme ceux de [6, 14, 15, 5] sur le Nerf des bicatégories et leur réalisation géométrique, devraient permettre de réaliser le lien entre les extensions classifiées ici et les fibrations d’espaces topologiques ayant le même type d’homotopie (π_{i} ≠ 0 ssi i = 1, 2), et, il n’y pas de réelle obstruction à penser que la 2-catégorie Ext(\underline{K}, \underline{G}) est 2-équivalente à celle des fibrations sur le CW-complexe |Ner(\underline{K})|, de fibres homotopiquement équivalentes à l’espace |Ner(\underline{G})|.

Le corps du texte est articulé de la façon suivante. Les sections 2 et 3 sont consacrées à des rappels sur les gr-catégories et les bicatégories. On expose en particulier les premiers résultats concernant le noyau homotopique d’un homomorphisme de gr-catégories. Après un rappel sur les bicatégories monoïdales, la section 4 donne une description de la structure monoïdale utilisée sur la bicatégorie Bieq(\underline{G}[1]) des auto-biéquivalences de \underline{G}. On s’intéresse ensuite, section 5, aux morphismes ` ` lâches´´ de bicatégories monoïdales: on définit les notions de transformation monoïdale et de modification pour de tels morphismes; pour deux bicatégories monoïdales \underline{T} et \underline{S}, la bicatégorie décrite est notée Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}). Notre construction est comparable en tout point à celle réalisée dans [12] pour le cas très spécial où les bicatégories monoïdales considérées sont des Gray-monoïdes, cela dit, pour l’étude qui nous concerne apparaissent très naturellement des bicatégories plutôt que des Gray-monoïdes. Dans la section 6, on établit une biéquivalence entre la 2-catégorie Bimon_{l}(\underline{K}, \underline{Cat}) des pseudo-foncteurs monoïdaux définis sur une catégorie monoïdale \underline{K} et la 2-catégorie Cofmon\underline{K} des cofibrations monoïdales sur \underline{K}, ce qui complète les résultats de [7] sur ce sujet et qui généralise aux cas monoïdal la 2-équivalence de [18], Bicat(K, Cat)⟶Cofib_{K}, sur les cofibrations sur K introduites par A. Grothendieck dans [19]. Les sections 7 et 8 sont consacrées à l’étude des torseurs et bitorseurs pour l’action d’une gr-catégorie \underline{G}. On établit une biéquivalence Bieq(\underline{G}[1])⟶Bitors(\underline{G}) entre la bicatégorie des auto-biéquivalences de la bicatégorie \underline{G}[1] et celle des \underline{G}-bitorseurs Bitors(\underline{G}). On explicite dans la section 9 la flèche de la biéquivalence induite, de but les K-fibrations en \underline{G}-bitorseurs, Bicat(K, Bieq(\underline{G}[1]))⟶Bicat(K, Bitors(\underline{G})), sous-jacente a celle du théorème de classification (1.0.6). Les sections suivantes sont entièrement consacrées à la classification des extensions. Sections 10 et 11, on définit la 2-catégorie des extensions de gr-catégories Ext(\underline{K}, \underline{G}) et l’on montre que cette dernière est un 2-groupoïde biéquivalent à son sous 2-groupoïde Ext_{cof}(\underline{K}, \underline{G}) (resp. Ext_{fib}(\underline{K}, \underline{G}) des extensions cofibrées (resp. fibrées) de \underline{K} par \underline{G}. On donne ensuite dans la section 12 une description de la bicatégorie Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq}(\underline{G}[1])) et la construction de la flèche de (1.0.6). On souhaitait une description explicite, ce qui est obtenu mais nécessite une discussion longue et technique. Pour plus de lisibilité, on explicite seulement le cas où la gr-catégorie \underline{G} est unitaire et où les biéquivalences de \underline{G} sont strictes sur les unités. Enfin, on montre la biéquivalence dans la dernière section. Elle est obtenue en partie avec le même point de vue que celui de la théorie de Breen-Grothendieck développée dans [2] et [3, §3] . La donnée d’une extension de \underline{K} par \underline{G} détermine, avec les fibres homotopiques de l’homomorphisme p, une K-fibration en \underline{G}-bitorseurs ainsi qu’une \underline{K}-fibration monoïdale.

Cet article est une version remaniée de ma thèse de doctorat réalisée sous la direction de Lawrence Breen. Je lui dois mon premier contact avec ` ` l’algèbre de dimension supérieure´´ essentielle ici et qui semble incontournable dans l’avenir au moins pour de telles questions. Je tiens ici une nouvelle fois à le remercier et à lui témoigner toute ma reconnaissance.

2. Catégories monoïdales, gr-catégories

Pour toute la suite Cat est la 2-catégorie des petites catégories. Les structures de catégorie monoïdale et de gr-catégorie sont à présent bien connues (voir par exemple [26], [22], [33], [35] et [3]). Une catégorie monoïdale \underline{K} = (K, ⊗, a, I, g, d) est un objet monoïdal dans Cat. Explicitement, K est une catégorie munie d’un foncteur ⊗ : K × K⟶K auquel sont associées une contrainte d’associativité et une contrainte d’unité compatible. Une contrainte d’associativité consiste en la donnée d’une famille d’isomorphismes fonctoriels a_{A,B,C} : (A ⊗ B) ⊗ C⟶A ⊗ (B ⊗ C), A, B et C objets de K telle que le pentagone suivant commute pour tout objets A, B, C, et D de K [26] :

\xymatrix{ & (A(BC))D \ar[rr]^{a} &  & A((BC)D) \ar@{-->}[dr]^{1⊗a} \\ ((AB)C)D \ar@{-->}[ur]^{a⊗1} \ar@{-->}[drr]_{a} &  &  &  & A(B(CD)) \\  &  & (AB)(CD) \ar@{-->}[urr]_{a}}

Une contrainte d’unité (I, g, d) compatible à celle d’associativité consiste en la donnée d’un objet I de K, d’une famille d’isomorphismes fonctoriels g_{A} : I ⊗ A⟶A et d_{A} : A⟶A ⊗ I, A objet de K tels que pour tout objet A et B de K le diagramme suivant commute :

[figure: (AI)B; a_{A,I,B}; d_{A}⊗1_{B}; A(IB); 1_{A}⊗g_{B}; AB .]

Une catégorie monoïdale est dite stricte si les contraintes d’associativité et d’unité sont des égalités. Le théorème de cohérence pour les catégories monoïdales [26], [22], permettent de considérer une catégorie monoïdale comme étant stricte. Rappelons qu’une catégorie monoïdale \underline{K} peut être vue soit comme une bicatégorie ayant un seul objet [1, p. 19] (notifié quelquefois avec la notation \underline{K}[1]), soit comme une bicatégorie monoïdale où les 2-morphismes se réduisent aux identités. Ces deux points de vue sont fondamentaux pour l’étude qui suit des extensions de gr-catégories.

Un objet X d’une catégorie monoïdale est 2-régulier si les foncteurs de translation à gauche t_{g}(X) : K⟶K, Y ↦ XY et de translation à droite t_{d}(X) : K⟶K, Y ↦ Y X sont des équivalences [33, p. 12].

Définition 2.1. [35] Une gr-catégorie est une catégorie monoïdale où les flèches sont des isomorphismes et les objets sont 2-réguliers.

Un morphisme de catégories monoïdales ou foncteur monoïdal \underline{F} = (F, Φ^{F} , Φ_{o}) : \underline{H}⟶\underline{K} consiste en la donnée d’un foncteur F : H⟶K et de morphismes fonctoriels appelés les contraintes de comparaison et la contrainte d’unité, respectivement Φ^{F} (A, B) : F (A) ⊗ F (B)⟶F (A ⊗ B) et Φ_{o} : I⟶F (I), compatibles aux contraintes d’associativité et d’unité c’est-à-dire tels que les diagrammes suivants commutent :

\xymatrix{(F (A)F (B))F (C) \ar[d]_{a_{F (A),F (B),F (C)}} \ar[r]^{Φ^{F} (A,B)⊗1} & F (AB)F (C) \ar[r]^{Φ^{F} (AB,C)} & F ((AB)C) \ar[d]^{F (a_{A,B,C})} \\ F (A)(F (B)F (C)) \ar[r]^{1⊗Φ^{F} (B,C)} & F (A)F (BC) \ar[r]^{Φ^{F} (A,BC)} & F (A(BC))}

[figure: F (I)F (A); ϕ^{F} (I,A); F (IA); F (g_{A}); F (AI); ϕ^{F} (A,I); F (A)F (I); IF (A); g_{F (A)}; ϕ_{o}⊗1; F (A); F (A); d_{F (A)}; F (d_{A}); F (A)I; 1⊗ϕ_{o}]

Une transformation monoïdale λ : \underline{F} ⟹\underline{G}, consiste en la donnée d’une transformation naturelle, λ : F ⟹G telle que pour tout objet A et B de H les diagrammes suivant commutent :

[figure: F (A)F (B); ϕ^{F} (A,B); λ_{A}⊗λ_{B}; F (AB); λ_{AB}; F (I); λ_{I}; ϕ_{o}^{F}; G(I); ϕ_{o}^{G}; G(A)G(B); ϕ^{G}(A,B); G(AB); I .]

Un morphisme \underline{P} = (P, Φ^{P} , Φ_{o}^{P}) : \underline{H}⟶\underline{K} de catégories monoïdales est appelé homomorphisme lorsque la contrainte de comparaison Φ^{P} et celle d’unité Φ_{o}^{P} sont des isomorphismes fonctoriels. Pour ces derniers, on privilégiera les directions Φ^{F} (A, B) : F (A ⊗ B)⟶F (A) ⊗ F (B) et Φ_{o} : F (I)⟶I, opposées à celles prises dans le cas lâche et plus utilisée pour les homomorphismes. Pour un homomorphisme de catégories monoïdales entre deux gr-catégories, c’est-à-dire un homomorphisme de gr-catégories, la donnée de la contrainte d’unité Φ_{o} : F (I)⟶I est redondante.

Notation 2.2. On note Mon (resp. grCat), la 2-catégorie dont les objets, les 1-morphismes et les 2-morphismes sont respectivement les (petites) catégories monoïdales (resp. les gr-catégories), les homomorphismes et les transformations monoïdales.

On assimile la catégorie des groupes Grp, ainsi que celle des groupes abéliens Ab, a des 2-catégories localement discrètes; on dispose ainsi de 2-foncteurs [35] :

π_{o} : grCat⟶Grp  et  π_{1} : grCat⟶Ab,

où pour une gr-catégorie \underline{H}, le groupe π_{o}(\underline{H}) est celui des composantes connexes de \underline{H} et le groupe abélien π_{1}(\underline{H}) est celui des automorphismes Aut(I) :=\underline{H}(I, I) de l’objet unité de \underline{H}.

Notation 2.3. Soit \underline{P} : \underline{H}⟶\underline{K} un homomorphisme de catégories monoïdales, on note par (N(P), j, ϵ) le noyau de \underline{P} ( [32, §3.1], [23, §1]).

Pour mémoire, rappelons que la catégorie monoïdale N(P) (appelée aussi noyau par abus) a pour catégorie sous jacente la fibre homotopique de P au dessus de I, dont les objets sont les paires (X, f) où X est un objet de H et f : P (X)⟶I un morphisme de K et dont un morphisme h : (X, f)⟶(Y, g)) est un morphisme h de H(X, Y) tel que f = g ∘P (h). La ⊗-structure sur la catégorie N(P) est définie par : (X, f) ⊗ (Y, g) = (X ⊗ Y, f.g), où f.g est le morphisme de K défini par la composée : g_{I} ∘ (f ⊗ g) ∘ Φ^{P} (X, Y) : P (X ⊗ Y)⟶P (X) ⊗ P (Y)⟶I ⊗ I⟶I. L’objet (I, Φ_{o}^{P}) est l’objet unité, les contraintes d’associativité et d’unité de N(P) sont celles \underline{H}. L’homomorphisme j : N(P)⟶\underline{H} intervenant dans le noyau (N(P), j, ϵ) est la projection canonique, (X, f) ↦ X, enfin, ϵ est la transformation monoïdale ϵ : P j⟹1 ayant pour composante à l’objet (X, f) de N(P) le morphisme f : P (X)⟶I de K.

Proposition 2.4. Soit \underline{G} une gr-catégorie et p : \underline{H}⟶\underline{K} un homomorphisme de gr-catégories. La catégorie Mon(\underline{G}, N(p)) est isomorphe à la fibre homotopique Mon(\underline{G}, p)_{(n)} du foncteur Mon(\underline{G}, p) : Mon(\underline{G}, \underline{H})⟶Mon(\underline{G}, \underline{K}), au-dessus de l’homomorphisme ` ` nul´´ , n : \underline{G}⟶\underline{K}, X ↦ I où I est l’objet unité de \underline{K}.

Démonstration. Un objet (r, λ) de la fibre homotopique Mon(\underline{G}, p)_{(n)} consiste en la donnée d’un homomorphisme r : \underline{G}⟶\underline{H} et d’une transformation monoïdale λ : pr⟹n. Pour un objet X et un morphisme x : X⟶X′ de G, on dispose donc d’un objet (r(X), λ_{X}) et d’un morphisme r(x) : (r(X), λ_{X})⟶(r(X′), λ_{X′}) de N(p). Cette correspondance détermine un foncteur : q : \underline{G}⟶N(p), qui est structuré en un homomorphisme avec pour contraintes Φ^{q} = Φ^{r} et Φ_{o}^{q} = Φ_{o}^{r}. De la même manière, un morphisme t : (r, λ)⟶(r′, λ′) de Mon(\underline{G}, p)_{(n)} détermine une transformation monoïdale t : q⟹q′. On dispose ainsi d’un foncteur :

F : Mon(\underline{G}, p)_{(n)}⟶Mon(\underline{G}, N(p)).  (2.4.1)

On montre sans difficulté que ce foncteur est un isomorphisme.

Lorsque \underline{P} : \underline{H}⟶\underline{K} est un homomorphisme de gr-catégories, le noyau N(P) est une gr-catégorie dont les groupes d’homotopie interviennent dans la longue suite exacte d’homotopie associée à \underline{P} [32, prop. 3.1.5]. Plus précisément, l’homomorphisme \underline{Δ} : π_{1}(\underline{K})[0]⟶N(P), u⟼Δ(u) = (I, uΦ_{o}) s’inscrit dans une suite de grCat qui est ` ` 2-exacte´´ au sens de [23] :

\xymatrix{0 \ar[r] & π_{1}(N(P))[0] \ar[r]^{π_{1}(j)} & π_{1}(\underline{H})[0] \ar[r]^{π_{1}(P)} & π_{1}(\underline{K})[0] \ar[r]^{Δ} & N(P) \ar[r]^{j} & \underline{H} \ar[r]^{P} & \underline{K},}

et dont l’image par le 2-foncteur π_{o} donne la longue suite exacte en question, soit :

Proposition 2.5. [32, prop. 3.1.5]. Soit \underline{P} : \underline{H}⟶\underline{K} un homomorphisme de gr-catégories de noyau (N(P), j, ϵ). L’homomorphisme δ = π_{o}(\underline{Δ}) : π_{1}(\underline{K})⟶π_{o}(N(P)) est à valeur dans le centre du groupe π_{o}(N(P)). La suite de groupes suivante est exacte :

\xymatrix{0 \ar[r] & π_{1}(N(P)) \ar[r]^{π_{1}(j)} & π_{1}(\underline{H}) \ar[r]^{π_{1}(P)} & π_{1}(\underline{K}) \ar[r]^{δ} & π_{o}(N(P)) \ar[r]^{π_{o}(j)} & π_{o}(\underline{H}) \ar[r]^{π_{o}(P)} & π_{o}(\underline{K})}

Comme conséquence, on obtient que le noyau d’un homomorphisme \underline{P} de grcatégories qualifie ce dernier [32, prop. 3.1.6] :

Proposition 2.6. L’homomorphisme \underline{P} est fidèle (resp. plein) si et seulement si π_{1}(N(P)) = 1 (resp. π_{o}(N(P)) = 1).

2.7. Exemple. Soit \underline{H} une gr-catégorie où une contrainte d’inverse (.^{∗}, e_{.}, n_{.}) à été choisie [33, § 2.5.5.2]. Pour tout objet A de H, on dispose du foncteur de conjugaison par A (voir [3]) (i_{A}, Φ^{A}) : \underline{H}⟶\underline{H}, X⟼i_{A}(X) = (AX)A^{∗}. On est alors en présence d’un homomorphisme dit de conjugaison : (i, Φ^{i}) : \underline{H}⟶Eq(\underline{H}). Le noyau homotopique N(i) de cet l’homomorphisme est strictement isomorphe au centre Z(\underline{H}) de \underline{H} ([22] pour le centre). Par ailleurs, π_{1}(Eq(\underline{H})) est le groupe des 1-cocycles (i.e. des homomorphismes croisés ou dérivations [27, p. 106]) Z^{1}(π_{o}(\underline{H}), π_{1}(\underline{H})) du groupe π_{o}(\underline{H}) à valeur dans le π_{o}(\underline{H})-module π_{1}(\underline{H}) ([35], pour l’action de π_{o}(\underline{H}) sur π_{1}(\underline{H})). Le groupe π_{1}(Z(\underline{H})) est le groupe π_{1}(\underline{H})^{π_{o}(\underline{H})}, sous groupe des automorphismes de l’unité invariant pour l’action du groupe π_{o}(\underline{H}). La longue suite exacte d’homotopie appliquée à l’homomorphisme de conjugaison i : \underline{H}⟶Eq(\underline{H}) donne la suite exacte de groupes (on note π_{1} et π_{o} pour π_{1}(\underline{H}) et π_{o}(\underline{H}))

\xymatrix{0 \ar[r] & π_{1}^{π_{o}} \ar[r]^{π_{1}(j)} & π_{1} \ar[r]^{π_{1}(i)} & Z^{1}(π_{o}, π_{1}) \ar[r]^{δ} & π_{o}(Z(\underline{H})) \ar[r]^{π_{o}(j)} & π_{o} \ar[r]^{π_{o}(i)} & π_{o}(Eq(\underline{H})).}

Pour u ∈ π_{1}, π_{1}(i)(u) est la dérivation principale [27, p. 106] définie par u. Enfin, π_{o}(j) est à valeur sur le sous groupe Z(π_{o}) ∩ st_{π_{o}}(π_{1}) de π_{o} où st_{π_{o}}(π_{1}) est le sous groupe de π_{o} des éléments qui stabilisent tous les automorphismes.

3. Rappels sur les bicatégories

On renvoie le lecteur à [37] ainsi qu’à [1], [18] et [17] pour les généralités sur les bicatégories. Pour fixer les notations, donnons la définition classique suivante :

Définition Une bicatégorie A, correspond à la donnée d’une classe d’objets, A, B, C, …, BC1 d’une famille de (petites) catégories A(A, B), dont les objets et les mor-

phismes sont respectivement les 1-morphismes et les 2-morphismes de A, BC2 d’une famille de foncteurs de composition ` ` · ´ ´ : A(B, C) ×

A(A, B)⟶A(A, C), BC3 d’une famille de foncteurs I_{A} : 1l⟶A(A, A), où 1l est la catégorie à un objet

et une flèche. BC4 d’une famille d’isomorphismes naturels (contraintes d’associativité)

[figure: A(C, D) × A(B, C) × A(A, B); ·×1; 1×·; A(B, D) × A(A, B); ·; A(C, D) × A(A, C); ·; A(A, D); a_{A,B,C,D}]

BC5 de familles d’isomorphismes naturels (contraintes d’unité)

[figure: A(B, B) × A(A, B); ·; A(A, B); I_{B}×1; 1×I_{A}; 1; A(A, B) × A(A, A); ·; A(A, B); g_{AB}; d_{AB}]

Ces données sont cohérentes, dans le sens où la contrainte d’associativité vérifie l’égalité du pentagone [18, BC6 p. 39] et est compatible à la contrainte d’unité [18, BC7 p. 40].

Définition 3.1. On appelle bigroupoïde, une bicatégorie pour laquelle les 1 et 2morphismes sont respectivement des équivalences et des 2-isomorphimes.

3.2. Le théorème de cohérence pour les bicatégories [17, Théorème 1.5], [28] donne que le collage (pasting) de 2-cellules est uniquement déterminé par le choix d’un parenthésage des 1-morphismes du but et de la source de ce collage. Un collage dans une bicatégorie peut donc être signifié en omettant les 2-isomorphismes relatifs aux contraintes d’associativité et d’unité.

3.3. Une propriété locale pour une bicatégorie A est une propriété vérifiée par toutes les catégories A(A, B). Une bicatégorie B est dite sous-bicatégorie (resp. sousbicatégorie pleine, resp. sous-bicatégorie localement pleine) d’une bicatégorie A si les objets de B sont des objets de A et si pour tout couple d’objets (A, B) de B, B(A, B) est une sous-catégorie de A(A, B) (resp. B(A, B) = A(A, B), resp. B(A, B) est une sous-catégorie pleine de A(A, B)). En particulier, pour un objet A de A, la sous bicatégorie pleine de A ayant A comme seul objet peut être assimilée à une catégorie monoïdale [1, p. 19] que l’on notera A(A).

3.4. Pour A et B deux bicatégories, on note Bicat(A, B) la bicatégorie des homomorphismes de A dans B. Un homomorphisme H : A⟶B, correspond à la donnée d’une application H : ob(A)⟶ob(B), d’une famille de foncteurs H_{A,B} : A(A, B)⟶B(H(A), H(B)), d’une famille de 2-isomorphismes : i_{A} : H(I_{A})⟹I_{H(A)} et d’une famille d’isomorphismes naturels, appelés les contraintes de comparaisons,

[figure: A(B, C) × A(A, B); ·; H_{B,C}×H_{A,B}; A(A, C); H_{A,C}; B(H(B), H(C)) × B(H(A), H(B)); ·; B(H(A), H(C)); C_{A,B,C}]  (3.4.1)

cohérentes aux contraintes d’associativité et d’unité. Le théorème de cohérence pour les homomorphismes de bicatégories [17, Théorème 1.6], nous autorise à ne pas signifier les contraintes de ces derniers. Un 1-morphisme H⟶K de Bicat(A, B) est une pseudo-transformation naturelle θ : H⟶K. Une telle transformation consiste en la donnée d’une famille de 1-morphismes de B, appelés les composantes de θ, θ_{A} : H(A)⟶K(A), A objet de A, et d’une famille d’isomorphismes naturels :

[figure: A(A, B); H_{A,B}; K_{A,B}; B(H(A), H(B)); B(1,θ_{B}); B(K(A), K(B)); B(θ_{A},1); B(H(A), K(B)); θ_{.}]

soit, d’une famille de 2-isomorphismes θ_{f} : θ_{B}.H(f)⟹K(f).θ_{A} pour tout morphisme f : A⟶B de A, appelés les 2-isomorphismes structuraux de θ, satisfaisant aux conditions de cohérence usuelles [18, p. 43 et 80]. Lorsque pour tout objet A de A, les composantes θ_{A} d’une pseudo-transformation θ : H⟶K sont des équivalences, on parle alors de pseudo-équivalence. La donnée pour chaque composante θ_{A} d’une équivalence quasi-inverse θ_{A}^{∗} ⊣ θ_{A}, détermine une pseudoéquivalence quasi-inverse θ_{.}^{∗}, dont l’expression au morphisme f : A⟶B est donnée par l’accouplement (θ_{f}^{−1})^{∗} (voir [24] p. 87, pour la théorie de l’accouplement (the mates), voir aussi [30]) :

\xymatrix{ & H(A) \ar[rrrr]^{H(f)}^{g ⇑} \ar[rr]_{H(f)} \ar[dr]^{θ_{A}  ⇑ θ_{f}^{−1}} &  & H(B) \ar[rr]_{I} \ar[dr]_{θ_{B}}^{ϵ ⇑} &  & H(B) \\ K(A) \ar[rrrr]_{K(f)}_{d ⇑} \ar[ur]^{θ_{A}^{∗}}_{η ⇑} \ar[rr]^{I} &  & K(A) \ar[rr]^{K(f)} &  & K(B) \ar[ur]_{θ_{B}^{∗}}}

Enfin, un 2-morphisme soit une modification de Bicat(A, B),

[figure: A; H; K; B; θ; γ; m]  (3.4.2)

consiste en la donnée d’une famille de 2-morphismes m_{A} : θ_{A}⟹γ_{A}, telle que pour tout 1-morphisme f : A⟶B de A : γ_{f}.(m_{B}H(f)) = (K(f)m_{A}).θ_{f}.

3.5. Un homomorphisme H : A⟶B est une biéquivalence si H est biessentiellement surjectif c’est-à-dire si pour tout objet B de B, il existe un objet A de A et une équivalence entre B et H(A) et si H est localement une équivalence, c’est-à-dire si le foncteur H_{A,B} : A(A, B)⟶B(H(A), H(B)) est une équivalence de catégories pour tout couple (A, B) d’objets de A. Lorsque A et B sont des bigroupoïdes, un homomorphisme H : A⟶B est une biéquivalence si et seulement si H induit une bijection sur les composantes connexes π_{0}(A) et π_{0}(B) et si pour tout objet A de A, H induit une gr-équivalence sur les gr-catégories A(A) et B(H(A)) ([31] dans le cas 2-groupoïde).

Notation 3.6. Soit A une bicatégorie, on note par Bieq(A) le bigroupoïde, sousbicatégorie de Bicat(A, A), dont les objets, les 1-morphismes et les 2-morphismes sont respectivement les biéquivalences, les pseudo-équivalences et les modifications inversibles.

3.7. Soient A, B, C et D des bicatégories. Un homomorphisme H : B⟶C détermine des homomorphismes, strict pour le second, [18, p. 88], qui sont des biéquivalences si H l’est :

H∘ : Bicat(A, B)⟶Bicat(A, C) et ∘ H : Bicat(C, D)⟶Bicat(B, D).

Enfin, rappelons que l’on a des isomorphismes canoniques [37, p. 122]:

Bicat(A, Bicat(B, C)) ≃ Bicat(B, Bicat(A, C)),  (3.7.1)

Bicat(A, B) ≃ Bicat(A^{op}, B^{op})^{op}.  (3.7.2)

3.8. Cas des catégories monoïdales. Comme on l’a déjà dit, une catégorie monoïdale \underline{K} peut être assimilée à une bicatégorie ayant un seul objet, point de vue que l’on signifira en cas d’ambiguité avec la notation \underline{K}[1]. Un homomorphisme de catégories monoïdales est un homomorphisme de bicatégories. Pour deux catégories monoïdales \underline{K} et \underline{G}, on peut considérer les bicatégories Bicat(\underline{K}, \underline{G}) et Bieq(\underline{G}).

Une pseudo-transformation θ : \underline{H}⟶\underline{H′} entre une paire d’homomorphismes de Bicat(\underline{K}, \underline{G}) correspond à la donnée, pour son unique composante d’un objet θ de G et, pour ses isomorphismes structuraux d’une famille d’isomorphismes de G,

θ_{A} : θ ⊗ H(A)⟶H′(A) ⊗ θ,  (3.8.1)

naturels en A et cohérente à la structure avec la commutativité des deux diagrammes suivants :

\xymatrix{θH(AB) \ar[rrr]^{θ_{AB}} \ar[d]_{a∘(θΦ^{H})} &  &  & H′(AB)θ \\ (θH(A))H(B) \ar[r]^{θ_{A}⊗1} & (H′(A)θ)H(B) \ar[r]^{a} & H′(A)(θH(B)) \ar[r]^{1⊗θ_{B}} & H′(A)(H′(B)θ) \ar[u]_{Φ^{H′} θ∘a}}

\xymatrix{θ ⊗ H(I) \ar[rr]^{θ_{I}} \ar[d]_{θ⊗Φ_{o}^{H}} &  & H′(I) ⊗ θ \ar[d]^{Φ_{o}^{H′} ⊗θ} \\ θ ⊗ I \ar[r]^{d_{I}^{−1}} & θ & I ⊗ θ. \ar[l]_{g_{I}}}

Lorsque \underline{G} est une gr-catégorie où des choix d’objets quasi-inverses sont faits, une telle pseudo-transformation doit être comprise comme une transformation monoïdale i_{θ} ∘ H⟶H′ où i_{θ} est l’homomorphisme de conjugaison intérieur défini par l’objet θ de \underline{G} composante de cette pseudo-transformation.

Enfin, un 2-morphisme m : θ⟹θ′ : H⟶H′ correspond à la donnée d’un morphisme de K, m : θ⟶θ′, tel que pour tout objet A de H, on ait la commutativité du carré :

\xymatrix{θ ⊗ H(A) \ar[r]^{θ_{A}} \ar[d]_{m⊗1} & H′(A) ⊗ θ \ar[d]^{1⊗m} \\ θ′ ⊗ H(A) \ar[r]^{θ′_{A}} & H′(A) ⊗ θ′.}

4. La bicatégorie monoïdale \underline{Bieq}(\underline{G}) des biéquivalences d’une gr-catégories

On se réfère à [17] pour la structure de bicatégorie monoïdale c’est-à-dire de tricatégorie ayant un seul objet. Une structure monoïdale sur une bicatégorie B consiste en les données suivantes :

B1 un homomorphisme de bicatégories ⊗ : B × B⟶B;

B2 un homomorphisme unité I : 1l⟶B de Bicat(1l; B) où 1l est la bicatégorie ayant un objet, un 1-morphisme et un 2-morphisme;

B3 une pseudo-équivalence a de Bicat(B × B × B; B) appelée la contrainte d’associativité

[figure: B × B × B; ⊗×1; 1×⊗; B × B; ⊗; B × B; ⊗; B; a]

B4 des pseudo-équivalences l et r de Bicat(B; B) appelées les contraintes d’unité

[figure: B × B; ⊗; B; I×1; 1×I; 1; B × B; ⊗; B; l; r]

B5 une modification π de Bicat(B×B×B×B; B) donnant la pseudo-commutativité des pentagones de Mac Lane

[figure: B^{4}; 1×⊗×1; 1×1×⊗; ⊗×1×1; B^{3}; 1×⊗; ⊗×1; B^{3}; 1×⊗; ⊗×1; B^{2}; ⊗; π; B^{3}; ⊗×1; 1×⊗; B^{2}; ⊗; B^{2}; ⊗; B; 1×a; a; a; a; a×1]

B6 une modification μ de Bicat(B ×B; B) donnant la pseudo-commutativité des diagrammes de compatiblité des contraintes d’associativité et d’unité,

[figure: B^{2}; 1; 1×I×1; 1; B^{2}; 1; 1; B^{3}; ⊗×1; 1×⊗; μ; B^{2}; ⊗; B^{2}; 1; 1; B^{2}; ⊗; B^{2}; ⊗; B; d×1; a; 1⊗g]

Les données B5 et B6 sont elles mêmes cohérentes, c’est-à-dire que la modification π vérifie la condition du 4-cocycle non abélien ([17], TA1) condition qui correspond à une commutativité du type polyèdre K_{5} de Stasheff [36], la modification μ vérifie les conditions de normalisation à gauche et à droite (loc. cit., TA2-TA3) pour les modifications λ et ρ induites (loc. cit., rem. 2.3.).

Pour \underline{T} = (T , ⊗, a, I, g, d, π, μ) une bicatégorie monoïdale, on omettra souvent de signifier dans les diagrammes les contraintes dues à la bicatégorie T ou à l’homomorphisme ⊗ comme cela est possible avec les théorèmes de cohérence, th. 5 et th. 6, de loc. cit.. Par exemple, pour des 2-morphismes u et w de T du type

\xymatrix{A \ar[r]^{f} \ar[d]^{⇓u}_{a} & B \ar[d]^{b} & D \ar[r]^{h} \ar[d]^{⇓w}_{d} & E \ar[d]^{e} \\ A′ \ar[r]_{f′} & B′ & D′ \ar[r]_{h′} & E′}

le diagramme

\xymatrix{A ⊗ D \ar[r]^{f⊗h} \ar[d]^{⇓u⊗w}_{a⊗d} & B ⊗ E \ar[d]^{b⊗e} \\ A′ ⊗ D′ \ar[r]_{f′⊗h′} & B′ ⊗ E′}  (4.0.1)

aussi signifié quelquefois par la notation u × w, correspondra à la composition

(b ⊗ e).(f ⊗ h) ≃ (b.f) ⊗ (e.h) ⟶^{u⊗w} (a.f′) ⊗ (h′.d) ≃ (f′ ⊗ h′).(a ⊗ d).

De même, pour un 1-morphisme f et un objet X de T , on notera par f ⊗ X le 1-morphisme f ⊗ I_{X} (avec I_{X} l’unité en X). Pour un 2-morphisme u et un objet X de T , on notera par u ⊗ X ou encore par u ⊗ 1 le produit u ⊗ 1_{I_{X}}. Enfin, pour θ : X⟶Y un 1-morphisme de T , on notera aussi par I_{θ} : I_{Y} .θ⟹θ.I_{X}, (où I_{θ} = d_{θ}g_{θ}) l’expression en θ de la pseudo-équivalence unité de l’homomorphisme 1_{T} : T ⟶T de Bicat(T , T ) . Avec ces conventions, le produit u × I_{θ} correspond donc au diagramme

\xymatrix{A ⊗ X \ar[r]^{f⊗θ} \ar[d]^{⇓u⊗I}_{a⊗X} & B ⊗ Y \ar[d]^{b⊗Y} \\ A′ ⊗ X \ar[r]_{f′⊗θ} & B′ ⊗ Y}

4.1. La bicatégorie monoïdale \underline{Bieq}(\underline{G})

Soit \underline{G} une gr-catégorie, on précise ici la structure monoïdale sur Bieq(\underline{G}) que nous allons utiliser par la suite.

B1 L’homomorphisme de composition est défini sur la cellule de Bieq(\underline{G})×Bieq(\underline{G}),

[figure: (K, H); (ϕ,θ); (ϕ′,θ′); (K′, H′); (n,m)]  (4.1.1)

par les égalités :

K ⊗ H = KH, ϕ ⊗ θ = ϕH′.Kθ, n ⊗ m = nH′.Km .

La pseudo-transformation produit ϕ ⊗ θ correspond à la composition dans Bieq(\underline{G}) :

[figure: \underline{G}; KH; KH′; K′H′; \underline{G}; Kθ; ϕH′]  (4.1.2)

Cette pseudo-transformation est définie pour sa composante par l’objet ϕ⊗K(θ) de G et pour ses isomorphismes structuraux par la famille d’isomorphismes (ϕ ⊗ θ)_{X}, X objet de G, donnés par la composition suivante (les contraintes d’associativité sont omises, ce qui sera souvent le cas pour la suite) :

\xymatrix{(ϕK(θ))KH(X) \ar@{-->}[rr]^{(ϕ⊗θ)_{X}} \ar[d]_{1(Φ^{K})^{−1}} &  & K′H′(X)(ϕK(θ)) \\ ϕK(θH(X)) \ar[r]^{1K(θ_{X})} & ϕK(H′(X)θ) \ar[r]^{1Φ^{K}} & (ϕKH′(X))K(θ) \ar[u]_{ϕ_{H′(X)}1}}  (4.1.3)

La modification produit n ⊗ m, est définie par le morphisme n ⊗ K(m) de G. La contrainte de comparaison de cet homomorphisme de composition est définie au 1-morphisme de Bieq(\underline{G})×Bieq(\underline{G}) :

(K, H) ⟶^{(ϕ,θ)} (K′, H′) ⟶^{(ϕ′,θ′)} (K′′, H′′)

par la modification de Bieq(\underline{G}),

C^{⊗} : (ϕ′.ϕ) ⊗ (θ′.θ)⟹(ϕ′ ⊗ θ′).(ϕ ⊗ θ),  (4.1.4)

définie par le collage dans Bieq(\underline{G}) :

[figure: ⇓ Φ^{K}; KH′′; (ϕ′.ϕ)H′′; ϕH′′; ⇓ ϕ_{θ′}; ∥; KH; K(θ′.θ); ϕH′.Kθ; Kθ; KH′; Kθ′; ϕH′; K′H′′; ϕ′H′′; K′′H′′ .; ∥; K′H′; K′θ′; ϕ′H′′.K′θ′; ∥]

Enfin, la contrainte d’unité est définie à l’unité (I_{K}, I_{H}) : (K, H)⟶(K, H) par la modification I_{K} ⊗ I_{H}⟹I_{KH} correspondant au morphisme de G :

C_{0}^{⊗} : IK(I) ⟶^{IΦ_{0}^{K}} II ⟶^{g} I.

B2 L’unité est donnée par l’ identité 1_{G} et la pseudo-transformation I_{1_{G}}.

B3 La contrainte d’associativité est la pseudo-équivalence de composantes des unités ayant pour expression au 1-morphisme (ω, ϕ, θ) : (L, K, H)⟶(L′, K′, H′) la modification de Bieq(\underline{G}) :

[figure: (LK)H; (ωϕ)θ; I; (L′K′)H′; I; L(KH); ω(ϕθ); L′(K′H′); α_{ω,ϕ,θ}]  (4.1.5)

où le morphisme α_{ω,ϕ,θ} est défini par la composition dans G :

[figure: I((ωL(ϕ))LK(θ)); α_{ω,ϕ,θ}; g; (ωL(ϕK(θ)))I; d; (ωL(ϕ))LK(θ); a; ω(L(ϕ)LK(θ)); 1Φ^{L}; ωL(ϕK(θ)).]

B4 Les contraintes d’unité sont les pseudo-équivalences de composantes des unités et où pour un 1-morphisme θ : H⟶H′, les modifications l_{θ} et r_{θ} de Bieq(\underline{G}) sont définies par les morphismes de \underline{G} :

l_{θ} : I(Iθ) ⟶^{g} Iθ ⟶^{I_{θ}} θI et r_{θ} : Iθ ⟶^{I_{θ}} θI ⟶^{1Φ_{o}^{−1}} θH(I) ⟶^{d} (θH(I))I .

B5 La modification π est définie en utilisant les modifications de Bieq(\underline{G}) induites par les contraintes d’unité de style ϕ_{o} : M(I)⟶I des homomorphismes considérés. Sa composante en (M, L, K, H) correspond au morphisme de \underline{G} :

(IM(I))[I(IMLK(I))] ⟶^{∼} IIIII ⟶^{∼} II .

B6 La modification μ admet pour composante en (K, H) le morphisme de \underline{G} :

(IH(I))[I(IH(I))] ⟶^{∼} IIIII ⟶^{∼} I .

Enfin, en supposant \underline{G} stricte on vérifie in extenso la condition du 4-cocycle non abélien et les conditions de normalisation à gauche et à droite. Si l’on souhaite encore alléger les diagrammes à considérer, on peut aussi supposer que les homomorphismes sont stricts, les contraintes d’associativité et d’unité sont alors strictes. On note \underline{Bieq}(\underline{G}) la bicatégorie monoïdale ainsi définie.

4.2. Exemples. Soit G[0] la gr-catégorie discrète dont les objets sont les éléments d’un groupe G. La bicatégorie monoïdale \underline{Bieq}(G[0]) est la gr-catégorie stricte associée au module croisé i : G⟶Aut(G) où i est l’homomorphisme de conjugaison.

En effet, la bicatégorie Bieq(G[0]) est la 2-catégorie localement discrète dont les objets sont les éléments du groupe Aut(G) des automorphismes de G et dont un morphisme θ : H⟶H′ correspond à la donnée d’un objet θ de G tel que i_{θ}∘H = H′ où i_{θ} est l’automorphisme de conjugaison défini par θ. Si l’on note (θ, H) un tel morphisme, l’égalité (θ_{2}, i_{θ_{1}} ∘ H)(θ_{1}, H) = (θ_{2}θ_{1}, H) définit la composition dans Bieq(G[0]). Le produit est défini par l’égalité (ϕ, K) ⊗ (θ, H) = (ϕK(θ), KH) et correspond au produit du groupe G × Aut(G), produit semi-direct pour l’action à gauche de Aut(G) sur G.

Cet exemple se généralise au cas où \underline{G} est une gr-catégorie pour laquelle des choix d’objet quasi-inverse sont effectués. Au ` ` module croisé ´ ´ défini par l’homomorphisme de conjugaison (voir [3]),

(i, Φ^{i}) : \underline{G}⟶Eq(\underline{G}) ,

peut être associée une bicatégorie monoïdale, qui doit être considérée comme étant \underline{Bieq}(\underline{G}). En effet, l’homomorphisme de conjugaison détermine une action à gauche sur le Eq(\underline{G})-torseur trivial (8.1.2). L’image de cette action par le foncteur défini en (7.2.1) détermine une bicatégorie E\underline{G}. On a un isomorphisme strict,

F : E\underline{G}⟶Bieq(\underline{G})  (4.2.1)

se réduisant à l’identité sur les objets et les 2-morphismes. Au 1-morphisme (λ, θ) : H⟶H′ de E\underline{G}, le 1-morphisme F ((θ, λ)) est la pseudo-transformation définie pour sa composante par l’objet θ de G et pour ses isomorphismes structuraux u_{−} : θ ⊗ H(−)⟶H′(−) ⊗ θ par la famille d’isomorphismes de composante en A :

\xymatrix{u_{A} : θH(A) ≃ (θH(A))I \ar[r]^{1⊗n_{A}^{−1}} & (θH(A))(θ^{∗}θ) ≃ ((θH(A))θ^{∗})θ \ar[r]^{λ_{A}⊗1} & H′(A)θ} .

L’isomorphisme F permet alors de définir par transport une structure monoïdale sur la bicatégorie E\underline{G}. Cela dit, comme pour l’exemple précédent, c’est bien la bicatégorie monoïdale \underline{Bieq}(\underline{G}) qu’il faut à présent associer à l’homomorphisme de congugaison (i, Φ^{i}) : \underline{G}⟶Eq(\underline{G}).

5. Morphismes de bicatégories monoïdales

Un homomorphisme H : \underline{T} ⟶\underline{S} de catégories monoïdales peut être vu soit comme un objet de la catégorie Mon(\underline{T} , \underline{S}) soit, lorsque \underline{T} et \underline{S} sont assimilées à des bicatégories ayant un seul objet, à un objet de la bicatégorie Bicat(\underline{T} , \underline{S}). Pour \underline{T} et \underline{S} des bicatégories monoïdales, le deuxième point de vue trouve sa généralisation avec la tricatégorie Tricat(\underline{T} , \underline{S}) des trihomomorphismes de \underline{T} vers \underline{S} définie dans [17]. On se propose ici d’étendre au cas des bicatégories monoïdales le premier point de vue, ce que l’on obtient avec la bicatégorie Bimon(\underline{T} , \underline{S}). En fait, comme dans [12] pour le cas des Gray-monoïdes, on développe dans la suite un cas ` ` lâche´´ .

Un morphisme ou homomorphisme lâche \underline{H} : \underline{T} ⟶\underline{S} de bicatégories monoïdales est avec la terminologie de [17], un foncteur lâche où la donnée (HTD2) de loc. cit. est un homomorphisme, les données (HTD3) et (HTD4) sont des pseudotransformations et les données (HTD5) et (HTD6) sont des modifications inversibles, soit :

Définition 5.1. Soient \underline{T} et \underline{S} deux bicatégories monoïdales, un morphisme ou homomorphisme lâche \underline{H} = (H, χ, ι, ω, γ, δ) : \underline{T} ⟶\underline{S} consiste en la donnée

HBM1 d’un homomorphisme H : T ⟶S de Bicat(T ; S),

HBM2 d’une pseudo-transformation naturelle χ^{H} de Bicat(T ×T ; S) :

[figure: T ×T; H×H; ⊗; S ×S; ⊗; T; H; S; χ^{H}]

HBM3 d’une pseudo-transformation naturelle ι^{H} de Bicat(1l; S) :

[figure: 1l; I; I; T; H; S; ι^{H}]

HBM4 d’une modification inversible ω^{H} : Ha.(χ.(χ ⊗ 1))⟹(χ.(1 ⊗ χ)).a de Bicat(T ×T ×T ; S) (où 1×χ est sur la face arrière) :

[figure: T^{3}; H^{3}; ⊗×1; 1×⊗; S^{3}; ⊗×1; 1×⊗; T^{2}; ω; H^{2}; ⊗; S^{2}; ⊗; T^{2}; H^{2}; ⊗; S^{2}; ⊗; T; H; S; χ×1; a; χ; χ; a]

HBM5 de modifications inversibles γ et δ de Bicat(T ; S) :

[figure: T; 1; I×1; H; T; 1; H; T; 1; 1×I; H; T; 1; H; T^{2}; γ; ⊗; H^{2}; T; H; T^{2}; ⊗; H^{2}; δ; T; H; S; 1; I×1; S; S; 1; 1×I; S; S^{2}; ⊗; S; S^{2}; ⊗; S; g; d; χ; χ; ι×1; 1×ι; g; d]

Ces données respectent les conditions de cohérence, [17], HTA1 et HTA2 que nous n’expliciterons pas ici.

Les morphismes de bicatégories monoïdales sont les objets d’une bicatégorie Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}) (l en indice pour lâche) dont les 1 et 2-morphismes sont respectivement les transformations monoïdales et les modifications. Une transformation monoïdale s’identifie à une tri-transformation, définie dans [17], ayant pour composantes des unités, ce qui est consistant avec le cas des catégories monoïdales où une transformation monoïdale s’identifie de la même manière à une pseudotransformation.

Définition 5.2. Un 1-morphisme \underline{θ} = (θ, Π^{θ}, M^{θ}) : \underline{H}⟶\underline{K}, appelé une transformation monoïdale, consiste en la donnée d’une pseudo-transformation naturelle de Bicat(T , S) : θ : H ⇒ K : T ⟶S et la donnée de modifications inversibles :

[figure: T ×T; H×H; K×K; ⊗; S ×S; ⊗; T ×T; H×H; ⊗; S ×S; ⊗; T; K; S; T; H; K; S; θ×θ; χ; θ; χ; Π^{θ}]

[figure: 1; I; I; 1; I; I; T; H; K; S; T; K; S; ι; θ; ι; M^{θ}]

sastisfaisant aux conditions de cohérence :

[figure: (\overline{A} \overline{B})\overline{C}; a; χ⊗\overline{C}; (θ_{A}θ_{B})θ_{C}; ⟹^{Π⊗I}; \overline{AB} \overline{C}; χ; θ_{AB}θ_{C}; ⟹^{Π}; \overline{(AB)C}; θ_{(AB)C}; H(a); (ÃB̃)C̃; a; χ⊗C̃; ⇓a; _{ÃBC̃}; χ; { \atop (AB)C}; K(a); \overline{A}(\overline{B} \overline{C}); θ_{A}(θ_{B}θ_{C}); \overline{A}⊗χ; ⟹^{I⊗Π}; _{\overline{A} \overline{BC}}; θ_{A}θ_{BC}  ⟹^{Π}; χ; \overline{A(BC)}; θ_{A(BC)}; Ã(B̃C̃); Ã⊗χ; _{ÃB̃C}; χ; { \atop A(BC)}; ω_{A,B,C}^{H}; ω_{A,B,C}^{K}; θ_{a}]

(5.2.1)

[figure: \overline{I} \overline{A}; θ_{I}⊗θ_{A}; χ_{I,A}; I\overline{A}; ι⊗\overline{A}; 1⊗θ_{A}; g\overline{A}; \overline{A} \overline{I}; θ_{A}⊗θ_{I}; χ_{A,I}; \overline{A}I; \overline{A}⊗ι; θ_{A}⊗1; d\overline{A}; Ĩ ; Ã; χ_{I,A}; IÃ; ι⊗Ã; _{ÃĨ}; χ_{A,I}; ÃI; Ã⊗ι; \overline{IA}; \overline{g_{A}}; θ_{IA}; \overline{A}; θ_{A}; \overline{AI}; \overline{d_{A}}; θ_{AI}; \overline{A}; θ_{A}; ĨA; g̃_{A}; Ã; ÃI; d̃_{A}; Ã; γ_{A}; γ_{A}; Π_{I,A}; gM⊗I; δ_{A}; δ_{A}; Π_{A,I}; I⊗gM]

(5.2.2)

pour tous objets A, B, et C de T et où l’on a noté \overline{X} et X̃ pour H(X) et K(X).

Définition 5.3. Un 2-morphisme \underline{m} : \underline{θ} ⇒ \underline{ϕ}, appelé une modification, consiste en la donnée d’une modification m : θ ⇒ ϕ de Bicat(T , S) sastisfaisant aux conditions de cohérence :

[figure: I; ι; ι; H(I); θ_{I}; ϕ_{I}; K(I); M^{θ}; M^{ϕ}; m_{I}]

[figure: H(A) ⊗ H(B); θ_{A}⊗θ_{B}; ϕ_{A}⊗ϕ_{B}; χ_{A,B}^{H}; K(A) ⊗ K(B); χ_{A,B}^{K}; H(A ⊗ B); θ_{A⊗B}; ϕ_{A⊗B}; H(A ⊗ B); m_{A}⊗m_{B}; m_{A⊗B}; Π^{θ}; Π^{ϕ}]

pour tout objet (A, B) de T × T .

5.4. La bicatégorie des (co)-homomorphismes Bimon(\underline{T} , \underline{S}) Un homomorphisme \underline{H} : \underline{T} ⟶\underline{S} sera un morphisme de bicatégories monoïdales pour lequel les pseudo-transformations χ et ι sont des pseudo-équivalences, ce qui avec la terminologie de [17] est un trihomomorphisme de \underline{T} dans \underline{S}. En outre, lorsque les pseudotransformations χ et ι sont prises dans l’autre sens, soit χ : H ∘ ⊗⟹ ⊗ ∘(H × H) et ι : H ⊗ I⟹I, et modulo les adaptations que cela implique, on parlera alors de co-morphisme et de co-homomorphisme. En particulier, on notera Bimon(\underline{T} , \underline{S}) la bicatégorie des co-homomorphismes de \underline{T} dans \underline{S}.

5.5. Compositions verticales et horizontales dans Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}). La composition verticale des 2-morphismes est définie par la composition verticale des modifications de Bicat(T , S) sous-jacentes, la cohérente (5.3) est immédiate. cette composition est stricte. Pour trois morphismes \underline{H}, \underline{K} et \underline{L} de Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}), le foncteur de composition horizontal,

· : Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S})(\underline{K}, \underline{L}) × Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S})(\underline{H}, \underline{K})⟶Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S})(\underline{H}, \underline{L}),

est défini sur les transformations monoïdales par l’égalité :

(ϕ, Π^{ϕ}, M^{ϕ}) · (θ, Π^{θ}, M^{θ}) := (ϕ.θ, Π^{ϕ}.Π^{θ}, M^{ϕ}.M^{θ})  (5.5.1)

où ϕ.θ est la composition des pseudo-transformations naturelles dans Bicat(T , S). La modification inversible M^{ϕ}.M^{θ} correspond à la composition dans Bicat(1l, S)(I, LI)

((ϕ.θ) ∘ I).ι^{H} ⟶^{∼} (ϕ ∘ I).((θ ∘ I).ι^{H}) ⟶^{1.M^{θ}} (ϕ ∘ I).ι^{K} ⟶^{M^{ϕ}} ι^{L}.

La modification Π^{ϕ}.Π^{θ} est définie par le collage dans Bicat(T ×T , S) en un cylindre des modifications Π^{ϕ} et Π^{θ}, soit :

[figure: T ×T; K×K; ⇓ϕ×ϕ; ≡Π^{ϕ}; L×L; ⊗; S ×S; ⊗; T ×T; H×H; ⇓θ×θ; ≡Π^{θ}; K×K; ⊗; S ×S; ⊗; T; H; ⇓ϕ; K; S; T; H; ⇓θ; K; S; χ; χ; χ; χ]

La composante à l’objet (A, B) de T^{2} de Π^{ϕ}.Π^{θ} correspond ainsi au collage dans S

[figure: H(A) ⊗ H(B); (ϕ.θ)_{A}⊗(ϕ.θ)_{B}; ⇓ C; θ_{A}⊗θ_{B}; χ_{A,B}^{H}; ⇓ Π^{θ}; K(A) ⊗ K(B); ϕ_{A}⊗ϕ_{B}; χ_{A,B}^{K}; ⇓ Π^{ϕ}; L(A) ⊗ L(B); χ_{A,B}^{L}; H(A ⊗ B); (ϕ.θ)_{A⊗B}; ∥; θ_{A⊗B}; K(A ⊗ B); ϕ_{A⊗B}; L(A ⊗ B)] (5.5.2)

Ces modifications Π^{ϕ}.Π^{θ} et M^{ϕ}.M^{θ} sont cohérentes au sens de (5.2.1) et (5.2.2). Par exemple pour Π^{ϕ}.Π^{θ}, il suffit de coller les ` ` cubes´´ de (5.2.1) pour Π^{ϕ} et Π^{θ} suivant les faces où interviennnent le 2-isomorphisme ω^{K}. Le résultat s’obtient en utilisant les théorèmes de cohérence pour les bicatégories ([17], Théorèmes 1.5 et 1.6).

La composition horizontale des 2-morphismes est définie via la composition horizontale des modifications de Bicat(T , S) sous-jacentes. Précisément, pour des 2-morphismes composables, \underline{m} : \underline{θ}⟶\underline{ϕ} et \underline{m′} : \underline{θ′}⟶\underline{ϕ′}, la modification m′.m est cohérente aux structures monoïdales. Par exemple, on obtient la première condition de cohérence avec le collage :

[figure: H(A) ⊗ H(B); θ_{A}⊗θ_{B}; ϕ_{A}⊗ϕ_{B}; χ_{A,B}^{H}; K(A) ⊗ K(B); χ_{A,B}^{K}; θ′_{A}⊗θ′_{B}; ϕ′_{A}⊗ϕ′_{B}; L(A) ⊗ L(B); χ_{A,B}^{L}; H(A ⊗ B); θ_{A⊗B}; ϕ_{A⊗B}; K(A ⊗ B); θ′_{A⊗B}; ϕ′_{A⊗B}; L(A ⊗ B); m_{A}⊗m_{B}; m_{A⊗B}; Π^{θ}; Π^{ϕ}; m′_{A}⊗m′_{B}; m′_{A⊗B}; Π^{θ′}; Π^{ϕ′}]

on applique aux arrêtes supérieures la contrainte de comparaison de l’homomorphisme ⊗ : S×S⟶S, ce qui donne avec (5.5.2) la condition de cohérence cherchée :

[figure: H(A) ⊗ H(B); (θ′.θ)_{A}⊗(θ′.θ)_{B}; (ϕ′.ϕ)_{A}⊗(ϕ′.ϕ)_{B}; χ_{A,B}^{H}; L(A) ⊗ L(B); χ_{A,B}^{L}; H(A ⊗ B); (θ′.θ)_{A⊗B}; (ϕ′.ϕ)_{A⊗B}; L(A ⊗ B); m′.m_{A}⊗m′.m_{B}; m′.m_{A⊗B}; Π^{θ′} .Π^{θ}; Π.Π]

Enfin, la compatibilité des compositions horizontales et verticales est immédiate. Ce qui clôt la définition des foncteurs de composition.

5.6. Contraintes d’unité et d’associativité de la bicatégorie Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}). Ces contraintes sont induites par celles de Bicat(T , S) et celles de l’homomorphisme ⊗ : S×S⟶S. En particulier pour \underline{T} une bicatégorie monoïdale et \underline{S} une 2-catégorie 2-monoïdale [17], Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}) est une 2-catégorie.

Plus précisément, pour un morphisme \underline{H} = (H, χ, ι, ω, γ, δ), l’unité en \underline{H} est donnée par \underline{I}\underline{H} = (I_{H}, Π^{I}, M^{I}) où I_{H} est la pseudo-transformation unité en H. La modification Π^{I} s’obtient avec la composition : (I^{−1})(1.i^{⊗}) : χ.(I_{H} ⊗I_{H})⟶χ.(I_{H(−)⊗H(−)})⟶(I_{H(−⊗−)}).χ^{H} où i^{⊗} : I_{H} ⊗I_{H}⟶I_{H(−)⊗H(−)} est la modification de Bicat(T ×T , S) induite par la contrainte d’unité du morphisme ⊗∘ : Bicat(T ×T , S ×S)⟶Bicat(T ×T , S). La modification M^{I} est donnée par l’isomorphisme d_{ι}^{−1} : ι_{I}.I_{H(I)}⟶ι_{I}. Les conditions de cohérences (5.2.1) et (5.2.2) des modifications Π^{I} et M^{I} se vérifient en utilisant la cohérence aux unités de la pseudo transformation χ. La condition (5.2.1) est essentiellement due à l’expression aux unités de la modification ω : Ha.(χ.(χ⊗1))⟹(χ.(1⊗χ)).a. La condition (5.2.2) s’obtient en utilisant les modifications γ et δ de HBM5. Pour Terminer avec les unités, on vérifie que les contraintes d’unité en H de Bicat(T , S), définissent des contraintes d’unité sur Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}) : g_{θ} : \underline{I}\underline{H}.\underline{θ}⟶\underline{θ} et d_{θ} : \underline{θ}⟶\underline{θ}.\underline{I}\underline{H}. Enfin, pour trois morphismes composables \underline{θ}, \underline{ϕ} et \underline{ω} de Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}), la contrainte d’associativité a : (ω.ϕ).θ⟶ω.(ϕ.θ) de Bicat(T , S) détermine une modification de Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}), naturelle en chaque terme. On montre alors (avec d’important diagrammes) que ces modifications définissent des contraintes d’associativité, cohérentes aux contraintes d’unité.

On vient de voir que les compositions et contraintes précédentes sont pour une part induites par celles de la bicatégorie Bicat(T , S). Plus précisément, on a un homomorphisme ` ` oubli´´ de la structure monoïdale :

O : Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S})⟶Bicat(T , S).

Proposition 5.7. Soient \underline{K} : \underline{T} ⟶\underline{S} un objet de Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}) et θ : H⟶K une équivalence dans Bicat(T , S) alors H et θ peuvent être structurés en un objet \underline{H} et un 1-morphisme θ : \underline{H}⟶\underline{K} de Bimon_{l}(\underline{T} , \underline{S}).

Démonstration succinte : Puisque θ est une équivalence, on dispose d’une pseudotransformation θ^{∗} et de modifications inversibles 1_{K}⟶θθ^{∗} et θ^{∗}θ⟶1_{H} telles que l’on obtienne une adjonction θ ⊣ θ^{∗}. Les pseudo-transformations χ^{H} et ι^{H} sont alors définies par les compositions χ^{H} = (θ^{∗} ∘ ⊗)(χ^{K})(⊗ ∘ (θ × θ)) et ι^{H} = (θ ∘ I)ι^{K}. En utilisant la modification inversible 1_{K}⟶θθ^{∗}, on dispose alors d’une modificaton inversible Π^{θ} : χ^{K}(⊗ ∘ (θ × θ))⟹θχ^{H}, qui permet de définir en utilisant les conditions de cohérence (5.2.1) et (5.2.2) les modifications ω^{H}, γ^{H} et δ^{H}.

6. Application aux (co)fibrations monoïdales

Soit K une petite catégorie. On note Cofib_{K} la 2-catégorie des cofibrations sur K, [19], dont les 1-morphismes et les 2-morphismes sont respectivement les K-morphismes cocartésiens et les K-transformations naturelles. Pour fixer les notations, rappelons que pour une cofibration p : F⟶K, un coclivage R [19, p. 181] correspond à la donnée, pour tout couple (X, f) où X est un objet de F et f un morphisme de K de source p(X), d’un f-morphisme cocartésien de F de source X :

R_{f}(X) : X⟶b_{f}(X).  (6.0.1)

On sait depuis [19] et [18, p. 50] que l’on a une 2-équivalence définie sur les objets par la construction de Grothendieck (voir aussi [37, 1.10]),

E : Bicat(K, Cat)⟶Cofib_{K}.  (6.0.2)

L’image d’un homomorphisme F : K⟶Cat est une cofibration p_{F} : E_{F} ⟶K. Un objet de E_{F} est un objet (X, A) de F_{A} ×K (on note F_{A} pour F (A)). Un morphisme de E_{F} est un couple (g, f) : (X, A)⟶(Y, B) où f : A⟶B est un morphisme de K et g : F_{f}(X)⟶Y est un morphisme de F_{B} (on note F_{f} pour F (f)), en particulier 1_{(X,A)} = (i_{A}(X), 1_{A}) où i_{A}(X) est la composante en X de l’isomorphisme naturel i_{A} : F_{1_{A}}⟹1_{F_{A}} fourni par la contrainte aux unités de l’homomorphisme F. La composition des morphismes est définie par

(g′, f′) ∘ (g, f) := (g′ ∘ F_{f′}(g) ∘ C_{f′,f}(X), f′ ∘ f)

où C_{f′,f}(X) est la composante en X de l’isomorphisme naturel C_{f′,f} : F_{f′∘f}⟹F_{f′} ∘ F_{f} fourni par la contrainte de comparaison de F. La cofibration p_{F} est la projection canonique sur K. L’image par E d’une pseudo-transformation θ : F ⟶F′ est le Kfoncteur cocartésien Θ : E_{F} ⟶E_{F′}, défini au morphisme (g, f) : (X, A)⟶(Y, B) de E_{F} par Θ(g, f) = (θ_{B}(g) ∘ θ_{f}^{−1}(X), f) : (θ_{A}(X), A)⟶(θ_{B}(Y), B). Enfin, L’image d’une modification m : θ⟹θ′ est la K-transformation M : Θ⟹Θ′ dont la composante en un objet (X, A) de E_{F} est donnée par le morphisme : (m_{A}(X) ∘ i_{A}(θ_{A}(X)), 1_{A}) : (θ_{A}(X), A)⟶(θ′_{A}(X), A).

Une cofibration monoïdale [7, def. 1.4] est un homomorphisme \underline{p} : \underline{H}⟶\underline{K} de catégories monoïdales tel que le foncteur sous-jacent soit une cofibration sur K et pour laquelle le produit de deux morphismes cocartésiens est un morphisme cocartésien. Pour l’étude de tels objets, P. Carrasco et A. M. Cegarra ont défini dans loc. cit la notion de pseudo-foncteur monoïdal sur \underline{K} (def. 1.6) :

Définition 6.1. Soit \underline{K} = (K, ⊗, a, I, g, d) une catégorie monoïdale. Un pseudofoncteur monoïdal défini sur \underline{K}, consiste à se donner :

1. Un pseudo-foncteur (F, i, C) : K⟶Cat c’est-à-dire un objet de Bicat(K, Cat).

2. Pour tous objets (A, B) de K × K, un foncteur (noté \overline{⊗} dans [7]) :

T_{A,B} : F_{A} × F_{B}⟶F_{A⊗B},

pour tous morphismes (f, g) : (A, B)⟶(A′, B′) de K × K, un isomorphisme naturel

t_{f,g} : F_{f⊗g} ∘ T_{A,B}⟹T_{A′,B′} ∘ (F_{f} × F_{g}),

tels que les 2-diagrammes suivants commutent :

(a) pour tous morphismes (f′∘f, g′∘g) : (A, B)⟶(A′, B′)⟶(A”, B”) de K×K,

[figure: F_{A}×F_{B}; T_{A,B}; F_{f′f} ×F_{g′g}; F_{A⊗B}; F_{f′f⊗g′g}; F_{A}×F_{B}; T_{A,B}; F_{f} ×F_{g}; F_{A⊗B}; F_{f⊗g}; C_{f′,f} ×C_{g′,g}; F_{A′} ×F_{B′}; T_{A′,B′}; F_{f′} ×F_{g′}; F_{A′⊗B′}; F_{f′⊗g′}; C_{f′g′,fg}; F_{A}”×F_{B}”; T_{A”,B”}; F_{A”⊗B”}; F_{A}”×F_{B}”; T_{A”,B”}; F_{A”⊗B”}; t_{f,g}; t_{f′,g′}; t_{f′f,g′g}]

(b) pour tous objets (A, B) de K × K,

[figure: F_{A} × F_{B}; T_{A,B}; 1_{F_{A}×F_{B}}; F_{1_{A}} ×F_{1_{B}}; F_{A⊗B}; F_{1_{A⊗B}}; 1_{F_{A⊗B}}; F_{A} × F_{B}; T_{A,B}; F_{A⊗B}; i_{A}×i_{B}; i_{A⊗B}; t_{1,1}]

3. Un objet Ĩ de F_{I}.

4. Pour tous objets (A, B, C) de K × K × K, un isomorphisme naturel :

α_{A,B,C} : F_{a_{A,B,C}} ∘ T_{AB,C} ∘ (T_{A,B} × 1_{F_{C}})⟹T_{A,BC} ∘ (1_{F_{A}} × T_{B,C}),

tel que pour tous morphismes (f, g, h) : (A, B, C)⟶(A′, B′, C′) de K × K × K, le diagramme suivant commute :

[figure: F_{A′} ×F_{B′} ×F_{C′}; T ×1; F_{A′B′} ×F_{C′}; T; F_{(A′B′)C′}; F_{a}; F_{A}×F_{B} ×F_{C}; T ×1; F_{f} ×F_{g}×F_{h}; F_{AB} ×F_{C}; T; F_{f⊗g}×F_{h}; F_{(AB)C}; F_{a}; F_{(f⊗g)⊗h}; F_{A}×F_{B} ×F_{C}; F_{f} ×F_{g}×F_{h}; 1×T; F_{A}×F_{BC}; F_{f} ×F_{g⊗h}; T; F_{A(BC)}; F_{f⊗(g⊗h)}; F_{A′} ×F_{B′} ×F_{C′}; 1×T; F_{A′} ×F_{B′C′}; T; F_{A′(B′C′)}; t_{f,g}×1; t_{f⊗g,h}; 1×t_{g,h}; t_{f,g⊗h}; C; C; α_{A,B,C}; α_{A′,B′,C′}]

5. Pour tout objet A de K, des isomorphismes naturels (compte tenu de d_{A} : A⟶A ⊗ I)

G_{A} : F_{g_{A}} ∘ T_{I,A}(Ĩ, .)⟹1_{F_{A}} et D_{A} : T_{A,I}(., Ĩ)⟹F_{d_{A}}

tel que pour tout morphisme f : A⟶A′ de K le diagramme suivant commute :

[figure: F_{A}; F_{f}; F_{A′}; F_{A}; F_{f}; F_{A′}; F_{IA}; F_{1⊗f}; F_{g_{A}}; F_{IA′}; F_{g}; F_{AI}; F_{f⊗1}; F_{d_{A}}; F_{A′I}; F_{d}; F_{A}; T (Ĩ,.); F_{f}; F_{A′}; T (F_{1_{I}} (Ĩ),.); T; F_{A}; T (.,Ĩ); F_{f}; ⇑ D_{A}; F_{A′}; T (.,F_{1_{I}} (Ĩ)); T; D_{A′} ⇑; G_{A}; G_{A′}]

Ces données devant être cohérentes c’est-à-dire que les deux diagrammes suivants commutent, le premier diagramme correspondant au polyèdre K_{5} de Stasheff [36] (dégénéré au sommet F_{A}F_{B}F_{C}F_{D} puisque \underline{Cat} est stricte) : pour tous objets (A, B, C, D) de K×K×K×K,

[figure: F_{A}F_{BC}F_{D}; T ×1; 1×T; F_{A(BC)}F_{D}; T; F_{A}F_{(BC)D}; T; F_{1_{A}} ×F_{a}; F_{(A(BC))D}; F_{a}; F_{(1⊗a)a}; F_{A((BC)D)}; F_{1⊗a}; F_{((AB)C)D}; F_{a⊗1}; F_{aa}; F_{a}; F_{A}F_{B}F_{C}F_{D}; F_{A(B(CD))}; F_{(AB)C}F_{D}; F_{a}×F_{1_{D}}; T; F_{A}F_{B(CD)}; T; F_{(AB)(CD)}; F_{a}; F_{AB}F_{C}F_{D}; T ×1; 1×T; F_{AB}F_{CD}; T; F_{A}F_{B}F_{CD}; T ×1; 1×T; α; 1×i; t; t; i×1; C; C; C; α; α; α×1; 1×α]

pour tous objets (A, B) de K × K (compte tenu que d_{A} : A⟶A ⊗ I),

[figure: F_{(AI)B}; F_{a}; F_{((1g_{B})a)^{−1}}; F_{d_{A}⊗1}; F_{A(IB)}; F_{1_{A}g_{B}}; F_{AI}F_{B}; T; ⇐^{t}; F_{d_{A}} ×F_{1_{B}}; F_{d_{A}} ×1; F_{AB}; F_{A}F_{IB}; T; t ⇓; F_{1_{A}} ×F_{g_{B}}; 1×F_{g_{B}}; F_{A}F_{B}; T_{A,I}(.,Ĩ)×1; F_{A}F_{B}; T; F_{A}F_{B}; 1×T_{I,B}(Ĩ,.); α; 1×i; i×1; D_{A}×1; 1×G_{B}]

On désigne par Cat la 2-catégorie monoïdale des petites catégories munies du produit cartésien.

Lemme 6.2. Un pseudo-foncteur monoïdal sur K est un objet de la bicatégorie Bimon_{l}(K, Cat).

Démonstration. Les points 2) et 3) de la définition précédente correspondent aux pseudo-transformations χ = (T, t^{−1}) et ι de HBM2 et HBM3, 5.1. Les points 4) et 5) correspondent aux modifications inversibles ω = α, γ = G et δ = D^{−1} de HBM4 et HBM5, tandis que le point 6) correspond aux conditions de cohérence de [17], HTA1 et HTA2.

On étend de manière évidente au cas monoïdal les notions de \underline{K}-morphismes cocartésiens et de \underline{K}-transformations naturelles, les objets sous-jacents étant des objets monoïdaux. On désigne par Cofmon\underline{K} la 2-catégorie des cofibrations monoïdales sur \underline{K}. La variante pour le cas moinoïdal de la 2-équivalence (6.0.2) est la suivante :

Théorème 1. On a une biéquivalence \underline{E} : Bimon_{l}(\underline{K}, \underline{Cat})⟶Cofmon\underline{K} qui est localement un isomorphisme, d’homomorphisme sous-jacent après oubli des structures monoïdales celui de la 2-équivalence (6.0.2).

Démonstration. L’homomorphisme \underline{E} est donc tel que le diagramme suivant commute, les flèches verticales étant celles d’oublies des structures monoïdales,

\xymatrix{Bimon_{l}(\underline{K}, \underline{Cat}) \ar[r]^{\underline{E}} \ar[d] & Cofmon\underline{K} \ar[d] \\ Bicat(K, Cat) \ar[r]_{6.0.2} & Cofib_{K}.}

Soit \underline{F} = (F, χ, ι, α, γ, δ) un objet de Bimon_{l}(\underline{K}, Cat). Soit p_{F} : E_{F} ⟶K la cofibration image par E, (6.0.2) du pseudo-foncteur F. Avec loc. cit. prop. 1.7, cette cofibration est sous-jacente à une cofibration monoïdale p\underline{F} : \underline{E}\underline{F} ⟶\underline{K}, ce qui définit l’homomorphisme \underline{E} sur les objets. Pour mémoire, en reprenant les notations de 6.1, rappelons que le foncteur ⊗ : E_{F} × E_{F} ⟶E_{F} est défini sur les objets par (X, A) ⊗ (Y, B) = (T_{A,B}(X, Y), A ⊗ B) et sur les morphismes par (x, f) ⊗ (y, g) = (T_{A′,B′}(x, y) ∘ t_{f,g}(x, y), f ⊗ g). La contrainte d’associativité de (E_{F} , ⊗) est définie en utilisant la modification α : F a.(χ.(χ⊗1))⟹(χ.(1⊗χ)), son expression aux objets (X, A), (Y, B) et (Z, C) de E_{F} est donnée par l’isomorphisme

\xymatrix{((X, A)(Y, B))(Z, C) \ar[r]^{(α_{A,B,C}(X,Y,Z), a)} & (X, A)((Y, B)(Z, C)) .}

Enfin, l’objet Ĩ de F_{I} et les modifications γ et δ permettent de définir la contrainte d’unité. Son expression en (X, A) est donnée par les isomorphismes

(γ_{A}(X), g_{A}) : (Ĩ, I)(X, A)⟶(X, A) et (δ_{A}(X), d_{A}) : (X, A)⟶(X, A)(Ĩ, I).

On obtient ainsi une cofibration monoïdale pour laquelle p\underline{F} est la projection sur \underline{K},

p\underline{F} : \underline{E}\underline{F} ⟶\underline{K} .  (6.2.1)

L’image par \underline{E} d’un 1-morphisme \underline{θ} = (θ, Π^{θ}, M^{θ}) : \underline{F} ⟶\underline{G} de Bimon_{l}(\underline{K}, Cat) est construite de la façon suivante. L’image par (6.0.2) de la pseudo-transformation θ : F ⟶G de Bicat(K, Cat) donne un K-morphisme Θ : E_{F} ⟶E_{G}. Les modifications Π^{θ} et M^{θ} et leurs conditions de cohérence (5.2.1) et (5.2.2) permettent de munir ce K-morphisme Θ de contraintes de comparaison et d’unité cohérentes aux structures monoïdales, ce qui définit l’homomorphisme \underline{E} sur les morphismes. La contrainte de comparaison est donnée aux objets (X, A) et (Y, B) par l’isomophisme de \underline{E}\underline{G} :

((Π_{A,B}^{θ}(X, Y))^{−1} ∘ i_{AB}, 1_{AB}) : Θ((X, A)(Y, B))⟶Θ(X, A)Θ(Y, B)  (6.2.2)

dont la première composante est l’isomorphisme de G_{AB} :

\xymatrix{G_{1_{AB}}θ_{AB}T_{A,B}^{F}(X, Y) \ar[r]^{i_{AB}} & θ_{AB}T_{A,B}^{F}(X, Y) \ar[r]^{(Π_{A,B}^{θ}(X,Y))^{−1}} & T_{A,B}^{G}(θ_{A}(X), θ_{B}(Y)).}

La contrainte d’unité est donnée par (M^{θ}∘i_{I}, 1_{I}) = Θ(Ĩ, I)⟶(Ĩ, I) dont la première composante est l’isomorphisme M^{θ} ∘ i_{I} : G_{1_{I}} (θ_{I}(Ĩ))⟶Ĩ. Enfin, l’image par \underline{E} d’un 2-morphisme \underline{m} : \underline{θ}⟶\underline{θ′} de Bimon_{l}(\underline{K}, Cat) est la K-transformation naturelle M : Θ⟶Θ′ image de m par la 2-équivalence (6.0.2). La cohérence de \underline{m} permet d’établir que l’on est alors en présence d’une K-transformation monoïdale. Pour deux objets \underline{F} et \underline{G} de Bimon_{l}(\underline{K}, Cat), on obtient ainsi un foncteur

Bimon_{l}(\underline{K}, Cat)(\underline{F} , \underline{G})⟶Cofmon\underline{K}(\underline{E}\underline{F} , \underline{E}\underline{G}),  (6.2.3)

qui définit localement \underline{E}. Enfin, en considérant les compositions horizontales on obtient un homomorphisme strict :

\underline{E} : Bimon_{l}(\underline{K}, Cat)⟶Cofmon\underline{K}.

Les résultats de [7] montrent que \underline{E} est biessentiellement surjectif. En effet, pour p : \underline{F}⟶\underline{K} une cofibration monoïdale, le choix d’un coclivage (6.0.1) détermine un pseudo-foncteur monoïdal \underline{F} (loc. cit. prop. 1.5 et def. 1.6). L’image par \underline{E} de ce pseudo-foncteur fournit alors une cofibration monoïdale qui est \underline{K}-équivalente à la cofibration p : \underline{F}⟶\underline{K}, (loc. cit. fin de la section 1).

Pour terminer, montrons que \underline{E} est localement un isomorphisme c’est-à-dire que pour tous pseudo-foncteurs monoïdaux \underline{F} et \underline{G}, (6.2.3) est un isomorphisme. Ce foncteur est clairement fidèle, montrons qu’il est plein. Soit \underline{M} : \underline{Θ}⟶\underline{Θ′} un morphisme de Cofmon\underline{K}(\underline{E}\underline{F} , \underline{E}\underline{G}). Par oubli des structures monoïdales, \underline{M} définit un morphisme M de Cofib_{K}(E_{F} , E_{G}). Via l’isomorphisme

Bicat(K, Cat)(F, G) ≃ Cofib_{K}(E_{F} , E_{G})  (6.2.4)

donné par la 2-équivalence (6.0.2), ce morphisme M provient d’une modification m : θ⟶θ′ de Bicat(K, Cat), et, la composante de M en un objet (X, A) de E_{F} est donnée par l’A-isomorphisme naturel :

(m_{A}(X) ∘ i_{A}(θ_{A}(X)), 1_{A}) : (θ_{A}(X), A)⟶(θ′_{A}(X), A).

En utilisant la cohérence de \underline{M} aux contraintes de comparaison et d’unité des morphismes \underline{Θ} et \underline{Θ′}, on vérifie facilement que m : \underline{θ}⟶\underline{θ′} est une modification de Bimon_{l}(\underline{K}, Cat). Ainsi, le foncteur (6.2.3) est plein. Montrons à présent qu’il est bijectif sur les objets. Soit \underline{Θ} : \underline{E}\underline{F} ⟶\underline{E}\underline{G} un K-homomorphisme c’està-dire un objet de Cofmon\underline{K}(\underline{E}\underline{F} , \underline{E}\underline{G}). Comme précédemment, l’homomorphisme Θ : E_{F} ⟶E_{G} provient, via l’isomorphisme (6.2.4), d’une pseudo-transformation θ : F ⟶G de Bicat(K, Cat). Par ailleurs, puisque \underline{Θ} est un K-homomorphisme soit que p\underline{G}\underline{Θ} = p\underline{F} et comme les homomorphismes p\underline{G} et p\underline{F} sont stricts, la contrainte de comparaison de \underline{Θ} exprimée en (X, A) et (Y, B) :

Φ^{Θ}((X, A), (Y, B)) : Θ((X, A)(Y, B))⟶Θ((X, A))Θ((Y, B))

ainsi que la contrainte d’unité de \underline{Θ} , Φ_{o}^{Θ} : Θ((Ĩ, I))⟶(Ĩ, I), sont respectivement un AB-isomorphisme et un I-isomorphisme et sont donc de la forme

Φ^{Θ}((X, A), (Y, B)) = (ϕ_{A,B}^{Θ}(X, Y), 1_{AB}) et Φ_{o}^{Θ} = (ϕ_{o}^{Θ}, 1_{I}).

En utilisant la naturalité des contraintes de comparaison et d’unité, d’abord exprimée pour des A et B morphismes puis pour des morphismes quelconques, on montre que pour X et Y des A et B-objets, les uniques isomorphismes Π_{A,B}^{θ}(X, Y) et M^{θ} donnés par :

Π_{A,B}^{θ}(X, Y) = [ϕ_{A,B}^{Θ}(X, Y) ∘ i_{AB}^{−1}]^{−1} : T_{A,B}^{G}(θ_{A}(X), θ_{B}(Y))⟶θ_{AB}T_{A,B}^{F}(X, Y)

M^{θ} = ϕ_{o}^{Θ} ∘ i_{I}^{−1} : θ_{I}(Ĩ)⟶Ĩ

sont d’une part, les composantes d’isomorphismes naturels :

\xymatrix{F_{A}×F_{B} \ar[dd]_{θ_{A}×θ_{B}}^{⟹^{Π{θ \atop A,B}}} \ar[r]^{T_{A,B}^{F}} & F_{A⊗B} \ar[dd]^{θ_{A⊗B}} &  & F_{I} \ar[dd]^{θ_{I}}_{⟸^{M^{θ}}} \\  &  & 1 \ar[ur] \ar[dr] \\ G_{A}×G_{B} \ar[r]_{T_{A,B}^{G}} & G_{A⊗B} &  & G_{I}}

et d’autre part, que ces isomorphismes sont eux-mêmes les composantes de modifications inversibles, structurant θ en un 1-morphisme de Bimon_{l}(\underline{K}, Cat). Ainsi, (6.2.3) est un isomorphisme.

6.3. Cas des fibrations monoïdales. En passant à la catégorie duale K^{op} de K, on obtient une 2-équivalence (voir aussi [18])

Bicat(K^{op}, Cat)⟶Fib_{K},  (6.3.1)

où Fib_{K} est la 2-catégorie des fibrations sur K dont les objets, les 1-morphismes et les 2-morphismes sont respectivement les K-catégories fibrées, les K-morphismes cartésiens et les K-transformations naturelles. Pour une catégorie monoïdale \underline{K}, on note par \underline{K^{op}} la structure monoïdale induite sur la catégorie opposée K^{op} c’est-à-dire où le produit est sur les objets celui de K et sur les flèches celui de K sur les flèches opposées, (la notation \underline{K}[1]^{co} est plus standard [24] lorsque \underline{K} est regardée comme une bicatégorie à un seul objet). On a alors une biéquivalence qui est localement un isomorphisme, d’homomorphisme sous-jaccent (6.3.1),

Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat)⟶Fibmon\underline{K}  (6.3.2)

où Fibmon\underline{K} est la 2-catégorie dont les objets, les 1-morphismes et les 2-morphismes sont respectivement les fibrations monoïdales sur \underline{K}, les \underline{K}-homomorphismes cartésiens et les \underline{K}-transformations naturelles.

7. Torseurs pour l’action d’une gr-catégorie

Une action à gauche (resp. à droite) d’une catégorie monoïdale \underline{M} sur une catégorie C consiste classiquement à se donner un homomorphisme de catégories monoïdales ([10] par exemple) α : \underline{M}⟶End(C) (resp. α : \underline{M}^{op}⟶End(C)), où End(C) est la catégorie monoïdale des endomorphismes de C. Un morphisme F : C⟶C′ de catégories munies d’une \underline{M}-action est un foncteur \underline{M}-équivariant c’est-à-dire un foncteur F tel que pour tout objet X de M, on dispose d’un isomorphisme naturel, F ∘ α(X) ≃ α′(X) ∘ F, ces isomorphismes devant satisfaire certaines conditions de compatibilité avec l’action de M. Cela dit, la 2-catégorie des (petites) catégories munie d’une \underline{M}-action à gauche, dont les morphismes sont les foncteurs \underline{M}-équivariants et les 2-morphismes les tranformations naturelles \underline{M}- équivariantes, est la 2-catégorie Bicat(\underline{M}[1], Cat). Cette 2-catégorie est pointée par l’objet correspondant à l’action de \underline{M} sur M donnée par les translations à gauche t_{g} : \underline{M}⟶End(M).

7.1. Soit α : \underline{M}⟶End(C) une action à gauche sur C et soit A un objet de C. Le foncteur O_{A} : M⟶C, X ↦ ^{X}A est \underline{M}-équivariant pour l’action sur M donnée par les translations à gauche t_{g}. En d’autres termes, le foncteur O_{A} : M⟶C est la composante d’une pseudo-transformation de Bicat(\underline{M}[1], Cat),

O : t_{g}⟹α.  (7.1.1)

L’isomorphisme structural en un objet X de M de cette pseudo-transformation, O_{X} : O_{A} ∘ t_{g}(X)⟹α(X) ∘ O_{A}, est donné en un objet Y de M par la contrainte de comparaison de α : O_{X}(Y) := Φ(X, Y)_{A} : ^{(XY)}A⟶^{X}(^{Y} A).

7.2. A toute catégorie C munie d’une \underline{M}-action est associée fontoriellement une bicatégories. Plus précisément, notons Bicat^{[1]} la catégorie des bicatégories [1] et Bicat(\underline{M}[1], Cat)^{[1]} la catégorie sous-jacente à la 2-catégorie Bicat(\underline{M}[1], Cat). On a un foncteur :

E : Bicat(\underline{M}[1], Cat)^{[1]}⟶Bicat^{[1]}, α ⟼ E_{α} .  (7.2.1)

La bicatégorie E_{α}, image de α admet pour objets ceux de C. Un 1-morphisme A⟶B de E_{α} est un couple (f, X) où X est un objet de M et f : ^{X}A⟶B est un morphisme de C. Un 2-morphisme x : (f, X)⟶(f′, X′) de E_{α} est un morphisme x : X⟶X′ de M tel que f = f′ ∘ ^{x}A. L’unité en A est définie par le morphisme Φ_{o}(A) : ^{I}A⟶A donné par la contrainte à l’unité de l’homomorphisme α. La composition sur les 1-morphismes (f, X) : A⟶B et (g, Y) : B⟶C, est donnée par (g, Y) ∘ (f, X) := (g ∗ f, Y ⊗ X) avec g ∗ f := g ∘ ^{Y} f ∘ Φ(X, Y)_{A} : (Y ⊗X)A⟶^{Y} (^{X}A)⟶^{Y} B⟶C, où Φ(X, Y)_{A} est la contrainte de comparaison de l’homomorphisme α. Les compositions verticales et horizontales sur les 2morphismes sont respectivement données par la composition et la tensorisation dans \underline{M}. Les contraintes de la bicatégorie E_{α} sont fournies par celles de \underline{M}.

Dans toute la suite de cette section, \underline{G} = (G, ⊗, I, a, d, g) est une gr-catégorie. Puisque les objets de \underline{G} sont inversibles, une action à gauche de \underline{G} sur une petite catégorie C revient à la donnée d’un homomorphisme α : \underline{G}⟶Eq(C) où Eq(C) est la gr-catégorie stricte des équivalences de la catégorie C.

Lemme 7.3. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Il existe un objet A de C tel que le foncteur O_{A} de (7.1.1) soit une équivalence.

2. Pour tout objet A de C le foncteur O_{A} est une équivalence.

3. C est un groupoïde et la bicatégorie E_{α} définie par (7.2.1) est biéquivalente à la bicatégorie 1l .

Démonstration. 1⟹2. Pour B un objet de C, il existe un objet Y de G et un isomorphisme i : ^{Y} A⟶B alors, pour tout objet X de G, l’isomorphisme :

\xymatrix{λ_{X} : ^{(XY)}A \ar[r]^{Φ(X,Y)(A)} & ^{X}(^{Y} A) \ar[r]^{^{X}i} & ^{X}B,}

constitue la composante en X d’un isomorphisme naturel λ : O_{A} ∘ t_{d}(Y)⟹O_{B}, et O_{B} est une équivalence si O_{A} en est une.

2⟹3. C est un groupoïde puisque G l’est. E_{α} est alors un bigroupoïde et il est facile de voir que π_{o}(E_{α}) = 1. Il reste donc à montrer que pour tout objet A de E_{α}, π_{0}(E_{α}(A)) = 1 et π_{1}(E_{α}(A)) = 1 c’est-à-dire que pour tout objet A, la gr-catégorie E_{α}(A) a des groupes d’homotopie triviaux. Pour cela, considérons le noyau homotopique N(1\underline{G}) (2.3) de l’isomorphisme 1\underline{G} : \underline{G}⟶\underline{G}. Les groupes d’homotopie de N(1\underline{G}) sont triviaux. Par ailleurs, on dispose d’un homomorphisme strict,

Δ_{A} : N(1\underline{G})⟶E_{α}(A),

défini à l’objet (X, v) de N(1\underline{G}) par l’objet (Φ_{o}(A) ∘ O_{A}(v), X) de E_{α}(A, A). Si O_{A} est une équivalence, on montre facilement que Δ_{A} est un isomorphisme et les groupes d’homotopie de E_{α}(A) sont donc triviaux.

3⟹1. Soit A un objet de C, alors O_{A} est essentiellement surjectif puisque π_{o}(E_{α}) = 1. De plus, la longue suite exacte d’homotopie (2.5) appliquée à Δ_{A} montre que Δ_{A} est une équivalence, ce qui ne peut avoir lieu que si O_{A} est une équivalence.

On aurait pu mener cette preuve en considérant la catégorie C comme audessus de la catégorie 1 à un objet et utiliser pour une partie, [10] proposition 2.2.. Les trois parties du lemme précédent sont équivalentes à la donnée d’une action simplement transitive c’est-à-dire que le foncteur induit par l’action G × C⟶C × C est une équivalence.

Définition 7.4. On appelle \underline{G}-torseur à gauche, un groupoïde C muni d’une \underline{G}- action à gauche vérifiant l’une des propriétés du lemme précédent. On note par Tors_{g}(\underline{G}) la sous 2-catégorie pleine de Bicat(\underline{G}[1], Cat) dont les objets sont les \underline{G}-torseurs à gauche.

Le groupoïde G est lui même un \underline{G}-torseur pour l’action donnée par les translations à gauche t_{g} : \underline{G}⟶Eq(G), et, la 2-catégorie Tors_{g}(\underline{G}) doit être considérée pointée par ce \underline{G}-torseur t_{g}. On note par End\underline{G}(t_{g}), la catégorie monoïdale stricte obtenue avec la sous 2-catégorie pleine de Tors_{g}(\underline{G}) ayant pour seul objet le \underline{G}-torseur t_{g} : \underline{G}⟶Eq(G). End\underline{G}(t_{g}) est la catégorie monoïdale des endomorphismes de G, \underline{G}- équivariants pour les actions de translation. Pour un objet X de G, la translation à droite par X, t_{d}(X) : G⟶G, est un endomorphisme de G, \underline{G}-équivariant pour les translations à gauche, les contraintes de compatibilité à l’action étant données par les contraintes d’associativité et d’unité de \underline{G}. On est en fait en présence d’un homomorphisme (noté T_{d} pour le différencier de l’homomorphisme t_{d} : \underline{G}⟶Eq(G)),

T_{d} : \underline{G}^{op}⟶End\underline{G}(t_{g}), X ↦ t_{d}(X),  (7.4.1)

dont les contraintes de comparaison et d’unité sont définies à partir de celles d’associativité et d’unité de \underline{G}.

Lemme 7.5. L’homomorphisme T_{d} est une équivalence monoïdale.

Démonstration. T_{d} est clairement fidèle. On montre la pleinitude et l’essentielle surjectivité en utilisant la \underline{G}-équivariance des objets considérés.

Soient C un \underline{G}-torseur pour l’action α : \underline{G}⟶Eq(C) et A un objet de C. le foncteur O_{A} étant une équivalence (7.3), la pseudo-transformation O : t_{g}⟹α de (7.1.1) est une équivalence de Tors_{g}(\underline{G}), (1.2.4). Tout \underline{G}-torseur est ainsi équivalent au \underline{G}-torseur t_{g}, et l’inclusion canonique

End\underline{G}(t_{g})[1] ↪ Tors_{g}(\underline{G})  (7.5.1)

est une 2-équivalence. Avec le lemme précédent on obtient en conclusion:

Proposition 7.6. l’homomorphisme \underline{G}[1]^{op}⟶Tors_{g}(\underline{G}) composé de (7.4.1) et (7.5.1) est une biéquivalence de bicatégorie.

Corollaire 7.7. La 2-catégorie Tors_{g}(\underline{G}) est un 2-groupoïde.

8. Bitorseurs pour l’action d’une gr-catégorie

Dans toute la suite, \underline{G} = (G, ⊗, I, a, d, g) et \underline{H} = (H, ⊗, I, a, d, g) sont des grcatégories. Soit C une petite catégorie et α : \underline{G}^{op}⟶Eq(C) une action à droite de \underline{G} sur C, on peut alors faire agir \underline{H} à gauche sur C avec une action compatible avec celle de \underline{G} (voir par exemple [3, def. 3.1.8] pour les conditions de compatibilité). On parle alors de (\underline{H}, \underline{G})-action. Les catégories munies d’une (\underline{H}, \underline{G})-action et les foncteurs (\underline{H}, \underline{G})-équivariants sont les objets et les 1-morphismes de la 2-catégorie Bicat(\underline{H}[1], Bicat(\underline{G}[1]^{op}, Cat)). On s’intéresse ici à la 2-catégorie

Bicat(\underline{H}[1], Tors_{d}(\underline{G})),  (8.0.1)

des petites catégories C munies d’une (\underline{H}, \underline{G})-action pour lesquelles la \underline{G}-action donne un \underline{G}-torseur à droite.

Notation 8.1. Soit C un \underline{G}-torseur à droite pour l’action α : \underline{G}^{op}⟶Eq(C). On note par Eq\underline{G}_{op}(α) la gr-catégorie stricte des auto-équivalences \underline{G}-équivariantes de C, obtenue avec la sous 2-catégorie pleine de Tors_{d}(\underline{G}) dont le seul objet est α.

L’ensemble des résultats obtenus pour les torseurs à gauche se transpose aux torseurs à droite. En particulier, l’équivalence momoïdale T_{g} : \underline{G}⟶Eq\underline{G}_{op}(t_{d}) composée avec l’inclusion canonique i_{t_{d}}: Eq\underline{G}_{op}(t_{d})[1] ↪ Tors_{d}(\underline{G}) donne une biéquivalence:

\underline{G}[1] ⟶^{∼} Tors_{d}(\underline{G}).  (8.1.1)

Un objet β[1] de Bicat(\underline{H}[1], Tors_{d}(\underline{G})) correspond à la donnée d’un torseur à droite α : \underline{G}^{op}⟶Eq(C) et d’un homomorphisme β : \underline{H}⟶Eq\underline{G}_{op}(α) définissant l’action à gauche de \underline{H} sur C compatible avec celle de α. Un exemple important de tel objet est celui obtenu à partir d’un homomorphisme, (r, Φ^{r}) : \underline{H}⟶\underline{G}. Un tel homomorphime détermine une action à gauche sur le \underline{G}-torseur t_{d} obtenue par la composition T_{g} ∘ r : \underline{H}⟶\underline{G}⟶Eq\underline{G}_{op}(t_{d}). On notera par (r, T_{g}) la (\underline{H}, \underline{G})-action ainsi définie. Cela dit, la biéquivalence de (8.1.1) donne une biéquivalence (les [1] seront souvent omis dans la suite)

Bicat(\underline{H}, \underline{G})⟶Bicat(\underline{H}, Tors_{d}(\underline{G})),  (8.1.2)

et toute \underline{H}-action compatible sur un \underline{G}-torseur est donc équivalente à une action de la forme (r, T_{g}). Le résultat suivant est bien connu dans la cadre (faisceautique) des bitorseurs pour l’action d’un groupe G (par ex. [2, p. 405]).

Lemme 8.2. Soit C un \underline{G}-torseur à droite pour l’action α : \underline{G}^{op}⟶Eq(C) et β : \underline{H}⟶Eq\underline{G}_{op}(α), une \underline{H}-action sur C compatible avec celle de \underline{G} c’est-à-dire soit β[1] un objet de Bicat(\underline{H}, Tors_{d}(\underline{G})). Les assertions suivantes sont équivalentes:

1. C est un \underline{H}-torseur à gauche pour l’action induite par β.

2. β : \underline{H}⟶Eq\underline{G}_{op}(α) est une équivalence.

Démonstration. Soit A un objet de C. Pour l’action à droite, le foncteur O_{A} : G⟶C, X ↦ A^{X} est une équivalence \underline{G}-équivariante, en d’autres termes, la pseudotransformation O : t_{d}⟹α simimlaire à celle de (7.1.1) pour les actions à gauche est une équivalence de Tors_{d}(\underline{G}). On suppose choisi une équivalence quasi-inverse O_{A}^{∗} : C⟶G de O_{A} tel que l’on ait une adjonction O_{A}^{∗} ⊣ O_{A}. Ce choix détermine par accouplement (voir 1.2.4) des données de \underline{G}-équivariance pour l’équivalence O_{A}^{∗}, définissant une équivalence O^{∗} : α⟹t_{d} de Tors_{d}(\underline{G}) quasi-inverse de O. Les choix précédents permettent de construire un homomorphisme de gr-catégories:

d_{A} : Eq\underline{G}_{op}(α)⟶\underline{G}.  (8.2.1)

Pour un objet F et un morphisme m : F ⟶F′ de Eq\underline{G}_{op}(α), soit pour un foncteur \underline{G}-équivariant F : α⟶α et une \underline{G}-transformation m : F ⟹F′, l’objet d_{A}(F) et le morphisme d_{A}(m) de \underline{G} sont respectivement définis par les égalités

d_{A}(F) = O_{A}^{∗}(F (A)) et d_{A}(m) = O_{A}^{∗}(m_{A}),

où m_{A} : F (A)⟶F′(A) est la composante en A de la transformation naturelle m. La contrainte de comparaison de d est obtenue en utilisant la \underline{G}-transformation η : 1_{C}⟹O_{A}O_{A}^{∗} intervenant dans l’adjonction dont l’expression en F (A) est l’isomorphisme fonctoriel en F (on note à présent d pour d_{A}) :

F (A) ⟶^{η_{F (A)}} A^{d(F)}.  (8.2.2)

Cet homomorphisme d est une équivalence de gr-catégories et peut être vu comme la localisation en α d’une biéquivalence quasi-inverse de (8.1.1). L’homomorphisme composé

Eq\underline{G}_{op}(α)[1] ⟶^{d[1]} \underline{G}[1] ⟶^{8.1.1} Tors_{d}(G)  (8.2.3)

est équivalent dans Bicat(Eq\underline{G}_{op}(α)[1], Tors_{d}(\underline{G})) à l’homomorphisme inclusion cano-nique i_{α} : Eq\underline{G}_{op}(α)[1] ↪ Tors_{d}(\underline{G}). Cette équivalence i_{t_{g}} ∘ T_{g} ∘ d⟹i_{α} admet pour composante le foncteur O_{A} et son expression en F est donnée par la modification

[figure: G; t_{g}(d(F)); O_{A}; ⇓ O_{F}; G; O_{A}; C; F; C]  (8.2.4)

où pour tout objet X de G,

O_{F} (X) : A^{d(F)X} ≈ (A^{d(F)})^{X} ⟶^{(η_{F}^{−1})^{X}} (F (A))^{X} ≈ F (A^{X}).  (8.2.5)

Avec l’homomorphisme définissant l’action à gauche de \underline{H} sur C, β : \underline{H}⟶Eq\underline{G}_{op}(α), on dispose alors d’un homomorphisme

r = d ∘ β : \underline{H}⟶\underline{G}  (8.2.6)

et ainsi d’une (\underline{H}, \underline{G})-action de la forme (r, T_{g}). Cette action est équivalente à la (\underline{H}, \underline{G})-action définie par l’homomorphisme β. Plus précisément, l’image de la pseudo-équivalence définie en (8.2.4) par l’homomorphisme prés multiplication par β[1]: Bicat(Eq\underline{G}_{op}(α)[1], Tors_{d}(\underline{G}))⟶Bicat(\underline{H}[1], Tors_{d}(\underline{G})), est une pseudoéquivalence de Bicat(\underline{H}[1], Tors_{d}(\underline{G})) (les inclusions canoniques sont omises)

T_{g} ∘ r⟹β  (8.2.7)

de composante l’équivalence O_{A} et dont l’expression en un objet H de H est donnée par la modification O_{H} : O_{A}t_{g}r(H)⟹β(H)O_{A} de Tors_{d}(\underline{G}) déduite de (8.2.4). En un objet X de G on a (l’action β(H) est notée par exponentiation à gauche de H),

O_{H}(X) : A^{r(H)X} ≈ (A^{r(H)})^{X} ⟶^{∼} (^{H}A)^{X} ≈ ^{H}(A^{X}).  (8.2.8)

Notons par O′_{A} : H⟶C, H ↦ ^{H}A le foncteur \underline{H}-équivariant pour l’action à gauche de \underline{H} sur C induite par β. Les composantes en X = I de (8.2.8) déterminent un isomorphisme naturel n : O_{A}r⟹O′_{A} : H⟶C défini en un objet H de H par l’isomorphisme :

n_{H} : A^{r(H)} ≈ A^{r(H)I} ⟶^{O_{H}(I)} ^{H}(A^{I}) ≈ ^{H}(A).

Enfin, on sait que C est un \underline{H}-torseur à gauche pour l’action induite par β si et seulement si O′_{A} est une équivalence ce qui a lieu, avec l’isomorphisme naturel précédent, si seulement si r est une équivalence puisque O_{A} : G⟶C en est une. Or r = d ∘ β est une équivalence si et seulement si β en est une puisque d en est une.

Définition 8.3. On appelle \underline{G}-bitorseur, un groupoïde C muni d’une (\underline{G}, \underline{G})-action tel que pour les actions à gauche et à droite, C soit un \underline{G}-torseur. On note par Bitors(\underline{G}) la sous 2-catégorie pleine de Bicat(\underline{G}, Tors_{d}(\underline{G})) dont les objets sont les \underline{G}-bitorseurs.

Comme exemple de \underline{G}-bitorseur, on a celui du bitorseur trivial G_{tri} = (1\underline{G}, T_{g}). Par (8.1.2), Bitors(\underline{G}) est donc biéquivalente à une sous 2-catégorie pleine de Biend(\underline{G}). Par le lemme (8.2) on a le résultat essentiel suivant.

Proposition 8.4. L’homomorphisme Bieq(\underline{G})⟶Bitors(\underline{G}), r ↦ (r, T_{g}) est une biéquivalence.

Ce résultat est à comparer avec ceux de L. Breen obtenus dans un cadre faisceautique, [2, th. 4.5.] pour un groupe G et [3, prop. 3.1.12.] pour un grchamp G. La biéquivalence précédente devrait être sous-jacente à une biéquivalence monoïdale utilisant la bicatégorie monoïdale des \underline{G}-bitorseurs \underline{Bitors}(\underline{G}). La structure monoïdale pour la bicatégorie des bitorseurs serait obtenue en introduisant un produit contracté de deux \underline{G}-bitorseurs.

9. Fibration en torseurs et bitorseurs

Une catégorie cofibrée sur K munie d’une \underline{G}-action (à gauche) compatible, un K-foncteur cocartésien \underline{G}-équivariant entre de telles catégories, et une Ktransformation \underline{G}-équivariante entre de tels morphismes sont respectivement un objet , un 1-morphisme et un 2-morphisme de la 2-catégorie Bicat(\underline{G}, Cofib_{K}). Une catégorie cofibrée sur K munie d’une \underline{G}-action compatible consiste donc en la donnée d’une cofibration p : E⟶K et d’une action α : \underline{G}⟶Eq(E) telles que, pour tout objet X de G le foncteur α(X) : E⟶E est un K-foncteur cocartésien, pour tout morphisme u : X⟶Y de G, α(u) : α(X)⟶α(Y) est une K-transformation naturelle, et où les contraintes de comparaison et d’unité de l’homomorphisme α sont des K-isomorphismes naturels. Une telle action induit sur la fibre p^{−1}(A) d’un objet A de K, une action α_{A} : \underline{G}⟶Eq(p^{−1}(A)) et donc détermine pour un objet A de K un objet α_{A} de Bicat(\underline{G}, Cat). Plus précisément, la 2-équivalence (6.0.2) et l’isomorphisme canonique (3.7.1) définissent une biéquivalence:

Bicat(K, Bicat(\underline{G}, Cat))⟶Bicat(\underline{G}, Cofib_{K}).

Définition 9.1. La 2-catégorie des \underline{G}-torseurs sur K, notée Tors_{g}(K, \underline{G}), est la sous 2-catégorie pleine de Bicat(\underline{G}, Cofib_{K}) dont les objets sont les cofibrations E sur K, munies d’une \underline{G}-action à gauche, pour lesquelles pour tout objet A de K, la fibre E_{A} est un \underline{G}-torseur (à gauche) pour l’action induite par celle de \underline{G} sur E.

Cette définition et la biéquivalence mentionnée plus haut donne une nouvelle biéquivalence :

Bicat(K, Tors_{g}(\underline{G}))⟶Tors_{g}(K, \underline{G}).  (9.1.1)

Par la proposition (7.6), on obtient :

Proposition 9.2. On a une biéquivalence : Bicat(K, \underline{G}^{op})⟶Tors_{g}(K, \underline{G}).

La catégorieTors_{g}(K, \underline{G})^{[1]} est la catégorie Tors(K, \underline{G}) des K-torseurs sur \underline{G} définie dans [10, def. 2.5]. La proposition précédente affine le résultat de loc. cit. sur la classification des \underline{G}-torseurs sur K. On obtient en particulier une bijection sur les classes d’isomorphismes π_{o}(Bicat(K, \underline{G}^{op}) ≃ π_{o}(Tors_{g}(K, \underline{G})), ce qui redonne le théorème 3.3 de [10]. Un objet à contrainte d’unité stricte (resp. un 1-morphisme entre de tels objets) de Bicat(K, \underline{G}^{op}) est appelé par ces auteurs un 2-cocycle (resp. un cobord).

Aux adaptations près, l’homomorphisme de (9.2) est construit comme celui de (9.2.1) que nous préférons expliciter pour la suite de ce travail. En considérant les torseurs à droite, on obtient une biéquivalence entre la bicatégorie Bicat(K, \underline{G}) et la 2-catégorie des K-cofibrations en \underline{G}-torseurs à droite. Cela dit, par l’isomorphisme canonique Bicat(K, \underline{G}) ≃ Bicat(K^{op}, \underline{G}^{op})^{op}, la bicatégorie Bicat(K, \underline{G}) est aussi biéquivalente à la 2-catégorie opposée des K-fibrations en \underline{G}-torseurs à gauche. Plus précisèment, on a une biéquivalence

E : Bicat(K, \underline{G})⟶Tors_{g}(K^{op}, \underline{G})^{op},  (9.2.1)

où Tors_{g}(K^{op}, \underline{G}) est la sous 2-catégorie pleine de Bicat(\underline{G}, Fib_{K}) dont les objets sont les fibrations sur K, munies d’une \underline{G}-action à gauche pour laquelle les fibres sont des \underline{G}-torseurs pour l’action induite. Détaillons cet homomorphisme.

Image des objets par (9.2.1). Soit c un objet de Bicat(K, \underline{G}). On note par θ_{f} l’objet de G image par c d’un morphisme f : A⟶B de K, par C_{f,g} : θ_{gf}⟶θ_{g}θ_{f} la contrainte de comparaison de c exprimée aux morphismes composables f et g de K, enfin on note par i_{A} : θ_{1_{A}}⟶I la contrainte d’unité exprimée à l’objet A de G. La cohérence de ces contraintes est donnée, pour tous morphismes composables f : A⟶B, g : B⟶C, h : C⟶D et tout objet A de K, avec la commutativité des diagrammes de \underline{G} suivants :

[figure: θ_{hgf}; C_{f,hg}; θ_{hg}θ_{f}; C_{g,h}θ_{f}; (θ_{h}θ_{g})θ_{f}; a; θ_{hgf}; C_{gf,h}; θ_{h}θ_{gf}; θ_{h}C_{f,g}; θ_{h}(θ_{g}θ_{f})]  (9.2.2)

[figure: θ_{1_{B}}θ_{f}; C_{f,1_{B}}; i_{B}θ_{f}; θ_{f}; θ_{f}; C_{1_{A},f}; θ_{f}θ_{1_{A}}; θ_{f} i_{A}; Iθ_{f}; g; θ_{f}; θ_{f}; d; θ_{f}I]  (9.2.3)

L’image par E, (9.2.1), d’un tel objet est la K-fibration en \underline{G}-torseurs

p : E_{c}⟶K,  (9.2.4)

définie de la manière suivante. La catégorie E_{c} a pour objets ceux du produit G ×K. Les morphismes de E_{c} au-dessus d’un morphisme f : A⟶B de K sont ceux de la forme (u, f) : (X, A)⟶(Y, B) où u : X⟶Y θ_{f} est un morphisme de G. La composition (v, g)(u, f) = (v.u, gf) dans E_{c} est définie par la composée gf de K et par la composition dans G :

v.u : X ⟶^{u} Y θ_{f} ⟶^{v1} (Zθ_{g})θ_{f} ⟶^{a} Z(θ_{g}θ_{f}) ⟶^{1C_{f,g}^{−1}} Zθ_{gf}.

L’unité en un objet (X, A) est l’isomorphisme ((Xi_{A}^{−1})d_{X}, 1_{A}). L’action à gauche β_{g} : \underline{G}⟶Eq(E_{c}) de \underline{G} sur E_{c} est donnée en un objet Z de G par la K-équivalence de E_{c} qui au morphisme (u, f) : (X, A)⟶(Y, B) associe le morphisme

Z(u, f) = (^{Z}u, f) : (ZX, A)⟶(ZY, B)  (9.2.5)

où ^{Z}u est le morphisme: ZX ⟶^{1u} Z(Y θ_{f}) ⟶^{a^{−1}} (ZY)θ_{f}. Au morphisme z : Z⟶Z′, cette action est donnée par le K-isomorphisme naturel ayant pour composante en (X, A) l’isomorphisme au dessus de A de première composante : (1i_{A}^{−1}) ∘ d ∘ (z1). Enfin, la contrainte de comparaison de cette action β_{g} : \underline{G}⟶Eq(E_{c}), est définie aux objets Y et Z de G, par le K-isomorphisme ^{(ZY)}_{−}⟶^{Z}(^{Y} _{−}) d’expression en (X, A) le A-isomorphisme de première composante est la composée : (1i_{A}^{−1}) ∘ d ∘ a.

Image des morphismes par (9.2.1). Soit λ : c⟶c′ un 1-morphisme de Bicat(K, \underline{G}). Un tel morphisme correspond à la donnée d’une famille d’objets λ_{A} de G, A objet de K, et d’une famille d’isomorphismes de G

λ_{f} : λ_{B}θ_{f}⟶θ′_{f}λ_{A}, f : A⟶B morphisme de K,

cohérentes à la composition et aux unités. L’image de λ par E, (9.2.1), est la K-équivalence \underline{G}-équivariante

E_{λ} : E_{c′}⟶E_{c}  (9.2.6)

définie au morphisme (u, f) : (X, A)⟶(Y, B) de E_{c′} par le morphisme de E_{c} (Y λ_{f}^{−1} ∗ uλ_{A}, f) : (Xλ_{A}, A)⟶(Y λ_{B}, B) de E_{c} où Y λ_{f}^{−1} ∗ uλ_{A} est le morphisme de G défini par la composée :

Xλ_{A} ⟶^{uλ_{A}} (Y θ′_{f})λ_{A} ⟶^{a} Y (θ′_{f}λ_{A}) ⟶^{Y λ_{f}^{−1}} Y (λ_{B}θ_{f}) ⟶^{a^{−1}} (Y λ_{B})θ_{f}.

La \underline{G}-équivariance de E_{λ} est donnée à l’objet (Y, A) et pour l’action de X par le A-isomorphisme de E_{c} dont la première composante est la composée :

(XY)λ_{A} ⟶^{a} X(Y λ_{A}) ⟶^{1i_{A}^{−1}} (X(Y λ_{A}))θ_{1_{A}}  (9.2.7)

Enfin, l’image d’un 2-morphisme m : λ⟶λ′, correspondant à la donnée d’une famille d’isomorphismes m_{A} : λ_{A}⟶λ′_{A} où (θ′_{f}m_{A})λ_{f} = λ′_{f}(m_{B}θ_{f}), est la Ktransformation G-équivariante

E_{m} : E_{λ}⟹E_{λ′}  (9.2.8)

dont la composante à l’objet (X, A) de E_{c′} est le A-isomorphisme de E_{c} dont la

première composante est : Xλ_{A} ⟶^{1m_{A}} Xλ′_{A} ⟶^{d} (Xλ′_{A})I ⟶^{1i_{A}^{−1}} (Xλ′_{A})θ_{1_{A}}.

Pour terminer la description indiquons les contraintes de l’homomorphisme E. La contrainte d’unité est donnée pour un objet c de Bicat(K, \underline{G}) par la Ktransformation \underline{G}-équivariante,

Φ_{o}^{c} : E_{I_{c}}⟹1_{E_{c}},  (9.2.9)

définie en (X, A) par le A-isomorphisme de première composante 1i_{A}^{−1} : XI⟶Xθ_{1_{A}}. Enfin, pour deux morphismes λ et β composables de Bicat(K, \underline{G}), la contrainte de comparaison en λ et β est la K-transformation \underline{G}-équivariante,

Φ^{E}(β, λ) : E_{β.λ}⟹E_{λ}E_{β},  (9.2.10)

d’expression en (X, A) :

X(β_{A}λ_{A}) ⟶^{a^{−1}} (Xβ_{A})λ_{A} ⟶^{d} ((Xβ_{A})λ_{A})I ⟶^{1i_{A}^{−1}} ((Xβ_{A})λ_{A})θ_{1_{A}}.

9.3. \underline{G}-bitorseurs sur K.

Pour K une petite catégorie et \underline{G} une gr-catégorie, (8.4) donne une nouvelle biéquivalence

Bicat(K, Bieq(\underline{G}))⟶Bicat(K, Bitors(\underline{G})).

La bicatégorie Bicat(K, Bieq(\underline{G})) est ainsi un équivalent algébrique de la 2catégorie des (co)-fibrations sur K où les fibres sont des \underline{G}-bitorseurs. Cela dit, via les biéquivalences

Bicat(K, Bieq(\underline{G})) ≃ Bicat(K, Bieq(\underline{G}^{op})^{op})  (3.7.2)
≃ Bicat(K^{op}, Bieq(\underline{G}^{op}))^{op}  (3.7.1)
≃ Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op}))^{op}  (8.4),

la bicatégorie Bicat(K, Bieq(\underline{G})) est aussi un équivalent algébrique de la 2-catégorie opposée des fibrations sur K où les fibres sont des \underline{G}^{op}-bitorseurs. On note G cette biéquivalence, soit :

G : Bicat(K, Bieq(\underline{G}))⟶Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op}))^{op}.  (9.3.1)

On va s’intéresser à cette dernière biéquivalence. Formellement Bitors(\underline{G^{op}}) est avec (8.3) la 2-catégorie des torseurs à gauche munis d’une \underline{G}-action à droite compatible. Comme pour les K-fibrations en \underline{G}-torseurs, une K-fibration en \underline{G}-bitorseurs est aussi une K-fibration en \underline{G}-torseurs munie d’une \underline{G}-action compatible pour laquelle les fibres deviennent des \underline{G}-bitorseurs. Ce dernier point de vue s’obtient ainsi :

Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op})) ↪ Bicat(K^{op}, Bicat(\underline{G}^{op}, Tors_{g}(\underline{G})))  (8.3)
≃ Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(K^{op}, Tors_{g}(\underline{G})))  (3.7.1)
≃  Bicat(\underline{G}^{op}, Tors_{g}(K^{op}, \underline{G}))  (9.1.1).

On dispose donc d’un homomorphisme qui est localement une équivalence,

S : Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op}))⟶Bicat(\underline{G}^{op}, Tors_{g}(K^{op}, \underline{G})).  (9.3.2)

La composée F = S^{op} ∘ G de (9.3.1) et (9.3.2), donne un homomorphisme,

F : Bicat(K, Bieq(\underline{G}))⟶Bicat(\underline{G}^{op}, Tors_{g}(K^{op}, \underline{G}))^{op},  (9.3.3)

qui est localement une équivalence. Il est facile de voir que cet homomorphisme s’obtient aussi de la façon suivante :

Bicat(K, Bieq(\underline{G})) ↪  Bicat(K, Bicat(\underline{G}, \underline{G}))
≃ Bicat(\underline{G}, Bicat(K, \underline{G})) (3.7.1)
≃ Bicat(\underline{G}, Tors_{g}(K^{op}, \underline{G})^{op})  (9.2.1)
≃ Bicat(\underline{G}^{op}, Tors_{g}(K^{op}, \underline{G}))^{op}  (3.7.2).

On se propose à présent pour préparer la suite de donner une description des homomorphismes G (9.3.1) et F (9.3.3).

\underline{Images des objets.} Soit (θ, C, i) un objet de Bicat(K, Bieq(\underline{G})). Un tel objet consiste en la donnée d’une famille d’équivalences monoïdales (que l’on notera en exposant),

(θ(A), Φ^{θ(A)}) : \underline{G}⟶\underline{G}, A objet de K  (9.3.4)

et d’une famille de pseudo-équivalences de Bieq(\underline{G})

θ(f) : θ(A)⟶θ(B), f : A⟶B morphisme de K,  (9.3.5)

cohérentes à la composition et aux unités via les contraintes de comparaison C et d’unité i de θ. Ces contraintes sont des modifications inversibles de Bieq(\underline{G})

C_{f,g} : θ(gf)⟹θ(g).θ(f) et i_{A} : θ(1_{A})⟹I_{θ(A)}  (9.3.6)

cohérentes aux unités et la composition de K. De manière plus détaillée, la pseudoéquivalences θ(f) (9.3.5) consiste en la donnée d’une famille d’objets θ_{f} de G et d’une famille d’isomorphismes naturels (on note ^{A}U pour θ(A)(U))

θ(f)_{U} : θ_{f} ^{A}U⟶^{B}Uθ_{f}, U objet de G,  (9.3.7)

d’une part cohérente à la structure de \underline{G} en particulier par l’égalité dans \underline{G}

[figure: .; ^{A}(UV); ⇓ Φ^{θ(A)}; ^{A}V; θ_{f}; ⇓ θ(f)_{V}; .; ^{A}U; θ_{f}; ⇓ θ(f)_{U}; .; θ_{f}; =; .; ^{A}(UV); θ_{f}; ⇓ θ(f)_{(UV )}; .; θ_{f}; .; ^{B}(UV); ⇑ Φ^{θ(B)}; ^{B}V; .; ^{B}U; .; .; ^{B}(UV); .]  (9.3.8)

pour tous objets U et V de G et d’autre part compatible à la composition et aux unités de K via les modifications (9.3.6). Ces modifications correspondent à la donnée d’une famille d’isomorphismes de \underline{G}

C_{f,g} : θ_{gf}⟶θ_{g}θ_{f}, i_{A} : θ_{1_{A}}⟶I,  (9.3.9)

telle que les conditions de cohérences (9.2.2) et (9.2.3) aient lieu. La compatiblité à la composition et aux unités de K des pseudo-équivalences θ(f), s’exprime par la commutativité dans G, pour tout objet U de G et morphismes f et g composables de K, des deux diagrammes suivants (les contraintes d’associativité sont omises) :

\xymatrix{θ_{gf} ^{A}U \ar[rr]^{θ(gf)_{U}} \ar[d]_{C_{f,g} 1} &  & ^{C}U θ_{gf} \ar[d]^{1 C_{f,g}} \\ θ_{g} θ_{f} ^{A}U \ar[r]_{1 θ(f)_{U}} & θ_{g} ^{B}U θ_{f} \ar[r]_{θ(g)_{U} 1} & ^{C}Uθ_{g} θ_{f}}

(9.3.10)

\xymatrix{θ_{1_{A}} ^{A}U \ar[rr]^{θ(1_{A})_{U}} \ar[d]_{i_{A} 1} &  & ^{A}U θ_{1_{A}} \ar[d]^{1 i_{A}} \\ I ^{A}U \ar[r]_{g} & ^{A}U \ar[r]_{d} & ^{A}U I .}

L’image d’un tel objet (θ, C, i) par la biéquivalence G, (9.3.1), est l’homomorphisme

G(θ) : K^{op}⟶Bitors(\underline{G}^{op})  (9.3.11)

qui associe à un objet A de K le bitorseur (θ(A), T_{d}) que l’on notera noté G_{θ(A)} dans la suite. L’action à droite (au dessus de A) est donc définie par la composée

β_{A} : \underline{G} ⟶^{θ(A)} \underline{G} ⟶^{T_{d}} Eq\underline{G}(t_{g}).

De même, l’image G(θ)(f), (9.3.11), d’un morphisme f : A⟶B de K, est le foncteur \underline{G}-équivariant (pour les deux actions) donné par la translation à droite par θ_{f}, t_{d}(θ_{f}) : G_{θ(B)}⟶G_{θ(A)}. L’équivariance à gauche est évidente, celle de droite s’obtient par tensorisation à droite des isomorphismes θ(f)^{−1}, (9.3.7), ce qui correspond à la famille d’isomorphismes naturels de Eq\underline{G}(t_{g}) :

[figure: G; t_{d}(^{B}U); t_{d}(θ_{f}); G; t_{d}(θ_{f}); G; t_{d}(^{A}U); G ,; t_{d}(θ(f)_{U}^{−1})]

où U est un objet de G. La cohérence à l’action de cette famille est donnée par (9.3.8). Enfin, les contraintes de comparaison et d’unité de l’homomorphisme G(θ), (9.3.11), sont définies par tensorisation de (9.3.9), la fonctorialité est obtenue avec (9.3.10), leurs cohérences avec (9.2.2) et (9.2.3).

Décrivons de manière similaire l’image par l’homomorphisme F, (9.3.3), de l’objet (θ, C, i) :

F (θ) : \underline{G}^{op}⟶Tors_{g}(K^{op}, \underline{G}).  (9.3.12)

Les familles d’objets θ_{f} et d’isomorphismes C_{f,g} : θ_{gf}⟶θ_{g}.θ_{f} et i_{A} : θ_{1_{A}}⟶I, définissent un objet c(θ) de Bicat(K, \underline{G}) qui détermine avec (9.2.4), un objet

E_{c(θ)} ⟶^{p} K  (9.3.13)

de Tors_{g}(K^{op}, \underline{G}) c’est-à-dire une K-fibration en \underline{G}-torseurs à gauche. Cette fibration est l’image par F (θ) de l’unique objet de la bicatégorie \underline{G}. Décrivons à présent l’action à droite de \underline{G} sur cette fibration. Un objet U de G détermine un morphisme c(U) : c(θ)⟶c(θ) de Bicat(K, \underline{G}), donné à l’objet A de K par l’objet ^{A}U et au morphisme f : A⟶B de K par l’isomorphisme θ(f)_{U}^{−1} : ^{B}Uθ_{f} ⟶θ_{f} ^{A}U, (9.3.7). Les contraintes de c(U) sont données par (9.3.10). Ce morphisme c(U) détermine avec (9.2.6) une K-équivalence \underline{G}-équivariante pour l’action à gauche, E_{c(U)}, notée ici F (θ)(U) :

\xymatrix{E_{c(θ)} \ar[dd]_{F (θ)(U)} \ar[dr]^{p} \\  & K . \\ E_{c(θ)} \ar[ur]_{p}}

Enfin, un morphisme u : U⟶V détermine un K-isomorphisme naturel \underline{G}- équivariant pour l’action à gauche dont on laisse la description au lecteur. Pour un objet (θ, C, i) de Bicat(K, Bieq(\underline{G})), on dispose alors d’un homomorphisme de gr-catégories, pleinement fidèle

(F (θ), Φ^{F (θ)}) : \underline{G}^{op}⟶Tors_{g}(K^{op}, \underline{G})(E_{c(θ)}) .

La contrainte de comparaison Φ^{F (θ)} considérée aux objets U et V de G est donnée par le K-isomorphisme \underline{G}-équivariant Φ^{F (θ)}(U, V) : F (θ)(UV)⟶F (θ)(V)F (θ)(U), donné à l’objet (X, A) de E_{c(θ)} par le A-isomorphisme dont la première composante est le morphisme de G (où la contrainte d’associativité est omise)

X ^{A}(UV) ⟶^{1Φ^{θ(A)}} X( ^{A}U)( ^{A}V) ⟶^{d} X( ^{A}U)( ^{A}V)I ⟶^{1i^{−1}} X( ^{A}U)( ^{A}V)θ_{1_{A}},

la naturalité provenant pour l’essentiel de (9.3.8). Ceci termine la description de F sur les objets. Pour la suite de ce travail, l’action à droite sur E_{c(θ)} ainsi définie sera notée par

β_{d} : \underline{G}^{op}⟶Eq(E_{c(θ)}).  (9.3.14)

\underline{Images des morphismes.} Soit s : (θ, C, i)⟶(ψ, C′, i′) un morphisme de la bicatégorie Bicat(K, Bieq(\underline{G})). On a donc une famille de pseudo-équivalences de Bieq(\underline{G})

s(A) : (θ(A), Φ^{θ(A)})⟶(ψ(A), Φ^{ψ(A)}), A objet de K  (9.3.15)

et une famille de modifications inversibles de Bieq(\underline{G})

s(f) : s(B).θ(f)⟹ψ(f).s(A), f : A⟶B morphisme de K,  (9.3.16)

cohérentes à la composition et aux unités de K. Plus précisément, la pseudoéquivalence s(A), (9.3.15), correspond à la donnée d’un objet s_{A} de G et d’une famille d’isomorphismes naturels, où l’on note ^{A}U (resp. ^{A.}U) pour θ(A)(U) (resp. ψ(A)(U)),

s(A)_{U} : s_{A} ^{A}U⟶^{A.}Us_{A}, U objet de G,  (9.3.17)

cohérente à la structure de \underline{G} comme en (9.3.8). La modification s(f), (9.3.16), correspond à la donnée d’un isomorphisme de G

s(f) : s_{B}θ_{f}⟶ψ_{f}s_{A}  (9.3.18)

tel que pour tout objet U de G le diagramme suivant commute (les contraintes d’associativités sont omises),

\xymatrix{s_{B} θ_{f} ^{A}U \ar[r]^{1 θ(f)_{U}} \ar[d]_{s(f)1} & s_{B} ^{B}U θ_{f} \ar[r]^{s(B)_{U} 1} & ^{B.}U s_{B} θ_{f} \ar[d]^{1 s(f)} \\ ψ_{f} s_{A} ^{A}U \ar[r]_{1 s(A)_{U}} & ψ_{f} ^{A.}U s_{A} \ar[r]_{ψ(f)_{U} 1} & ^{B.}U ψ_{f} s_{A} .}  (9.3.19)

Enfin, la cohérence à la composition et aux unités de K, correspond respectivement à la commutativité dans \underline{G} des diagrammes (les contraintes d’associativité sont omises),

\xymatrix{s_{C}θ_{gf} \ar[rr]^{s(gf)} \ar[d]_{1 C_{f,g}} &  & ψ_{gf}s_{A} \ar[d]^{C′_{f,g} 1} \\ s_{C} θ_{g} θ_{f} \ar[r]_{s(g) 1} & ψ_{g} s_{B} θ_{f} \ar[r]_{1 s(f)} & ψ_{g} ψ_{f} s_{A}}

(9.3.20)

[figure: s_{A}θ_{1_{A}}; s(1_{A}); 1 i_{A}; ψ_{1_{A}}s_{A}; i′_{A} 1; s_{A} I; d; s_{A}; g; I s_{A}]

La pseudo-équivalence de Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op})) image de s par G, (9.3.11),

G(s) : G(ψ)⟶G(θ)  (9.3.21)

admet pour composante en un objet A de K la translation par l’objet s_{A},

G_{ψ(A)} ⟶^{t_{d}(s_{A})} G_{θ(A)},

où l’équivariance pour l’action à droite est obtenue avec (9.3.17) et dont l’expession en U correspond à l’isomorphisme naturel de Eq\underline{G}(t_{g})

[figure: G; t_{d}(^{A.}U); t_{d}(s_{A}); G; t_{d}(s_{A}); G; t_{d}(^{A}U); G .; t_{d}(s(A)_{U}^{−1})]

L’expression de G(s), (9.3.21), au morphisme f : A⟶B de K est obtenue avec (9.3.18) et (9.3.19) et correspond à l’isomorphisme naturel de Bitors(\underline{G}^{op}),

[figure: G_{ψ(B)}; t_{d}(ψ_{f}); t_{d}(s_{B}); G_{ψ(A)}; t_{d}(s_{A}); G_{θ(B)}; t_{d}(θ_{f}); G_{θ(A)} ,; t_{d}(s(f)^{−1})]

dont la cohérence à la composition et aux unités de K est obtenue avec (9.3.20).

Décrivons de la même manière la pseudo-équivalence F (s) : F (ψ)⟶F (θ) de Bicat(\underline{G}^{op}, Tors_{g}(K^{op}, \underline{G})), image par F de s. A l’unique objet de la bicatégorie \underline{G}, correspond la K-équivalence \underline{G}-équivariante pour l’action à gauche

\xymatrix{E_{c(ψ)} \ar[dd]_{E_{s}} \ar@{-->}[dr]^{p} \\  & K , \\ E_{c(θ)} \ar@{-->}[ur]_{p}}  (9.3.22)

obtenue avec (9.2.6) à partir de la pseudo-équivalence c(s) : c(θ)⟶c(θ′) de Bicat(K, \underline{G}) définie par la famille d’objets s_{A}, (9.3.17) et la famille d’isomorphismes s(f), (9.3.18) données par s. Les contraintes de c(s) sont données par (9.3.20). A chaque objet U de \underline{G}, correspond une K-transformation \underline{G}-équivariante pour l’action à gauche, définissant en particulier la \underline{G}-équivariance du foncteur E_{s} pour l’action à droite,

[figure: E_{c(ψ)}; F (ψ)(U); E_{s}; ⇓ F (s)(U); E_{c(ψ)}; E_{s}; E_{c(θ)}; F (θ)(U); E_{c(θ)} .]  (9.3.23)

Cette K-transformation est définie à l’objet (X, A) de E_{c(ψ)}par le A-isomorphisme de E_{c(θ)} naturel en (X, A) : F (s)(U)_{(X,A)} : ((X^{A.}U)s_{A}, A)⟶((Xs_{A})^{A}U, A), dont la première composante est le morphisme de \underline{G} (les contraintes d’associativités sont omises),

(X^{A.}U)s_{A} ⟶^{1 s(A)_{U}^{−1}} X s_{A} ^{A}U ⟶^{d} X s_{A} ^{A}U I ⟶^{1i_{A}^{−1}} ((Xs_{A})^{A}U)θ_{1_{A}},

la naturalité provenant pour l’essentiel de (9.3.19). Enfin, la cohérence des pseudotransformations s(A) à la structure de \underline{G} (comme en 9.3.8), fournit celle de la pseudotransformation F (s). La cohérence à l’unité I de \underline{G} est laissée au lecteur.

\underline{Images des 2-morphismes.} Pour terminer, rappelons qu’un 2-morphisme i.e. une modification m : s⟹s′ de Bicat(K, Bieq(\underline{G})), consiste à se donner une famille de modifications de Bieq(\underline{G}),

m(A) : s(A)⟹s′(A), A objet de K,  (9.3.24)

telle que l’on ait l’égalité dans Bieq(\underline{G})

[figure: θ(A); s′(A); ⇐^{m}; θ(f); s(A); ⇓ s(f); θ(B); s′(B); ⇒^{m}; s(B); =; θ(A); θ(f); s′(A); ⇓ s′(f); θ(B); s′(B); ψ(A); ψ(f); ψ(B); ψ(A); ψ(f); ψ(B)]  (9.3.25)

pour tout morphisme f : A⟶B de K. La transcription sur \underline{G} est laissée au soin du lecteur.

L’image de m par G (9.3.1), G(m) : G(s)⟹G(s′) est donné à l’objet A de K par le 2-morphisme de Bitors(\underline{G}^{op}), obtenu par tensorisation à droite de l’isomorphisme m_{A} : s_{A}⟶s′_{A}, soit :

[figure: G_{ψ(A)}; t_{d}(s_{A}); t_{d}(s′_{A}); t_{d}(m_{A}) ⇓; G_{θ(A)} .]  (9.3.26)

On laisse au lecteur le soin d’exprimer la condition de cohérence au morphisme de G(m) obtenue avec (9.3.25). Enfin, concernant l’homorphisme F (9.3.3), un 2-morphisme m : s⟹s′ de Bicat(K, Bieq(\underline{G})) détermine une modification de Bicat(K, \underline{G}), soit une famille d’isomorphismes m_{A} : s_{A}⟶s′_{A} telle que (ψ_{f}m_{A})s(f) = s′(f)(m_{B}θ_{f}). La modification F (m) : F (s)⟹F (s′) est alors donnée par son unique composante, la K-transformation \underline{G}-équivariante pour l’action à gauche E_{m} obtenue avec (9.2.8) qui est à présent aussi \underline{G}-équivariante pour l’action à droite,

\xymatrix{E_{c(ψ)} \ar[dd]_{E_{s′}} \ar[dd]^{E_{s}}|{⇐^{Em}} \ar[dr]^{p} \\  & K \\ E_{c(θ)} \ar@{-->}[ur]_{p}}  (9.3.27)

• Pour terminer avec cette description, il convient à présent d’indiquer les contraintes de comparaison et d’unité de F, celles de G étant laissées au lecteur. Une unité I_{θ} : (θ, C, i)⟶(θ, C, i) de Bicat(K, Bieq(\underline{G})) est constituée, pour tout objet A et morphisme f : A⟶B de K, de la pseudo-équivalence unité en θ(A) de Bieq(\underline{G}) : I_{θ(A)} : (θ(A), Φ^{θ(A)})⟶(θ(A), Φ^{θ(A)}) et de la modification inversible I(f) : I_{θ(B)}.θ(f)⟹θ(f).I_{θ(A)}, correspondant à l’isomorphisme de G, I_{θ_{f}} : Iθ_{f}⟶θ_{f}I. La contrainte d’unité de F en I_{θ} : (θ, C, i)⟶(θ, C, i) est donnée par la modification Φ^{F} (I_{θ}) : F (I_{θ})⟹1_{F (θ)} définie par le K-isomorphisme Φ^{c(θ)} : E_{I_{c(θ)}}⟹1_{E_{c(θ)}} de (9.2.9). Enfin, pour deux morphismes composables t et s de Bicat(K, Bieq(\underline{G})), la contrainte de comparaison Φ^{F} (t, s) : F (t.s)⟹F (s)F (t) est la modification donnée par le K-isomorphisme Φ(t, s) : E_{t.s}⟹E_{s}E_{t} de (9.2.10).

10. Extensions de gr-catégories

Les résultats concernant le noyau (N(p), j, ϵ), (2.3), d’un homomorphisme p de gr-catégories, nous conduisent très naturellement à poser la définition suivante.

Définition 10.1. Soit \underline{G} et \underline{K} des gr-catégories. On appelle extension de \underline{K} par \underline{G} la donnée d’une gr-catégorie \underline{H}, d’un homomorphisme p : \underline{H}⟶\underline{K} essentiellement surjectif et d’une équivalence monoïdale q : \underline{G}⟶N(p). On note par (q, p) une telle extension.

Par la proposition (2.4), une extension de \underline{K} par \underline{G} consiste en la donnée d’une suite

\underline{G} ⟶^{r} \underline{H} ⟶^{p} \underline{K}  (10.1.1)

d’homomorphismes où p est essentiellement surjectif et d’une transformation naturelle λ : p ∘ r⟹n, telle que l’homomorphisme q = F (r, λ) : \underline{G}⟶N(p) défini par l’isomorphisme (2.4.1), soit une équivalence de catégories. Pour simplifier, on notera dans la suite q = (r, λ) et l’on pourra désigner une telle extension par les notations (q, p) ou (r, λ, p).

Définition 10.2. Soit \underline{G} et \underline{K} deux gr-catégories.

1. Un 1-morphisme (α, Θ, γ) : (q, p)⟶(q′, p′) d’extensions de \underline{K} par \underline{G} consiste en la donnée, d’un homomorphisme Θ : \underline{H}⟶\underline{H′}, d’un isomorphisme naturel γ : p′Θ⟹p et enfin d’un isomorphisme naturel α : Θ_{I}q⟹q′, où l’homomorphisme Θ_{I} : N(p)⟶N(p′) est défini pour un objet (X, f) du noyau N(p) par Θ_{I}(X, f) = (Θ(X), fγ_{X}).

2. Un 2-morphisme m : (α, Θ, γ)⟹(α′, Θ′, γ′) est une transformation naturelle m : Θ⟹Θ′ telle que γ′.(p′m) = γ et α′.(mr) = α.

Si l’on pose q = (r, λ) et q′ = (r′, λ′), un 1-morphisme (α, Θ, γ) consiste en la donnée d’un homomorphisme Θ : \underline{H}⟶\underline{H′}, d’un isomorphisme naturel γ : p′Θ⟹p et d’un isomorphisme fonctoriel α : Θr⟹r′ tel que λ′.(p′α) = λ.(γr), ce dernier point correspondant à la commutativité du diagramme suivant :

\xymatrix{ & \underline{H} \ar[dd]_{Θ} \ar[dr]^{p}_{λ ⇓} \\ \underline{G} \ar[ur]^{r} \ar[dr]_{r′}^{α ⇓} \ar@{-->}[rr]^{n} &  & \underline{K} . \\  & \underline{H′} \ar[ur]_{p′}^{λ′ ⇑}^{γ ^{⇑}}}  (10.2.1)

Pour des 1-morphismes (α, Θ, γ) : (q, p)⟶(q′, p′) et (α′, Θ′, γ′) : (q′, p′)⟶(q′′, p′′) la composition est définie naturellement par :

(α′, Θ′, γ′) ∘ (α, Θ, γ) = (α′.Θ′_{I}α, Θ′Θ, γ.γ′Θ).

Les compositions verticales et horizontales des 2-morphismes sont définies par les compositions verticales et horizontales des transformations naturelles sous-jacentes. On obtient ainsi une 2-catégorie que l’on notera Ext(\underline{K}, \underline{G}) dans la suite.

Proposition 10.3. La 2-catégorie Ext(\underline{K}, \underline{G}) est un bigroupoïde.

Démonstration. Il est clair que les 2-morphismes sont inversibles. Il reste donc à montrer que les 1-morphismes sont des équivalences ce qui découle des trois lemmes suivants.

Lemme 10.4. Soit (α, Θ, γ) : (q, p)⟶(q′, p′) un 1-morphisme de Ext(\underline{K}, \underline{G}) pour lequel Θ : \underline{H}⟶\underline{H′} est une équivalence alors le 1-morphisme (α, Θ, γ) est une équivalence de Ext(\underline{K}, \underline{G}).

Démonstration. Soit Θ^{∗} une équivalence quasi inverse de Θ et η : ΘΘ^{∗}⟹1\underline{H′}, ϵ : 1\underline{H}⟹Θ^{∗}Θ les isomorphismes intervenants dans l’adjonction. On possède alors des isomorphismes naturels, γ^{∗} = (p′η).(γ^{−1}Θ^{∗}) : pΘ^{∗}⟹p′ et α^{∗} = (ϵr).(Θ^{∗}α^{−1}) : Θ^{∗}r′⟹r, qui déterminent un morphisme d’extensions (α^{∗}, θ^{∗}, γ^{∗}) : (q′, p′)⟶(q, p). Les isomorphismes naturels η et ϵ déterminent des 2-isomorphismes de Ext(K, G) η : (α, Θ, γ)(α^{∗}, Θ^{∗}, γ^{∗})⟹1_{(q′,p′)} et ϵ : 1_{(q,p)}⟹(α^{∗}, Θ^{∗}, γ^{∗})(α, Θ, γ) et (α, Θ, γ) est une équivalence de Ext(\underline{K}, \underline{G}).

Lemme 10.5. Soit (α, Θ, γ) : (q, p)⟶(q′, p′) un 1-morphisme de Ext(\underline{K}, \underline{G}), alors Θ : \underline{H}⟶\underline{H′} est une équivalence.

Démonstration. Il suffit de montrer que Θ induit des isomorphismes sur les groupes d’homotopies de \underline{H} et \underline{H′}. Pour (q, p) une extension de \underline{K} par \underline{G}, l’équivalence q : \underline{G}⟶N(P) fournit un isomorphisme π_{o}(q) : π_{o}(\underline{G})⟶π_{o}(N(P)). En posant

d = π_{o}(q)^{−1} ∘ δ,  (10.5.1)

où δ : π_{1}(\underline{K})⟶π_{o}(N(P)) est l’homomorphisme intervenant dans la longue suite exacte d’homotopie (2.5) associée à l’homomorphime p : \underline{H}⟶\underline{K}, on vérifie que la suite

\xymatrix{0 \ar[r] & π_{1}(\underline{G}) \ar[r]^{π_{1}(r)} & π_{1}(\underline{H}) \ar[r]^{π_{1}(p)} & π_{1}(\underline{K}) \ar[r]^{d} & π_{o}(\underline{G}) \ar[r]^{π_{o}(r)} & π_{o}(\underline{H}) \ar[r]^{π_{o}(p)} & π_{o}(\underline{K}) \ar[r] & 0.}

(10.5.2)

est exacte. En utilisant le lemme ci-dessous, on conclut alors en appliquant au diagramme (10.2.1) les foncteurs π_{o} et π_{1}.

Lemme 10.6. l’homomorphisme d : π_{1}(\underline{K})⟶π_{o}(\underline{G}) défini pour une extension (q, p) en (10.5.1), ne dépend que de la composante connexe dans Ext(\underline{K}, \underline{G}) de cette extension.

En effet, soient (α, Θ, γ) : (q, p)⟶(q′, p′) un 1-morphisme de Ext(\underline{K}, \underline{G}) et Θ_{I} : N(p)⟶N(p′) l’homomorphisme induit par Θ sur les noyaux homotopiques. Notons δ′ : π_{1}(\underline{K})⟶π_{o}(N(P)) l’homomorphisme associé par (2.5) à l’homomorphime p′. On montre en utilisant la définition des morphismes δ et δ′ que π_{o}(Θ_{I}) ∘ δ = δ′ et ainsi on conclut puisque :

d′ = π_{o}(q′)^{−1} ∘ δ′ = π_{o}(q′)^{−1} ∘ π_{o}(Θ_{I}) ∘ δ = π_{o}(q) ∘ δ = d

ce qui termine la démonstration de la proposition.

11. Extensions (co)fibrées

On montre ici que toute extension est équivalente à une extension de type cofibrée, c’est-à-dire une extension pour laquelle l’homomorphisme p est une cofibration. Ce résultat est le point de départ pour obtenir l’essentielle surjectivité du théorème de classification (p. 516). Dans des cas où des hypothèses de commutativité sont prises, ce type d’extension à été étudié, dans [7] pour le cas central et dans [8] pour \underline{G} munie d’une structure de \underline{K}-module.

Définition 11.1. Soit \underline{G} et \underline{K} des gr-catégories.

1. Une extension (r, λ, p) de \underline{K} par \underline{G} est dite cofibrée si p est une cofibration et si la transformation naturelle λ : pr ⟹ n est une identité. On notera par (r, p) une telle extension.

2. Un 1-morphisme (α, Θ, γ) : (r, p)⟶(r′, p′) d’extensions cofibrées est un 1morphisme d’extensions pour lequel la transformation naturelle γ : p′Θ = p est une identité . On notera par (α, Θ) un tel morphisme.

On note par Ext_{cof}(\underline{K}, \underline{G}) la sous 2-catégrie localement pleine de Ext(\underline{K}, \underline{G}) dont les objets sont les extensions cofibrées et les 1-morphismes les morphismes d’extensions cofibrées.

Pour une extension cofibrée (r, p) de \underline{K} par \underline{G}, l’homomorphisme r est à valeur dans la catégorie p^{−1}(I), fibre stricte de p au dessus de l’unité I de \underline{K}. Comme p est une cofibration, la catégorie p^{−1}(I) est équivalente à la catégorie H_{(I)}, fibre homotopique de p au dessus de l’unité. Un 1-morphisme (α, Θ) : (r, p)⟶(r′, p′) d’extensions cofibrées est déterminé par la donnée d’un \underline{K}-morphisme : Θ : \underline{H}⟶\underline{H′} et d’un isomorphisme fonctoriel α : Θr⟹r′ pour lequel p′α est une identiré. Un 2-morphisme d’extensions cofibrées donne une \underline{K}-transformation, on obtient en particulier un 2-foncteur ` ` oubli´´ :

\underline{O} : Ext_{cof}(\underline{K}, \underline{G})⟶Cofmon\underline{K}  (11.1.1)

localement fidéle. Le résultat essentiel sur les extensions cofibrées est le suivant :

Proposition 11.2. le 2-foncteur inclusion i : Ext_{cof}(\underline{K}, \underline{G})⟶Ext(\underline{K}, \underline{G}), est une biéquivalence.

Démonstration. Soit E = (r, p) et E′ = (r′, p′) deux extensions cofibrées. Montrons que le foncteur i_{E,E′} : Ext_{cof}(\underline{K}, \underline{G})(E, E′)⟶Ext(\underline{K}, \underline{G})(E, E′) est une équivalence. Ce foncteur est pleinement fidèle. Il reste à montrer qu’il est essentiellement surjectif. Soit (α, Θ, γ) : E⟶E′,

\xymatrix{ & \underline{H} \ar[dd]_{Θ} \ar[dr]^{p} \\ \underline{G} \ar[ur]^{r} \ar[dr]_{r′}^{α ⇓} &  & \underline{K} , \\  & \underline{H′} \ar[ur]_{p′}^{γ ^{⇑}}}

un objet de Ext(\underline{K}, \underline{G})(E, E′). Choisissons un coclivage R′ de p′,(6.0.1). Ce choix détermine un foncteur F : H⟶H′ . Pour un objet H de H, l’objet F (H) de H′ est défini par le but b_{γ_{H}} (Θ(H)) du relèvement, R′_{γ_{H}} (Θ(H)) : Θ(H)⟶b_{γ_{H}} (Θ(H)) du morphisme γ_{H} : p′Θ(H)⟶p(H). Pour un morphisme f : H⟶H′, on a F (f) := R′_{γ′_{H}} (Θ(H′)) ∘ Θ(f) ∘ R_{γ_{H}}^{′−1}(Θ(H)). Les morphismes R′_{γ_{H}} (Θ(H)) : Θ(H)⟶F (H) constituent alors les composantes d’un isomorphisme naturel m : Θ⟹F ce qui permet par transport de structurer F en un homomorphisme \underline{F} : \underline{H}⟶\underline{H′} pour lequel m devient une transformation monoïdale. La transformation monoïdale α′ := α.m^{−1}r détermine alors un morphisme (α′, F) : E⟶E′ de Ext_{cof}(\underline{K}, \underline{G}), isomorphe dans Ext(\underline{K}, \underline{G}) au morphisme (α, Θ, γ) : E⟶E′ via la transformation naturelle m : Θ⟹F. Celle-ci est alors un 2-morphisme d’extensions et i_{E,E′} est ainsi essentiellement surjectif. Pour finir, montrons que l’inclusion canonique i est biessentiellement surjectif. Puisque Ext(\underline{K}, \underline{G}) est un bigroupoïde, il suffit de montrer qu’une extension quelconque (r, λ, p) de Ext(\underline{K}, \underline{G})

\underline{G} ⟶^{r} \underline{H} ⟶^{p} \underline{K} ,  (11.2.1)

est dans la composante connexe d’une extension cofibrée. L’homomorphisme p : \underline{H}⟶\underline{K} détermine une cofibration monoïdale :

π : \underline{E}_{p}⟶\underline{K}.  (11.2.2)

La catégorie E_{p} admet pour objets les couples ((X, g), A) où A est un objet de K et (X, g) est un objet de H_{(A)} fibre homotopique de p au-dessus de A. Un morphisme (x, f) : ((X, g), A)⟶((X′, g′), A′) est constitué d’un morphisme f : A⟶A′ de K et d’un morphisme x : X⟶X′ de H tel que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{p(X) \ar[d]_{p(x)} \ar[r]^{g} & A \ar[d]^{f} \\ p(X′) \ar[r]_{g′} & A′ .}

L’unité en ((X, g), A) est (1_{X}, 1_{A}). La composition des morphismes est définie par le collage vertical des diagrammes du type précédent : (x′, f′)(x, f) := (x′x, f′f). L’objet unité de \underline{E}_{p} est ((I, Φ_{o}), I). Le produit dans E_{p} est défini sur les objets par

((X, g), A) ⊗ ((Y, h), B) := ((X ⊗ Y, (g ⊗ h)Φ^{p}(X, Y)), A ⊗ B)

et sur les morphismes par (x, f) ⊗ (y, e) := (x ⊗ y, f ⊗ e); ainsi :

\xymatrix{p(X) \ar[d]_{p(x)} \ar[r]^{g} & A \ar[d]^{f  ⊗} & p(Y) \ar[d]_{p(y)} \ar[r]^{h} & B \ar[d]^{e} \\ p(X′) \ar[r]_{g′} & A′ & p(Y′) \ar[r]_{h′} & B′}

∥
\xymatrix{p(X ⊗ Y) \ar[d]_{p(x⊗y)} \ar[r]^{Φ^{p}} & p(X) ⊗ p(Y) \ar[r]^{g⊗h} & A ⊗ B \ar[d]^{f⊗e} \\ p(X′ ⊗ Y′) \ar[r]^{Φ^{p}} & p(X′) ⊗ p(Y′) \ar[r]^{g′⊗h′} & A′ ⊗ B′}

Enfin, les contraintes d’associativité et d’unité sont respectivement données par les isomorphismes de \underline{E}_{p}

[((X, g), A)((Y, h), B)]((Z, k), C) ⟶^{(a_{X,Y,Z},a_{A,B,C})} ((X, g), A)[((Y, h), B)((Z, k), C)]

((I, Φ), I)((X, g), A) ⟶^{(g_{X},g_{A})} ((X, g), A) et ((X, g), A) ⟶^{(d_{X},d_{A})} ((X, g), A)((I, Φ), I)

L’homomorphisme π : \underline{E}_{p}⟶\underline{K} est la projection sur \underline{K}. C’est une cofibration puisque pour un morphisme f : A⟶B de K et un objet ((X, g), A) au dessus de A, le morphisme (1_{X}, f) : ((X, g), A)⟶((X, fg), B) est un morphisme de E_{p} au dessus de f. La fibre stricte π^{−1}(I) de π est isomorphe à la fibre homotopique H_{(I)} de p, ce qui définit d’une part un homomorphisme i : N(p)⟶\underline{E}_{p} de contraintes évidentes et d’autre part une extension cofibrée :

N(p) ⟶^{i} \underline{E}_{p} ⟶^{π} \underline{K}.

Enfin, par composition de i avec l’équivalence q = (r, λ) : \underline{G}⟶N(p) intervenant dans l’extension (11.2.1), l’extension précédente donne une nouvelle extension cofibrée :

\underline{G} ⟶^{s} \underline{E}_{p} ⟶^{π} \underline{K}.  (11.2.3)

Pour terminer, montrons à présent que les extensions (11.2.1) et (11.2.3) sont dans une même composante connexe c’est-à-dire qu’il existe un morphisme d’extension (α, Θ, γ) : (q, p)⟶(s, π). L’homomorphisme Θ : \underline{H}⟶\underline{E}_{p} est défini sur les objets par Θ(H) = ((H, 1_{p(H)}), p(H)) et sur les morphismes h : H⟶H′ par Θ(h) = (h, p(h)). La contrainte de comparaison est définie en H et H′ de H par le morphisme de E_{p} : Φ^{Θ}(H, H′) := (1_{HH′}, Φ^{p}(H, H′)). L’isomorphisme naturel γ : πΘ⟹p est une identité. Enfin, l’isomorphisme naturel α : Θr⟹s est défini pour l’objet X de G par le morphisme α_{X} = (1_{r(X)}, λ_{X}) de E_{p}. On a ainsi défini un morphisme (α, Θ, 1) : (q, p)⟶(s, π).

Proposition 11.3. Soit (q, p) une extension de \underline{G} par \underline{K}. Pour tout objet A de K la fibre homotopique de p au dessus de A est équivalente à G.

Démonstration. Soit (s, π) l’extension cofibrée (11.2.3) associée à l’extension (q, p). On sait, [7] prop. 3.2 (où le caractère central de n’intervient pas), que la fibre stricte de π au dessus de A est équivalente à G. Cette fibre stricte est la fibre homotopique de p au dessus de A.

11.4. Remarque. La cofibration π : \underline{E}_{p}⟶\underline{K} de (11.2.2) provient - via les fibres homotopiques H_{(A)} - d’un pseudo-foncteur monoïdal défini sur \underline{K}. Plus généralement, pour deux gr-catégories \underline{H} et \underline{K}, on a un foncteur

Mon(\underline{H}, \underline{K})⟶Bimon_{l}(\underline{K}, \underline{Cat})^{[1]} ,

construit pour un homomorphisme p : \underline{H}⟶\underline{K} de la façon suivante.

1. L’homomorphisme F ∈ Bicat(K, Cat) est strict. Il envoie l’objet A de K vers la catégorie F_{A} := H_{(A)} et le morphisme f : A⟶B de K vers le foncteur F_{f} : H_{(A)}⟶H_{(B)}, (X, g) ↦ F_{f}(X, g) = (X, fg).

2. Pour toute paire d’objets A et B de K, le foncteur (noté quelquefois comme dans [7] par \overline{⊗})

T_{A,B} : H_{(A)} × H_{(B)}⟶H_{(A⊗B)},

envoie l’objet (X, g) × (Y, h) de H_{(A)} × H_{(B)} sur l’objet (X ⊗ Y, (g ⊗ h) ∘ Φ^{p}(X, Y)) et le morphisme x × y : (X, g) × (Y, h)⟶(X′, g′) × (Y′, h′) sur le morphisme

x ⊗ y : (X ⊗ Y, (g ⊗ h) ∘ Φ^{p}(X, Y))⟶(X′ ⊗ Y′, (g′ ⊗ h′) ∘ Φ^{p}(X′, Y′)).

3. Pour toute paire de morphismes f : A⟶A′ et g : B⟶B′ de K, l’isomorphisme naturel t_{f,g} est l’identité, t_{f,g} : F_{f⊗g}∘T_{A,B} = T_{A′,B′} ∘(F_{f} ×F_{g}).

4. L’objet Ĩ de F_{I} est l’objet (I, Φ_{o}) de H_{(I)}.

5. Pour tout triplet d’objets A, B et C de K, l’isomorphisme naturel :

α_{A,B,C} : F_{a_{A,B,C}} ∘ T_{AB,C} ∘ (T_{A,B} × 1_{F_{C}})⟹T_{A,BC} ∘ (1_{F_{A}} × T_{B,C}),

est défini sur l’objet (X, g) × (Y, h) × (Z, k) de H_{(A)} × H_{(B)} × H_{(C)} par le morphisme a_{X,Y,Z} : F_{a_{A,B,C}} (((X, g)\overline{⊗}(Y, h))\overline{⊗}(Z, k))⟶(X, g)\overline{⊗}((Y, h)\overline{⊗}(Z, k)) de H_{A⊗(B⊗C)}.

6. Enfin, pour tout objet A de K, les isomorphismes naturels :

G_{A} : F_{g_{A}} ∘ T_{I,A}(Ĩ, .)⟹1_{F_{A}} et D_{A} : T_{A,I}(., Ĩ)⟹F_{d_{A}}

sont respectivement définis pour l’objet (X, g) de H_{(A)} par les morphismes :

g_{X} : F_{g_{A}}((I, Φ_{o})\overline{⊗}(X, g))⟶(X, g), et d_{X} : (X, g)\overline{⊗}(I, Φ_{o})⟶F_{d_{A}}((X, g)) .

11.5. Cas des fibrations. Puisque K est un groupoïde, la discussion précédente sur les extensions cofibrées se transpose au cas fibré. En particulier, le 2-foncteur inclusion

i : Ext_{F ib}(\underline{K}, \underline{G})⟶Ext(\underline{K}, \underline{G})  (11.5.1)

est une biéquivalence. L’essentielle surjectivité se montre exactement comme pour le cas cofibré (11.2) et aboutit à l’extension (11.2.3). La fibration monoïdale π obtenue dans cette extension provient alors du pseudo-foncteur monoïdal image de p : \underline{H}⟶\underline{K} par le foncteur :

Mon(\underline{H}, \underline{K})⟶Bimon_{l}(\underline{K}^{op}, Cat)^{[1]} , p ↦ \underline{G}_{p} ,  (11.5.2)

de description identique à celle qui vient d’être donnée dans la précédente remarque mais où le foncteur F_{f^{−1}} : H_{(B)}⟶H_{(A)} est celui qu’il faut, dans le cas fibré, associer au morphisme f : A⟶B de K. Enfin notons qu’une biéquivalence quasi-inverse de (11.5.1) composée avec l’homorphisme canonique Ext_{fib}(\underline{K}, \underline{G})⟶Fibmon\underline{K} donne un homomorphisme localement fidèle :

Ext(\underline{K}, \underline{G})⟶Fibmon\underline{K}  (11.5.3)

12. Le morphisme Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq}(\underline{G}))⟶Ext(\underline{K}, \underline{G})^{op}

On construit dans cette section l’homomorphisme qui intervient pour le théorème de classification (p. 516). On souhaitait une description explicite, ce qui est obtenu mais nécessite une discussion longue et technique. Pour plus de lisibilité, on traîte seulement le cas où la gr-catégorie \underline{G} est unitaire et où les biéquivalences de \underline{G} sont strictes sur les unités. Dans la suite, \underline{G} = (G, ⊗, I, a, 1, 1) est donc une gr-catégorie dont les contraintes d’unité sont strictes. On note par Bieq_{u}(\underline{G}), la sous bicatégorie pleine de Bieq(\underline{G}) des auto-équivalences de \underline{G} strictes sur les unités. La bicatégorie monoïdale \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}), (4), admet une contrainte d’unité stricte et une contrainte d’associativité cohérente strictement (la modification π est une égalité). Ces simplifications permettent de donner une description complète de l’homomorphisme de classification

\underline{F} : Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))⟶Ext(\underline{K}, \underline{G})^{op}  (12.0.1)

où Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})) est la bicatégorie des co-homomorphismes définie en (5). Pour cette construction, on montre que l’on dispose d’un homomorphisme localemenent fidèle,

\underline{G} : Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))⟶Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, \underline{Cat})^{op}  (12.0.2)

12.1. Construction de \underline{G} et \underline{F} sur les objets

On commence par donner une description d’un objet \underline{θ} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})). On construit ensuite son image \underline{G}(\underline{θ}) par l’homomorphisme \underline{G}, (12.0.2). Enfin, l’image de \underline{G}(\underline{θ}) par la biéquivalence (6.3.2) donne une fibration monoïdale que l’on complète pour obtenir l’extension \underline{F} (\underline{θ)} cherchée.

- Description des objets de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))

Soit \underline{θ} = (θ, χ, ι, ω, γ, δ) un objet de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})). Suivant [3] (déf. 2.2.2), on peut appeler un tel objet, un cocycle (non normalisé) de \underline{K} à valeur dans \underline{G}. On retrouve, dans le cas où la gr-catégorie \underline{K} est discrète et modulo le choix d’objets quasi-inverses dans \underline{G}, les cocycles définis dans loc. cit.. Les points nouveaux sont ici essentiellement dus aux morphismes de \underline{K}. Avec (5.1), un ` ` cocycle ´´ est donc défini par les cinq points (HBM1-HBM5) et les deux conditions de cohérence (HTA1 et HTA2) adaptés au cas des co-homomorphismes (5.4). Plus précisément, un tel objet \underline{θ} = (θ, χ, ι, ω, γ, δ) correspond aux données (C1-C5) et (CA1 et CA2) suivantes (on utilise les notations introduites pour les \underline{G}-bitorseurs sur K, (9) ).

• C1 : Un objet θ = (θ, C, i) de Bicat(K, Bieq_{u}(\underline{G})) (voir 9.3.4 - 9.3.10). Lorsque K est discrète, on obtient le foncteur j : K⟶Eq(\underline{G}) (2.2.1.4) de [3].

• C2 : Une pseudo-équivalence de Bicat(K × K, Bieq_{u}(\underline{G})),

[figure: K×K; θ×θ; ⊗; Bieq_{u}(\underline{G})×Bieq_{u}(\underline{G}); ⊗; K; θ; Bieq_{u}(\underline{G}).; χ^{θ}]

C’est-à-dire une famille de pseudo-équivalences de Bieq_{u}(\underline{G}),

χ^{θ}(A, B) : θ(A ⊗ B)⟶θ(A) ⊗ θ(B),  (12.1.1)

(A, B) objet de K × K, et une famille de modifications de Bieq_{u}(\underline{G}),

χ^{θ}(f ⊗ g) : χ^{θ}(A′, B′).θ(f ⊗ g)⟹(θ(f) ⊗ θ(g)).χ^{θ}(A, B),

(f, g) : (A, B)⟶(A′, B′) morphisme de K × K, cohérentes aux unités et à la composition de K × K. Pour fixer les notations, rappelons que la pseudo-équivalence χ^{θ}(A, B) est donnée par un objet χ^{θ}(A, B) de \underline{G} et une famille d’isomorphismes,

χ_{X}^{θ} : χ^{θ}(A, B) ^{AB}X⟶^{A}(^{B}X)χ^{θ}(A, B),  (12.1.2)

naturels en X et cohérents à la structure de \underline{G}, via les contraintes de comparaison Φ^{θ(AB)}, Φ^{θ(A)} et Φ^{θ(B)} des équivalences θ(AB), θ(A) et θ(B). Lorsque K est discrète et modulo des choix d’objets quasi-inverses dans \underline{G}, (12.1.1) exprimé par les conditions (12.1.2), correspond dans [3] déf. (2.2.2) à la flèche \underline{λ}_{A,B} de (2.2.1.8). Avec le produit défini sur Bieq(\underline{G}) en (4.1.1), la modification χ^{θ}(f ⊗ g) est donnée par un isomorphisme de G,

χ^{θ}(f ⊗ g) : χ^{θ}(A′, B′).θ_{f⊗g}⟶(θ_{f}^{A}θ_{g})χ^{θ}(A, B),  (12.1.3)

tel que pour tout objet X de G, on ait la commutativité du diagramme, (dans la suite, les contraintes d’associativité et les identités sont omises) :

\xymatrix{(χ^{θ}(A′,B′)θ_{f⊗g})^{AB}X \ar[r]^{θ(f⊗g)_{X}} \ar[d]_{χ^{θ} (f⊗g)} & χ^{θ}(A′,B′)^{A′B′} Xθ_{f⊗g} \ar[r]^{χ^{θ}_{X}} & ^{A′} (^{B′} X)χ^{θ}(A′,B′)θ_{f⊗g} \ar[d]^{χ^{θ} (f⊗g)} \\ θ_{f}^{A}θ_{g}χ^{θ}(A,B)^{AB}X \ar[r]_{χ^{θ}_{X}} & θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}X)χ^{θ}(A,B) \ar[r]_{(θ(f)⊗θ(g))_{X}} & ^{A′} (^{B′} X)[(θ_{f}^{A}θ_{g})χ^{θ}(A,B)]}

(12.1.4)

où la flèche (θ(f) ⊗ θ(g))_{X} est celle de (4.1.3), qui s’exprime ici avec la composition dans G,

\xymatrix{(θ_{f}^{A}θ_{g})^{A}(^{B}X) \ar@{-->}[rr]^{(θ(f)⊗θ(g))_{X}} \ar[d]_{(Φ^{θ(A)})^{−1}} &  & ^{A′}(^{B′}X)(θ_{f}^{A}θ_{g}) \\ θ_{f}^{A}(θ_{g}^{B}X) \ar[r]_{^{A}(θ(g)_{X})} & θ_{f}^{A}(^{B′}Xθ_{g}) \ar[r]_{Φ^{θ(A)}} & θ_{f}^{A}(^{B′}X)^{A}θ_{g} . \ar[u]_{θ(f)_{^{B′} X}}}  (12.1.5)

Enfin, les conditions de cohérence à la composition et aux unités de K × K de la pseudo-équivalence χ^{θ} s’expriment avec la commutativité des diagrammes de G suivants, l’isomorphisme C^{⊗} étant celui de (4.1.4),

\xymatrix{χ^{θ}(A′′, B′′)θ_{(f′⊗g′)(f⊗g)} \ar[r]^{χ^{θ}(f′f⊗g′g)} \ar[d]_{C_{(f⊗g),(f′⊗g′)}} & θ_{f′f}^{A}θ_{g′g}χ^{θ}(A, B) \ar[d]^{C_{f,f′}^{A}C_{g,g′}} \\ χ^{θ}(A′′, B′′)θ_{(f′⊗g′)}θ_{(f⊗g)} \ar[d]_{χ^{θ}(f′⊗g′)} & θ_{f′}θ_{f}^{A}(θ_{g′}θ_{g})χ^{θ}(A, B) \ar[d]^{C^{⊗}} \\ θ_{f′}^{A′}θ_{g′}χ^{θ}(A′, B′)θ_{(f⊗g)} \ar[r]_{χ^{θ}(f⊗g)} & ((θ_{f′}^{A′}θ_{g′})(θ_{f}^{A}θ_{g}))χ^{θ}(A, B)}

(12.1.6)

pour deux morphismes (f, g) : (A, B)⟶(A′, B′) et (f′, g′) : (A′, B′)⟶(A′′, B′′) composables de K × K, et,

[figure: χ^{θ}(A, B)θ_{1_{AB}}; χ^{θ}(1_{A}⊗1_{B}); 1i_{AB}; θ_{1_{A}}^{A}θ_{1_{B}}χ^{θ}(A, B); i_{A}^{A}i_{B}1; χ^{θ}(A, B); χ^{θ}(A, B)]

pour tout objet (A, B) de K × K.

• C3 : Une pseudo-équivalence de Bicat(1l, Bieq_{u}(\underline{G})), ι : θ ∘ I⟶I. Ce qui correspond à la donnée d’une pseudo-équivalence de Bieq_{u}(\underline{G}), ι : θ(I)⟶1\underline{G}, c’està-dire d’un objet Ĩ de G et d’une famille d’isomorphismes de G, naturels en X,

ι_{X} : Ĩ^{I}X⟶XĨ .  (12.1.7)

La condition de cohérence aux unités de cette pseudo-équivalence s’exprime avec l’égalité

ι_{1_{I}} = Ĩi_{I} : Ĩθ_{1_{I}} ⟶Ĩ.  (12.1.8)

• C4 : Une modification inversible de Bicat(K×K×K, Bieq_{u}(\underline{G})),

ω^{θ} : a.((χ^{θ} ⊗ 1).χ^{θ})⟹((1 ⊗ χ^{θ}).χ^{θ}).θa.  (12.1.9)

En un objet (A, B, C) de K^{3}, la composante de cette modification est une modification de Bieq_{u}(\underline{G}),

[figure: θ((AB)C); θ(a); χ^{θ}(AB,C); θ(AB)θ(C); χ^{θ}(A,B)⊗I; (θ(A)θ(B))θ(C); a; θ(A(BC)); χ^{θ}(A,BC); θ(A)θ(BC); I⊗χ^{θ}(B,C); θ(A)(θ(B)θ(C)),; ω_{A,B,C}^{θ}] (12.1.10)

donnée par un isomorphisme de \underline{G},

ω_{A,B,C}^{θ} : χ^{θ}(A, B)χ^{θ}(AB, C)⟶[^{A}χ^{θ}(B, C)χ^{θ}(A, BC)]θ_{a},  (12.1.11)

tel que, pour tout objet X de G, le diagramme suivant de G commute,

\xymatrix{[χ^{θ}(A, B)χ^{θ}(AB, C)]^{(AB)C}X \ar[r]^{ω_{A,B,C}^{θ}} \ar[d]_{χ_{X}^{θ}} & ^{A}χ^{θ}(B, C)χ^{θ}(A, BC)θ_{a}^{(AB)C}X \ar[d]^{θ(a)_{X}} \\ χ^{θ}(A, B)^{AB}(^{C}X)χ^{θ}(AB, C) \ar[ddd]_{1} & ^{A}χ^{θ}(B, C)χ^{θ}(A, BC)^{A(BC)}Xθ_{a} \ar[d]^{χ_{X}^{θ}} \\  & ^{A}χ^{θ}(B, C)^{A}(^{BC}X)χ^{θ}(A, BC)θ_{a} \ar[d]^{(Φ^{θ(A)})^{−1}} \\  & ^{A}[χ^{θ}(B, C)^{BC}X]χ^{θ}(A, BC)θ_{a} \ar[d]^{^{A}(χ_{X}^{θ})} \\ χ^{θ}(A, B)^{AB}(^{C}X)χ^{θ}(AB, C) \ar[d]_{χ_{^{C} X}^{θ}} & ^{A}[^{B}(^{C}X)χ^{θ}(B, C)]χ^{θ}(A, BC)θ_{a} \ar[d]^{Φ^{θ(A)}} \\ ^{A}(^{B}(^{C}X))χ^{θ}(A, B)χ^{θ}(AB, C) \ar[r]_{ω_{A,B,C}^{θ}} & ^{A}(^{B}(^{C}X))[(^{A}χ^{θ}(B, C)χ^{θ}(A, BC))θ_{a}]}

Lorsque K est discrète et toujours modulo des choix d’objets quasi-inverses dans \underline{G}, l’isomorphisme (12.1.11) induit par (12.1.10), correspond dans [3] à la flèche a_{A,B,C} de (2.2.1.10) induisant (2.2.1.11). Poursuivons cette description. La condition de cohérence de la modification ω^{θ} au morphisme (f ×g×h) : (A, B, C)⟶(A′, B′, C′) de K^{3}, (où l’on a noté \overline{X} pour θ(X)),

[figure: \overline{(AB)C}; θ(a); χ^{θ}(AB,C); θ((fg)h); ⟹^{χ((fg)h)}; (\overline{AB})\overline{C}; χ^{θ}(A,B)⊗I; θ(fg)θ(h); ⟹^{χ(fg)⊗I}; (\overline{A} \overline{B})\overline{C}; (θ(f)θ(g))θ(h); 1; \overline{(A′B′)C′}; θ(a); χ; ⇓; (\overline{A′B′})\overline{C′}; χ⊗I; (\overline{A′} \overline{B′})\overline{C′}; 1; \overline{A(BC)}; θ(f(gh)); χ; ⟹^{χ(f(gh))}; \overline{A}(\overline{BC}); θ(f)θ(gh) ⟹^{I⊗χ(gh)}; I⊗χ; \overline{A}(\overline{B} \overline{C}); θ(f)(θ(g)θ(h)); \overline{A′(B′C′)}; χ^{θ}(A′,B′C′); \overline{A′}(\overline{B′C′}); I⊗χ^{θ}(B′,C′); \overline{A′}(\overline{B′} \overline{C′}); ω^{θ}; ω^{θ}; α]

donne le diagramme commutatif de G suivant,

\xymatrix{[χ^{θ}(A′, B′)χ^{θ}(A′B′, C′)]θ_{(fg)h} \ar[r]^{ω_{A′,B′,C′}^{θ}} \ar[d]_{χ^{θ}((f⊗g)⊗h)} & ^{A′}χ^{θ}(B′, C′)χ^{θ}(A′, B′C′)θ_{a}θ_{(fg)h} \ar[d]^{C_{(f⊗g)⊗h,a}^{−1}C_{a,f⊗(g⊗h)}} \\ χ^{θ}(A′, B′)θ_{fg}^{AB}θ_{h}χ^{θ}(AB, C) \ar[d]_{χ^{θ}(f⊗g) × I_{θ(h)}} & ^{A′}χ^{θ}(B′, C′)χ^{θ}(A′, B′C′)θ_{f(gh)}θ_{a} \ar[d]^{χ^{θ}(f⊗(g⊗h))} \\ θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}θ_{h}) χ^{θ}(A, B)χ^{θ}(AB, C) \ar[d]_{α_{θ(f),θ(g),θ(h)}} & ^{A′}χ^{θ}(B′, C′)θ_{f}^{A}θ_{gh}χ^{θ}(A, BC)θ_{a} \ar[d]^{I_{θ(f)} × χ^{θ}(g⊗h)} \\ θ_{f}^{A}(θ_{g}^{B}θ_{h}) χ^{θ}(A, B)χ^{θ}(AB, C) \ar[r]_{ω_{A,B,C}^{θ}} & [θ_{f}^{A}(θ_{g}^{B}θ_{h})][(^{A}χ^{θ}(A, B)χ^{θ}(A, BC))θ_{a}] .}

(12.1.13)

Les flèches χ^{θ}(f ⊗ g) × I_{θ(h)} et I_{θ(f)} × χ^{θ}(g ⊗ h) sont obtenues avec (4.0.1). La flèche α_{θ(f),θ(g),θ(h)} : (θ_{f}^{A}θ_{g})^{A}(^{B}θ_{h})⟶θ_{f}^{A}(θ_{g}^{B}θ_{h}) est donnée par la contrainte d’associativité (4.1.5).

• C5 : Des modifications inversibles de Bicat(K; Bieq_{u}(\underline{G})),

γ : g_{θ(−)}.(ι ⊗ I_{θ(−)}).χ^{θ}(I, −)⟹θ(g_{−}) : θ(I−)⟶θ(−)
δ : d_{θ(−)}⟹(I_{θ(−)} ⊗ ι).χ^{θ}(−, I).θ(d_{−}) : θ(−)1_{G}⟶θ(−) .

Etant donné que \underline{G} et θ(I) sont unitaires, la composante en A de la modification γ est la modification γ(A) de Bieq_{u}(\underline{G})(θ(IA), θ(A)) donnée par l’isomorphisme

γ_{A} : Ĩχ^{θ}(I, A)⟶θ_{g_{A}}  (12.1.14)

tel que pour tout objet X de G, le diagramme suivant commute :

\xymatrix{[Ĩχ^{θ}(I, A)]^{IA}X \ar[r]^{χ_{X}^{θ}} \ar[d]_{γ_{A}1} & Ĩ^{I}(^{A}X)χ^{θ}(I, A) \ar[r]^{ι_{^{A}X}} & ^{A}XĨχ^{θ}(I, A) \ar[d]^{1γ_{A}} \\ θ_{g_{A}}^{IA}X \ar[rr]_{θ(g_{A})_{X}} &  & ^{A}Xθ_{g_{A}} .}

De même, la composante en A de la modification δ est la modification δ(A) de Bieq_{u}(\underline{G})(θ(A), θ(A)) donnée par l’isomorphisme

δ_{A} : I⟶^{A}Ĩχ^{θ}(A, I)θ_{d_{A}}  (12.1.15)

tel que pour tout objet X de G

\xymatrix{I^{A}X \ar[rrr]^{=} \ar[d]_{δ_{A}1} &  &  & ^{A}XI \ar[d]^{1δ_{A}} \\ _{A}Ĩχ^{θ}(A,I)θ_{d_{A}}^{A}X \ar[dr]_{θ(d_{A})_{X}} &  &  & ^{A}X_{A}Ĩχ^{θ}(A,I)θ_{d_{A}} \\  & _{A}Ĩχ^{θ}(A,I)^{AI}Xθ_{d_{A}} \ar[r]_{χ^{θ}_{X}} & _{A}Ĩ^{A}(^{I}X)χ^{θ}(A,I)θ_{d_{A}} \ar[ur]_{(I_{θ(A)}⊗ι)_{X}} & .}

Enfin, les conditions de cohérence des modifications γ et δ s’expriment au morphisme f : A⟶B de K, avec les diagrammes commutatifs de G suivants :

[figure: θ_{f} [Ĩχ(I,A)]; 1γ_{A}; ι{−1 \atop θ_{f}}1; θ_{f} θ_{g_{A}}; C{−1 \atop g_{A},f}; θ_{f} [^{A}Ĩχ(A,I)θ_{d_{A}}]; (δ_{B} 1)(1δ_{A})^{−1}; 1^{A}ι{−1 \atop 1_{I}}1; ^{B} Ĩχ(B,I)θ_{d_{B}} θ_{f}; 1C{−1 \atop f,d_{B}}; Ĩ^{I}θ_{f} χ(I,A); ι{−1 \atop 1_{I}}1; θ_{f⊗g_{A}}; 1; θ_{f}^{A}(Ĩθ_{1_{I}})χ(A,I)θ_{d_{A}}; 1Φ^{A}1; _{B} Ĩχ(B,I)θ_{d_{B} f}; 1; Ĩθ_{1_{I}} ^{I}θ_{f} χ(I,A); 1χ(1_{I} ⊗f)^{−1}; θ_{g_{B} (1_{I} ⊗f)}; C_{g_{B} ,1_{I} ⊗f}; θ_{f}^{A}Ĩ^{A}θ_{1_{I}} χ(A,I)θ_{d_{A}}; θ(f)Ĩ1; _{B} Ĩχ(B,I)θ_{(f⊗1_{I})d_{A}}; 1C_{d_{A},f⊗1_{I}} 1; Ĩχ(I,B)θ_{1_{I} ⊗f}; γ_{B} 1; θ_{g_{B}} θ_{(1_{I} ⊗f)}; _{B} Ĩθ_{f}^{A}θ_{1_{I}} χ(A,I)θ_{d_{A}}; χ(f⊗1_{I}); _{B} Ĩχ(B,I)θ_{f⊗1_{I}} θ_{d_{A}}]

(12.1.16)

• CA1 et CA2 : Pour finir cette description d’un objet (θ, χ, ι, ω, γ, δ) de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})), il reste à énoncer les conditions de cohérence, [17], HTA1 et HTA2, que doivent respecter les données précédentes. La première condition exprime la cohérence des contraintes d’associativité et de la modification ω. Pour K discrète, elle correspond à la condition (2.2.1.12) de [3]. Pour le cas présent, cette dernière s’énonce avec la commutativité, pour tout objet (A, B, C, D) de \underline{K}^{4}, du diagramme de \underline{G} :

[figure: χ(A,B)χ(AB,C)χ((AB)C,D); ω_{A,B,C}; ω_{AB,C,D}; ^{A}χ(B,C)χ(A,BC)θ_{a}χ((AB)C,D); i_{(AB)C}^{−1}; χ(A,B)^{AB}χ(C,D)χ(AB,CD)θ_{a}; χ_{χ(C,D)}; ^{A}χ(B,C)χ(A,BC)θ_{a}^{(AB)C}θ_{1_{D}} χ((AB)C,D); χ(a⊗1)^{−1}; ^{A}(^{B}χ(C,D))χ(A,B)χ(AB,CD)θ_{a}; ω_{A,B,CD}; ^{A}χ(B,C)χ(A,BC)χ(A(BC),D)θ_{a1_{D}}; ω_{A,BC,D}; ^{A}(^{B}χ(C,D))^{A}χ(B,CD)χ(A,B(CD))θ_{a}θ_{a}; (1⊗C)CC^{−1}; ^{A}χ(B,C)^{A}χ(BC,D)χ(A,(BC)D)θ_{a}θ_{a1_{D}}; (Φ^{A})^{−1}; ^{A}(^{B}χ(C,D))^{A}χ(B,CD)χ(A,B(CD))θ_{1_{A}a}θ_{a}θ_{a1_{D}}; χ(1⊗a); ^{A}[χ(B,C)χ(BC,D)]χ(A,(BC)D)θ_{a}θ_{a1_{D}}; ^{A}ω_{B,C,D}; ^{A}(^{B}χ(C,D))^{A}χ(B,CD)θ_{1_{A}}^{A}θ_{a}χ(A,(BC)D)θ_{a}θ_{a1_{D}}; i_{A}^{−1}; ^{A}[^{B}χ(C,D)χ(B,CD)θ_{a}]χ(A,(BC)D)θ_{a}θ_{a1_{D}}; Φ^{A}; ^{A}(^{B}χ(C,D))^{A}χ(B,CD)^{A}θ_{a}χ(A,(BC)D)θ_{a}θ_{a1_{D}}; ^{A}[^{B}χ(C,D)χ(B,CD)]^{A}θ_{a}χ(A,(BC)D)θ_{a}θ_{a1_{D}}; Φ^{A}]

(12.1.17)

La deuxième condition exprime la cohérence des modifications ω, γ et δ. Elle s’énonce avec la commutativité, pour tout objet (A, B) de \underline{K}^{2}, du diagramme de \underline{G} :

\xymatrix{^{A}Ĩχ(A,I)χ(AI,B)θ_{da⊗1_{B}} \ar[r]^{ω_{A,I,B}} \ar[d]_{χ(da⊗1_{B})} & ^{A}Ĩ^{A}χ(I,B)χ(A,IB)θ_{a}θ_{da⊗1_{B}} \ar[d]^{(Φ^{A})^{−1}} \\ _{A}Ĩχ(A,I)θ_{da}^{A}θ_{1_{B}} χ(A,B) \ar[d]_{(δ_{A})^{−1}} & ^{A}[Ĩχ(I,B)]χ(A,IB)θ_{a}θ_{da⊗1_{B}} \ar[d]^{^{A}γ_{B}} \\ ^{A}θ_{1_{B}} χ(A,B) \ar[d]_{^{A}i_{B}} & ^{A}θ_{g_{B}} χ(A,IB)θ_{a}θ_{da⊗1_{B}} \ar[d]^{i{−1 \atop A}} \\ χ(A,B) \ar[d]_{i^{−1}} & θ_{1_{A}}^{A}θ_{g_{B}} χ(A,IB)θ_{a}θ_{da⊗1_{B}} \\ χ(A,B)θ_{1_{AB}} \ar[r]_{C∘C} & χ(A,B)θ_{1_{A}⊗g_{B}} θ_{a}θ_{da⊗1_{B}} \ar[u]_{χ(1_{A}⊗g_{B})}}

Ce qui clôt la description d’un objet \underline{θ} = (θ, χ, ι, ω, γ, δ) de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})).

- Le pseudo-foncteur monoïdal \underline{G}(\underline{θ}) image de \underline{θ} par \underline{G}, (12.0.2).

Un objet \underline{θ} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})) détermine un pseudo-foncteur monoïdal \underline{G}(\underline{θ}) i.e. un objet de Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat) (voir 5.1 et 6.1) de la façon suivante.

• PS1 Le pseudo-foncteur (G(θ), i, C) : K^{op}⟶Cat sous-jacent à \underline{G}(\underline{θ}) est obtenu avec C1, (9.3.1) et oubli des actions. Les images par G(θ) d’un objet A (noté G_{A}) et d’un morphisme f : A⟶B de K sont respectivement la catégorie G et l’autoéquivalence, G_{f} : G_{B}⟶G_{A}, tensorisation à droite par l’objet θ_{f}. Les contraintes de comparaison et d’unité de G(θ) sont définies par tensorisation à droite de (9.3.9).

• PS2 La pseudo-équivalence T^{θ} de Bicat(K^{op} × K^{op}, Cat) est définie à partir de celle donnée par C2, p. 490. Sa composante en un objet (A, B) de K × K, est le foncteur

T_{A,B}^{θ} : G_{A} × G_{B} ⟶^{1×θ(A)} G_{A} × G_{B} ⟶^{⊗} G_{AB} ⟶^{t_{d}(χ(A,B))} G_{AB} .  (12.1.18)

La contrainte au morphisme (f, g) : (A, B)⟶(A′, B′) de K × K de cette pseudoéquivalence est l’isomorphisme naturel, t_{f,g} : T_{A,B}^{θ} ∘ (G_{f} × G_{g})⟹G_{f⊗g} ∘ T_{A′,B′}^{θ} défini par le collage dans Cat

[figure: G_{A′} ×G_{B′}; 1×θ(A′); t_{d}(θ_{f})×t_{d}(θ_{g}); G_{A′} ×G_{B′}; ⊗; G_{A′B′}; t_{d}(χ(A′,B′)); t_{d}(θ_{f}^{A}θ_{g}); G_{A′B′}; t_{d}(θ_{f⊗g}); ⇑ t_{d}(χ(f⊗g)^{−1}); G_{A}×G_{B}; 1×θ(A); ⇑ t_{f∗g}; G_{A}×G_{B}; ⊗; G_{AB}; t_{d}(χ(A,B)); G_{AB} ,]

(12.1.19)

où t_{f∗g} est l’isomorphisme naturel de Cat dont la composante en l’objet (X, Y) de G ×G est donnée par la composée :

t_{f∗g}(X, Y) : (Xθ_{f})^{A}(Y θ_{g}) ⟶^{Φ^{A}} Xθ_{f}^{A}Y^{A}θ_{g} ⟶^{θ(f)_{Y}} (X^{A′}Y)(θ_{f}^{A}θ_{g}) . (12.1.20)

L’expression en un objet (X, Y) de G × G de t_{f,g} est donc l’isomorphisme de G obtenu par la composée :

\xymatrix{[(Xθ_{f})^{A}(Y θ_{g})]χ(A, B) \ar@{-->}[r]^{t_{f,g}(X,Y)} \ar[d]_{Φ^{A}} & [(X^{A′}Y)χ(A′, B′)]θ_{f⊗g} \\ Xθ_{f}^{A}Y^{A}θ_{g}χ(A, B) \ar[r]_{θ(f)_{Y}} & X^{A′}Y θ_{f}^{A}θ_{g}χ(A, B) . \ar[u]_{χ(f⊗g)^{−1}}}  (12.1.21)

Les conditions de cohérence aux unités et à la composition s’obtiennent sans difficultés. En effet, la famille t_{f∗g}, indexée par les morphismes de K × K, est cohérente aux unités et à la composition de K × K avec pour seule donnée C1, p. 489. Par ailleurs, les contraintes liées à la cohérence des isomorphismes t_{f∗g} et χ(f ⊗ g) (12.1.6) coïncident suivant le collage (12.1.19). Un collage vertical de (12.1.19) donne que les cohérences de χ(f ⊗ g) et de t_{f,g} sont équivalentes puisque celles de t_{f∗g} ne dépendent que de C1.

• PS3 La pseudo-équivalence de Bicat(1l, Cat) est juste donnée par l’objet Ĩ de G intervenant dans la pseudo-équivalence ι (12.1.7).

• PS4 La modification

α : T.(T × 1)⟹G_{a}.T.(1 × T)  (12.1.22)

admet pour composante en (A, B, C) de K^{3}, l’isomorphisme naturel :

α_{A,B,C}^{θ} : T_{AB,C} ∘ (T_{A,B} × 1_{G})⟹G_{a_{A,B,C}} ∘ T_{A,BC} ∘ (1_{G} × T_{B,C}) ,  (12.1.23)

d’expression en (X, Y, Z) de G^{3}, l’isomorphisme α_{A,B,C}(X, Y, Z) de G obtenu par la composition

\xymatrix{[((X^{A}Y)χ(A, B))^{AB}Z]χ(AB, C) \ar@{-->}[r]^{α_{A,B,C}(X,Y,Z)} \ar[d]_{χ_{Z}} & ((X^{A}[(Y^{B}Z)χ(B, C)])χ(A, BC))θ_{a} \\ X^{A}Y^{A}(^{B}Z)χ(A, B)χ(AB, C) \ar[r]_{ω_{A,B,C}} & X^{A}Y^{A}(^{B}Z)^{A}χ(B, C)χ(A, BC)θ_{a} \ar[u]_{Φ^{−1}∘Φ^{−1}}}

(12.1.24)

Cet isomorphisme est clairement fonctoriel. Il reste à montrer que les isomorphismes α_{A,B,C} déterminent bien une modification. Ce dernier point s’obtient en montrant que pour tout morphisme (f, g, h) : (A, B, C)⟶(D, E, F) de K^{3} le diagrame suivant de G commute

[figure: Xθ_{f}^{A}(Y θ_{g})χ(A,B)^{AB}(Zθ_{h})χ(AB,C); t_{f,g}; α_{A,B,C}(Xθ_{f} ,Y θ_{g},Zθ_{h}); Xθ_{f}^{A}[Y θ_{g}^{B}(Zθ_{h})χ(B,C)]χ(A,BC)θ_{a}; ^{A}t_{g,h}; X^{D}Y χ(D,E)θ_{f⊗g}^{AB}(Zθ_{h})χ(AB,C); t_{f⊗g,h}; Xθ_{f}^{A}[(Y^{E}Z)χ(E,F)θ_{g⊗h}]χ(A,BC)θ_{a}; C∘C^{−1}∘t_{f,g⊗h}; X^{D}Y χ(D,E)^{DE}Zχ(DE,F)θ_{(f⊗g)⊗h}; α_{D,E,F} (X,Y,Z) 1; (X^{D}[Y^{E}Zχ(E,F)]χ(D,EF)θ_{a})θ_{(f⊗g)⊗h}]

(12.1.25)

ce qui équivaut, avec la définition des isomorphismes α_{A,B,C}(X, Y, Z), à la commutativité du diagramme

[figure: Xθ_{f}^{A}(Y θ_{g})^{A}(^{B}(Zθ_{h}))χ(A,B)χ(AB,C); χ_{Zθ_{h}}^{−1}; ω_{A,B,C}; Xθ_{f}^{A}(Y θ_{g})^{A}(^{B}(Zθ_{h}))^{A}χ(B,C)χ(A,BC)θ_{a}; Φ^{−1}∘Φ^{−1}; Xθ_{f}^{A}(Y θ_{g})χ(A,B)^{AB}(Zθ_{h})χ(AB,C); t_{f,g}; Xθ_{f}^{A}[Y θ_{g}^{B}(Zθ_{h})χ(B,C)]χ(A,BC)θ_{a}; ^{A}t_{g,h}; X^{D}Y χ(D,E)θ_{f⊗g}^{AB}(Zθ_{h})χ(AB,C); t_{f⊗g,h}; I; Xθ_{f}^{A}[(Y^{E}Z)χ(E,F)θ_{g⊗h}]χ(A,BC)θ_{a}; C∘C^{−1}∘t_{f,g⊗h}; X^{D}Y χ(D,E)^{DE}Zχ(DE,F)θ_{(f⊗g)⊗h}; χ_{Z}; (X^{D}[Y^{E}Zχ(E,F)]χ(D,EF)θ_{a})θ_{(f⊗g)⊗h}; Φ∘Φ; X^{D}Y^{D}(^{E}Z)χ(D,E)χ(DE,F)θ_{(f⊗g)⊗h}; ω_{D,E,F}; X^{D}Y^{D}(^{E}Z)^{D}χ(E,F)χ(D,EF)θ_{a}θ_{(f⊗g)⊗h} .]

On applique sur l’arête supérieure le morphisme ( où les contraintes relatives aux homomorphismes θ(A), θ(B), etc. sont omises)

[figure: Xθ_{f}^{A}(Y θ_{g})^{A}(^{B}(Zθ_{h})); θ(f)_{Y}; X^{D}Y θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}(Zθ_{h})); (θ(f)⊗θ(g))_{Z}; X^{D}Y^{D}(^{E}Z)θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}θ_{h})]

et la commutativité de (I) équivaut alors à celle du diagramme suivant :

[figure: X^{D}Y^{D}(^{E}Z)θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}θ_{h})χ(A,B)χ(AB,C); (θ(f)⊗θ(g))_{Z}^{−1}; 1⊗(1ω_{A,B,C}); X^{D}Y^{D}(^{E}Z)θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}θ_{h})^{A}χ(B,C)χ(A,BC)θ_{a}; (θ(f)⊗θ(g))_{Z}^{−1}; X^{D}Y θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}(Zθ_{h}))χ(A,B)χ(AB,C); (θ(f)_{Y} )^{−1}; X^{D}Y θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}(Zθ_{h}))^{A}χ(B,C)χ(A,BC)θ_{a}; (θ(f)_{Y} )^{−1}; Xθ_{f}^{A}(Y θ_{g})^{A}(^{B}(Zθ_{h}))χ(A,B)χ(AB,C); χ_{Zθ_{h}}^{−1}; Xθ_{f}^{A}(Y θ_{g})^{A}(^{B}(Zθ_{h}))^{A}χ(B,C)χ(A,BC)θ_{a}; Φ^{−1}∘Φ^{−1}; Xθ_{f}^{A}(Y θ_{g})χ(A,B)^{AB}(Zθ_{h})χ(AB,C); t_{f,g}; II; Xθ_{f}^{A}[Y θ_{g}^{B}(Zθ_{h})χ(B,C)]χ(A,BC)θ_{a}; ^{A}t_{g,h}; X^{D}Y χ(D,E)θ_{f⊗g}^{AB}(Zθ_{h})χ(AB,C); t_{f⊗g,h}; Xθ_{f}^{A}[(Y^{E}Z)χ(E,F)θ_{g⊗h}]χ(A,BC)θ_{a}; C∘C^{−1}∘t_{f,g⊗h}; X^{D}Y χ(D,E)^{DE}Zχ(DE,F)θ_{(f⊗g)⊗h}; χ_{Z}; (X^{D}[Y^{E}Zχ(E,F)]χ(D,EF)θ_{a})θ_{(f⊗g)⊗h}; Φ∘Φ; X^{D}Y^{D}(^{E}Z)χ(D,E)χ(DE,F)θ_{(f⊗g)⊗h}; 1⊗(ω_{D,E,F} 1); X^{D}Y^{D}(^{E}Z)^{D}χ(E,F)χ(D,EF)θ_{a}θ_{(f⊗g)⊗h} .]

Pour finir, on montre que la commutativité de (II) équivaut à la condition de cohérence de la modification ω exprimée au morphisme (f, g, h), (12.1.13), multipliée à gauche par X^{D}Y^{D}(^{E}Z). Pour cela, il suffit que les compositions verticales de (II) soient celles intervenant pour la cohérence de ω. Pour l’arête de gauche, après avoir explicité celle-ci, le résultat est obtenu avec le diagramme suivant (les contraintes relatives aux homomorphismes θ(−) sont omises) :

[figure: X^{D}Y θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}Z)^{A}(^{B}θ_{h})χ(A,B)χ(AB,C); χ_{θ_{h}}^{−1}; X^{D}Y^{D}(^{E}Z)θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}θ_{h})χ(A,B)χ(AB,C); (θ(f)⊗θ(g))_{Z}^{−1}; X^{D}Y θ_{f}^{A}θ_{g}^{A}(^{B}Z)χ(A,B)^{AB}θ_{h}χ(AB,C); χ_{Z}^{−1}; X^{D}Y^{D}(^{E}Z)θ_{f}^{A}θ_{g}χ(A,B)^{AB}θ_{h}χ(AB,C); (θ(f)⊗θ(g))_{Z}^{−1}; χ_{θ_{h}}; X^{D}Y θ_{f}^{A}θ_{g}χ(A,B)^{AB}(Zθ_{h})χ(AB,C); χ(f⊗g)^{−1}; III; X^{D}Y χ(D,E)θ_{f⊗g}^{AB}(Zθ_{h})χ(AB,C); θ(f⊗g)_{Z}; X^{D}Y χ(D,E)^{DE}Zθ_{f⊗g}^{AB}θ_{h}χ(AB,C); χ_{Z}; χ((f⊗g)⊗h)^{−1}; X^{D}Y^{D}(^{E}Z)χ(D,E)θ_{f⊗g}^{AB}θ_{h}χ(AB,C); χ(f⊗g); X^{D}Y χ(D,E)^{DE}Zχ(DE,F)θ_{(f⊗g)⊗h}; χ_{Z}; X^{D}Y^{D}(^{E}Z)χ(D,E)χ(DE,F)θ_{(f⊗g)⊗h} ,; χ((f⊗g)⊗h)]

l’arête droite de ce diagramme est celle qui intervient à gauche pour la cohérence de ω, multipliée par X^{D}Y^{D}(^{E}Z). Le reste du parcours extérieur est l’arête gauche de (II). Enfin, ce diagramme est commutatif car (III) est l’expression en Z de la modification χ^{θ}(f ⊗ g) (12.1.3). Pour l’arête droite de (II), on procède de la même façon et la vérification est laissée au lecteur.

• PS5 Enfin, les composantes en un objet A de K des modifications de (5.1, HBM5), notées ici par Γ et Δ, sont données par les isomorphismes naturels, (6.1, pt. 5 pour le cas d’une cofibration)

Γ_{A} : T_{I,A}(Ĩ, .)⟹G_{g_{A}} et Δ_{A} : 1_{G}⟹G_{d_{A}} ∘ T_{A,I}(., Ĩ),

respectivement définis en un objet X de G par les isomorphismes de G :

Γ_{A}(X) : Ĩ^{I}Xχ(I, A) ⟶^{ι_{X}} XĨχ(I, A) ⟶^{Xγ_{A}} Xθ_{g_{A}}  (12.1.26)

Δ_{A}(X) : X ⟶^{Xδ_{A}} X^{A}Ĩχ(A, I)θ_{d_{A}}.  (12.1.27)

Les conditions de cohérence de Γ et Δ s’obtiennent en utilisant celles des modifications γ et δ (12.1.16). Pour un morphisme f : A⟶B de K, elles correspondent à la commutativité dans G des diagrammes :

\xymatrix{Ĩ^{I}(Xθ_{f})χ(I,A) \ar[r]^{Γ_{A}(Xθ_{f})} \ar[d]_{i{−1 \atop I}} & Xθ_{f} θ_{g_{A}} \ar[d]^{C} & Xθ_{f}^{A}Ĩχ(A,I)θ_{d_{A}} \ar[d]_{i{−1 \atop I}} & Xθ_{f} \ar[l]_{Δ_{A}(Xθ_{f})} \ar[d]^{Δ_{B} (X)} \\ Ĩ(Iθ_{1_{I}})^{I}(Xθ_{f})χ(I,A) \ar[d]_{t_{1_{I} ,f} (I,X)} & Xθ_{fg_{A}} \ar[d]^{C} & Xθ_{f}^{A}(Ĩθ_{1_{I}})χ(A,I)θ_{d_{A}} \ar[d]_{t_{f,1_{I}} (X,Ĩ)} & X^{B} Ĩχ(B,I)θ_{d_{B}} θ_{f} \ar[d]^{C^{−1}} \\ Ĩ^{I}Xχ(I,B)θ_{1_{I} ⊗f} \ar[r]_{Γ_{B} (X)1} & Xθ_{g_{B}} θ_{(1_{I} ⊗f)} & X^{B} Ĩχ(B,I)θ_{f⊗1_{I}} θ_{d_{A}} & X^{B} Ĩχ(B,I)θ_{(f⊗1_{I})d_{A}} \ar[l]_{C}}

(12.1.28)

Pour terminer, il faut vérifier que la modification α (12.1.22) est cohérente à l’associativité et aux modifications Γ et Δ. La cohérence des modifications α, Γ et Δ correspond à la commutativité, pour tout objet (X, Z) de G^{2}, du diagramme suivant de \underline{G} :

\xymatrix{X^{A}Ĩχ(A, I)^{AI}Zχ(AI, B)θ_{d_{A}⊗1_{B}} \ar[r]^{α_{A,I,B}(X,Ĩ,Z)} \ar[d]_{t_{d_{A},1_{B}}^{−1} (X^{A}Ĩχ(A,I), Z)} & X^{A}[Ĩ^{I}Zχ(I, B)]χ(A, IB)θ_{a}θ_{d_{A}⊗1_{B}} \ar[d]^{i_{A}^{−1}⊗^{A}Γ_{B}(Z)} \\ X^{A}Ĩχ(A, I)θ_{d_{A}}^{A}(Zθ_{1_{B}})χ(A, B) \ar[d]_{(Δ_{A}(X))^{−1}⊗^{A}(Zi_{B})} & Xθ_{1_{A}}^{A}(Zθ_{g_{B}})χ(A, IB)θ_{a}θ_{d_{A}⊗1_{B}} \ar[d]^{t_{1_{A},g_{B}} (X,Z)} \\ X^{A}Zχ(A, B) \ar[r]_{C∘C∘i_{AB}^{−1}} & X^{A}Zχ(A, B)θ_{1_{A}⊗g_{B}}θ_{a}θ_{d_{A}⊗1_{B}} .}

La cohérence à l’associativité de la modification α correspond à la commutativité, pour tout objet (X, Y, Z, T) de G^{4}, du diagramme suivant de \underline{G} :

\xymatrix{X^{A}Y χ(A,B)^{AB}Zχ(AB,C)^{(AB)C}T χ((AB)C,D) \ar[dd]_{α_{AB,C,D} (X^{A}Y χ(A,B),Z,T)} \ar[dr]^{α_{A,B,C}} \\  & X^{A}[Y^{B}Zχ(B,C)]χ(A,BC)θ_{a}^{(AB)C}T χ((AB)C,D) \ar[dd]^{^{(AB)C} i{−1 \atop D}} \\ X^{A}Y χ(A,B)^{AB}[Z^{C}T χ(C,D)]χ(AB,CD)θ_{a} \ar[dd]_{α_{A,B,CD} (X,Y,Z^{C} T χ(C,D))} \\  & X^{A}[Y^{B}Zχ(B,C)]χ(A,BC)θ_{a}^{(AB)C}(T θ_{1_{D}})χ((AB)C,D) \ar[dd]^{t_{a,1_{D}}} \\ X^{A}[Y^{B}[Z^{C}T χ(C,D)]χ(B,CD)]χ(A,B(CD))θ_{a}θ_{a} \ar[dd]_{(1⊗C)CC^{−1}} \\  & X^{A}[Y^{B}Zχ(B,C)]χ(A,BC)^{A(BC)}T χ(A(BC),D)θ_{a1_{D}} \ar[dd]^{α_{A,BC,D} (X,α_{A,B,CD} ,T)} \\ X^{A}[Y^{B}[Z^{C}T χ(C,D)]χ(B,CD)]χ(A,B(CD))θ_{1_{A}a}θ_{a}θ_{a1_{D}} \ar[dd]_{t{−1 \atop 1_{A},a}} \\  & X^{A}[Y^{B}Zχ(B,C)^{BC}T χ(BC,D)]χ(A,(BC)D)θ_{a}θ_{a1_{D}} \ar[dd]^{^{A}α_{B,C,D} (Y,Z,T)} \\ Xθ_{1_{A}}^{A}[Y^{B}[Z^{C}T χ(C,D)]χ(B,CD)θ_{a}]χ(A,(BC)D)θ_{a}θ_{a1} \ar[dr]_{i_{A}} \\  & X^{A}[Y^{B}[Z^{C}T χ(C,D)]χ(B,CD)θ_{a}]χ((A,(BC)D))θ_{a}θ_{a1}}

(12.1.29)

Les détails sur la commutativité de ces deux derniers diagrammes sont laissés au lecteur. La commutativité du premier s’obtient avec la cohérence des modifications ω, γ et δ, celle du second avec à la cohérence à l’associativité de la modification ω.

- L’extension \underline{F} (\underline{θ}), image de \underline{θ} par l’homomorphisme (12.0.1).

L’image de \underline{θ} par (12.0.1) est une extension fibrée (r, p) de \underline{K} par \underline{G},

\underline{G} ⟶^{r} \underline{E}_{c(θ)} ⟶^{p} \underline{K}  (12.1.30)

où p est la fibration monoïdale image par la biéquivalence (6.3.2) du pseudo-foncteur précédent. La fibration p : E_{c(θ)}⟶K sous jacente est exactement celle de (9.3.13) (et oubli des actions) construite avec l’objet (θ, C, i) fourni par C1 (p. 489). La structure de gr-catégorie de \underline{E}_{c(θ)} obtenue par (6.3.2) est la suivante. Le produit ⊗ : E_{c(θ)} × E_{c(θ)}⟶E_{c(θ)} est défini sur les objets par l’égalité

(X, A) ⊗ (Y, B) = ((X^{A}Y)χ^{θ}(A, B), A ⊗ B)

et au morphisme (x, f) × (y, g) : (X, A) × (Y, B)⟶(X′, A′) × (Y′, B′) par l’égalité

(x, f) ⊗ (y, g) = (t_{f,g}(X′, Y′) ∘ x^{A}y, f ⊗ g),

où la première composante correspond plus précisément à la composition (les contraintes d’associativité et les unités sont toujours omises) :

\xymatrix{(X^{A}Y)χ^{θ}(A, B) \ar@{-->}[rr] \ar[d]_{x^{A}y} &  & [(X′^{A′}Y′)χ^{θ}(A′, B′)]θ_{f⊗g} \\ X′θ_{f}^{A}(Y′θ_{g})χ^{θ}(A, B) \ar[r]_{Φ^{A}} & X′θ_{f}^{A}Y′^{A}θ_{g}χ^{θ}(A, B) \ar[r]_{θ(f)_{Y ′}} & X′^{A′}Y′θ_{f}^{A}θ_{g}χ^{θ}(A, B) . \ar[u]_{χ(f⊗g)^{−1}}}

La contrainte d’associativité est donnée aux objets (X, A), (Y, B) et (Z, C) de E_{c(θ)} par l’isomorphisme :

\xymatrix{[(X, A) ⊗ (Y, B)] ⊗ (Z, C) \ar[r]^{(α_{A,B,C}(X,Y,Z), a)} & (X, A) ⊗ [(Y, B) ⊗ (Z, C)] .}

Enfin, (Ĩ, I) est l’objet unité et les contraintes d’unité sont données en (X, A) par les isomorphismes

\xymatrix{(Ĩ, I) ⊗ (X, A) \ar[r]^{(Γ_{A}(X), g_{A})} & (X, A) & et & (X, A) \ar[r]^{(Δ_{A}(X), d_{A})} & (X, A) ⊗ (Ĩ, I).}

Passons à la définition de l’homomorphisme (r, Φ^{r}) : \underline{G}⟶\underline{E}_{c(θ)} (10.1.1, pour un rappel) intervenant dans l’extension (12.1.30). Le foncteur r est à valeur sur la fibre stricte de p au dessus de l’objet unité I de \underline{K}. L’image d’un morphisme x : X⟶X′ est définie par le morphisme de \underline{E}_{c(θ)}

r(x) = ((x ⊗ Ĩ) ⊗ i_{1_{I}}^{−1}), 1_{I}) : (XĨ, I)⟶(X′Ĩ, I).  (12.1.31)

Il est clair que l’image d’une identité en est une et, en utilisant la cohérence aux unités de l’homomorphisme c(θ) fournie par C1, r est strict pour la composition. La contrainte de comparaison de r aux objets X et Y de \underline{G} est définie par le d_{I}- morphisme

Φ^{r}(X, Y) = (φ^{r}(X, Y), d_{I}) : ((XY)Ĩ, I)⟶(XĨ, I) ⊗ (Y Ĩ, I)  (12.1.32)

de première composante le morphisme φ^{r}(X, Y) de G :

\xymatrix{(XY)Ĩ \ar@{-->}[rr]^{φ^{r}(X,Y)} \ar[d]_{a⊗δ_{I}} &  & [((XĨ)^{I}(Y Ĩ))χ(I, I)]θ_{d_{I}} \\ X(Y Ĩ)[(^{I} Ĩχ(I, I))θ_{d_{I}}] \ar[r]_{ι_{Y}^{−1} 1} & X(Ĩ^{I}Y)[(^{I} Ĩχ(I, I))θ_{d_{I}}] \ar[r]_{∼} & [((XĨ)(^{I}Y^{I} Ĩ))χ(I, I)]θ_{d_{I}} \ar[u]_{Φ^{I}}}

où ι_{Y} est donné par (C3, 12.1.7). La cohérence de cette contrainte au morphisme (x, y) : (X, Y)⟶(X′, Y′) de G^{2}, correspond à la commutativité dans G du diagramme (les contraintes d’associativité et les unités sont omises):

\xymatrix{(XY)Ĩ \ar[r]^{φ^{r}(X,Y)} \ar[dd]_{xyĨi_{I}^{−1}} & (XĨ)^{I}(Y Ĩ)χ(I, I)θ_{d_{I}} \ar[d]^{xĨi_{I}^{−1}^{I}(yĨi_{I}^{−1})} \\  & (XĨθ_{I})^{I}(Y Ĩθ_{I}))χ(I, I)θ_{d_{I}} \ar[d]^{C^{−1}∘t_{1_{I} ,1_{I}} (X′Ĩ,Y′Ĩ)} \\ (X′Y′)Ĩθ_{1_{I}} \ar[r]_{C^{−1}∘φ^{r}(X′,Y′)} & X′Ĩ^{I}(Y′Ĩ)χ(I, I)θ_{d_{I}} .}

En utilisant la définition des morphismes φ^{r}, cette commutativité équivaut à celle du diagramme

\xymatrix{(XĨ)^{I}(Y Ĩ)χ(I, I)θ_{d_{I}} \ar[dd]_{i_{I}^{−1}} \ar[r]^{(1 i_{I}^{−1})^{I}(1 i_{I}^{−1})} \ar@{-->}[dr]_{i_{I⊗I}^{−1}} \ar[r]^{(1 i_{I}^{−1})^{I}(1 i_{I}^{−1})} & (XĨθ_{I})^{I}(Y Ĩθ_{I})χ(I, I)θ_{d_{I}} \ar[d]^{t_{1_{I} ,1_{I}} (X′Ĩ,Y′Ĩ)} \\  & (XĨ)^{I}(Y Ĩ)χ(I, I)θ_{1_{I⊗I}} θ_{d_{I}} \ar[d]^{C^{−1}} \\ (XĨ)^{I}(Y Ĩ)χ(I, I)θ_{d_{I}} θ_{1_{I}} \ar[r]_{C^{−1}} & X′Ĩ^{I}(Y′Ĩ)χ(I, I)θ_{d_{I}} .}

Elle est obtenue avec la cohérence aux unités de t et de C.

Pour terminer cette construction sur les objets de l’homomorphisme (12.0.1), il reste à montrer que la suite (12.1.30) est bien une extension au sens de (10.1.1). La composée pr : \underline{G}⟶\underline{K} est l’homomorphisme ` ` nul´´ et r définit avec (2.4.1) un homomorphisme q = F (r, 1) : \underline{G}⟶N(p). Il reste à montrer que q est une gréquivalence. Puisque p est une fibration, il est suffisant de montrer que r réalise une équivalence sur la fibre stricte p^{−1}(I) de p au dessus de l’objet unité de \underline{K}. Sur p^{−1}(I), r est clairement pleinement fidèle. Ensuite, soient Ĩ^{∗} un objet quasi inverse de Ĩ et e un isomorphisme e : I⟶Ĩ^{∗}Ĩ. Pour tout objet X de G, considérons l’isomorphisme :

ϵ_{X} : X ⟶^{1e} X(Ĩ^{∗}Ĩ) ⟶^{1i_{I}^{−1}} [X(Ĩ^{∗}Ĩ)]θ_{1_{I}} ⟶^{∼} [(XĨ^{∗})Ĩ)]θ_{1_{I}} .

Pour tout objet (X, I) de p^{−1}(I), on a un isomorphisme p^{−1}(I) : (X, I) ⟶^{(ϵ_{X},1_{I})} (r(XĨ^{∗}), I) et r est essentiellement surjectif sur p^{−1}(I). Ce qui termine la construction sur les objets de l’homomorphisme de classification (12.0.1).

12.2. Construction globale de \underline{F} et \underline{G}

Soit \underline{θ} et \underline{ψ} deux objets de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})). On note \underline{G}(\underline{θ}) et \underline{G}(\underline{ψ}) les pseudo-foncteurs monoïdaux associés décrits plus haut. On commence par donner une description de la catégorie Bimon(\underline{K}, Bieq_{u})(\underline{θ}, \underline{ψ}). On montre ensuite que l’on dispose d’un foncteur fidèle \underline{G} = \underline{G}_{\underline{θ},\underline{ψ}}

\underline{G} : Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ})⟶Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat)(\underline{G}(\underline{ψ}), \underline{G}(\underline{θ})). (12.2.1)

Par la biéquivalence (6.3.2), on obtient un foncteur fidèle,

Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ})⟶Fibmon\underline{K}(\underline{E}_{\underline{G}(\underline{ψ})}, \underline{E}_{\underline{G}(\underline{θ})}),  (12.2.2)

qui permet de définir en définitive un foncteur \underline{F} = \underline{F}_{\underline{θ},\underline{ψ}}

\underline{F} : Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ})⟶Ext(\underline{K}, \underline{G})(\underline{F} (\underline{ψ}), \underline{F} (\underline{θ})),  (12.2.3)

localisation au couple (\underline{θ}, \underline{ψ}) de l’homomorphisme de classification (12.0.1).

- Description de la catégorie Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ}).

On utilise toujours les notations introduites en (9). Suivant (5.2) et (5.4), un objet \underline{s} = (s, Π^{s}, M^{s}) de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ}) est une pseudo-transformation naturelle de Bicat(K, Bieq_{u}(\underline{G})),

s : θ⟶ψ,  (12.2.4)

une modifications inversible de Bicat(K × K, Bieq_{u}(\underline{G})),

Π^{s} : χ^{ψ}.(s⊗)⟹(s ⊗ s).χ^{θ}  (12.2.5)

et une modification inversible de Bicat(1l, Bieq_{u}(\underline{G}))

M^{s} : ι^{ψ}.(s ∘ I)⟹ι^{θ},  (12.2.6)

satisfaisant aux conditions de cohérence à l’associativité et aux unités du type (5.2.1) et (5.2.2), adaptées au cas des (co)-morphismes (5.4). Ces cohérences s’énoncent avec la commutativité des diagrammes de Bieq(\underline{G}) suivants, pour tout objet (A, B, C) de K^{3} où l’on a noté \overline{X} et X̃ pour θ(X) et ψ(X) :

[figure: \overline{(AB)C}; s(a); χ^{θ}(AB,C); s((AB)C); ⟹^{Π}; (\overline{AB})\overline{C}; χ^{θ}(A,B)⊗I; s(AB)s(C); ⟹^{Π⊗I}; (\overline{A} \overline{B})\overline{C}; (s(A)s(B))s(C); 1; { \atop (AB)C}; s(a); χ^{ψ}; ⇓; (ÃB)C̃; χ^{ψ}⊗I; (Ã B̃)C̃; 1; \overline{A(BC)}; s(A(BC)); χ^{θ}; ⟹^{Π}; \overline{A}(\overline{BC}); s(A)s(BC) ⟹^{I⊗Π}; I⊗χ^{θ}; \overline{A}(\overline{B} \overline{C}); s(A)(s(B)s(C)); { \atop A(BC)}; χ^{ψ}(A,BC); Ã(B̃C); I⊗χ^{ψ}(B,C); Ã(B̃ C̃); ω^{θ}; ω^{ψ}; α]

[figure: \overline{I} \overline{A}; s(I)⊗s(A); ⟹^{gM⊗I}; χ^{θ}; I\overline{A}; ι⊗\overline{A}; 1⊗s; g\overline{A}; \overline{A} \overline{I}; s(A)⊗s(I); ⟹^{I⊗gM}; χ^{θ}; \overline{A}I; \overline{A}⊗ι; s⊗1; d\overline{A}; Ĩ ; Ã; χ^{ψ}; ⇑ Π_{I,A}; IÃ; ι⊗Ã; _{ÃĨ}; χ^{ψ}; ⇑ Π_{A,I}; ÃI; Ã⊗ι; \overline{IA}; \overline{g_{A}}; s; \overline{A}; s(A); \overline{AI}; \overline{d_{A}}; s; \overline{A}; s(A); ĨA; g̃_{A}; Ã; ÃI; d̃_{A}; Ã; γ_{A}; γ_{A}; δ_{A}; δ_{A}]

(12.2.8)

Explicitons ces données. On renvoie le lecteur à (9.3.15) pour une description de la pseudo-transformation s : θ⟶ψ. Pour tout objet (A, B) de K×K, la composante en (A, B) de la modification Π^{s} (12.2.5) est une modification Π_{A,B}^{s} de Bieq_{u}(\underline{G}). Cette dernière est donnée par un isomorphisme de G,

Π_{A,B}^{s} : χ^{ψ}(A, B)s_{A⊗B}⟶s_{A}^{A}s_{B}χ^{θ}(A, B)  (12.2.9)

tel que pour tout objet X de G on ait la commutativité du diagramme, (on note respectivement ^{A}X et ^{A.}X pour θ(A)(X)) et ψ(A)(X)) :

\xymatrix{χ^{ψ}(A,B)s_{A⊗B}^{AB}X \ar[r]^{s(A⊗B)_{X}} \ar[d]_{Π{s \atop A,B}} & χ^{ψ}(A,B)^{(AB).}Xs_{A⊗B} \ar[r]^{χ{ψ \atop X}} & ^{A.}(^{B.}X)χ^{ψ}(A,B)s_{A⊗B} \ar[d]^{Π{s \atop A,B}} \\ s_{A}^{A}s_{B}χ^{θ}(A,B)^{AB}X \ar[r]_{χ^{θ}_{X}} & s_{A}^{A}s_{B}^{A}(^{B}X)χ^{θ}(A,B) \ar[r]_{(s(A)⊗s(B))_{X}} & ^{A.}(^{B.}X)(s_{A}^{A}s_{B})χ^{θ}(A,B)}

(12.2.10)

la flèche (s(A) ⊗ s(B))_{X} étant celle de (4.1.3). La cohérence au morphisme (f, g) : (A, B)⟶(C, D) de K × K de la modification Π^{s}

[figure: \overline{AB}; θ(fg); χ^{θ} (A,B); s(AB); \underrightarrow{Π{s \atop A,B}}; \overline{A} \overline{B}; s(A)s(B); θ(f)⊗θ(g); ÃB; ψ(f⊗g); χ^{ψ}; _{Ã B̃}; \overline{CD}; s; χ^{θ}; \underrightarrow{Π{s \atop C,D}}; _{\overline{C} \overline{D}}; s(C)⊗s(D); C̃D; χ^{ψ} (C,D); _{C̃D̃}; χ^{ψ}; χ^{θ}; s(fg)]  (12.2.11)

correspond à la commutativité dans G du diagramme :

\xymatrix{χ^{ψ}(C,D)s_{CD}θ_{f⊗g} \ar[r]^{s(f⊗g)} \ar[d]_{Π{s \atop C,D}} & χ^{ψ}(C,D)ψ_{f⊗g}s_{AB} \ar[r]^{χ^{ψ} (f⊗g)} & ψ_{f}^{A.}ψ_{g}χ^{ψ}(A,B)s_{A⊗B} \ar[d]^{Π{s \atop A,B}} \\ s_{C}^{C}s_{D}χ^{θ}(C,D)θ_{f⊗g} \ar[r]_{χ^{θ} (f⊗g)} & s_{C}^{C}s_{D}θ_{f}^{A}θ_{g}χ^{θ}(A,B) \ar[r]_{s(f) × s(g)} & ψ_{f}^{A.}ψ_{g}s_{A}^{A}s_{B}χ^{θ}(A,B)}

où la flèche s(f) × s(g) est obtenue avec (4.0.1). Passons à présent à la description de la modification M^{s} (12.2.6). On note par Ĩ et J̃ les objets de G respectivement associés aux pseudo-transformations ι^{θ} et ι^{ψ} de (12.1.7). La modification M^{s} se réduit juste à la donnée d’un isomorphisme de G :

M^{s} : J̃s_{I}⟶Ĩ,  (12.2.12)

tel que pour tout objet X de G, le diagramme suivant de G commute,

\xymatrix{(J̃s_{I}) ^{I}X \ar[d]_{M^{s}} \ar[r]^{s(I)_{X}} & J̃^{I.}Xs_{I} \ar[r]^{ι_{X}^{ψ}} & XJ̃s_{I} \ar[d]^{M^{s}} \\ _{Ĩ^{I}X} \ar[rr]_{ι_{X}^{θ}} &  & XĨ}  (12.2.13)

Les conditions de cohérence (12.2.7) et (12.2.8) correspondent à des diagrammes commutatifs comparables à ceux de (12.1.13) et (12.1.16). Par exemple on obtient pour la cohérence à l’associativié :

\xymatrix{[χ^{ψ}(A, B)χ^{ψ}(AB, C)]s_{(AB)C} \ar[r]^{ω_{A,B,C}^{ψ}} \ar[d]_{Π_{A⊗B,C}^{s}} & ^{A.}χ^{ψ}(B, C)χ^{ψ}(A, BC)ψ_{a}s_{(AB)C} \ar[d]^{s(a)^{−1}} \\ χ^{ψ}(A, B)s_{AB}^{AB}s_{C}χ^{θ}(AB, C) \ar[d]_{Π_{A,B}^{s} × I_{s_{C}}} & ^{A.}χ^{ψ}(B, C)χ^{ψ}(A, BC)s_{A(BC)}θ_{a} \ar[d]^{Π^{s}(A⊗(B⊗C))} \\ s_{A}^{A}s_{B}^{A}(^{B}s_{C}) χ^{θ}(A, B)χ^{θ}(AB, C) \ar[d]_{α_{s_{A},s_{B} ,s_{C}}} & ^{A.}χ^{ψ}(B, C)s_{A}^{A}s_{BC}χ^{θ}(A, BC)θ_{a} \ar[d]^{I_{s_{A}} × Π_{B,C}^{s}} \\ s_{A}^{A}(s_{B}^{B}s_{C}) χ^{θ}(A, B)χ^{θ}(AB, C) \ar[r]_{ω_{A,B,C}^{θ}} & [s_{A}^{A}(s_{B}^{B}s_{C})][(^{A}χ^{θ}(A, B)χ^{θ}(A, BC))θ_{a}].}

(12.2.14)

Les flèches Π_{A,B}^{ψ} ×I_{s_{C}} et I_{s_{A}} ×Π_{B,C}^{s} sont obtenues avec (4.0.1). La flèche α_{s_{A},s_{B},s_{C}} est donnée par la contrainte d’associativité (4.1.5).

Dans le cas où \underline{K} est discrète, on peut donner la correspondance entre les cobords de L. Breen ([3], déf. 2.2.5) et la précédente description. La donnée (2.2.4.2) de loc. cit. correspond ici à (12.2.4), de même (2.2.4.3) et (2.2.4.6) qui s’expriment ici avec (12.2.9) et (12.2.10), correspondent aux modifications Π_{A,B}^{s} de Bieq_{u}(\underline{G}). Enfin, la condition (2.2.4.10) de cohérence à l’associativité s’exprime avec (12.2.14).

Pour finir, rappelons qu’un morphisme \underline{m}  :  \underline{s}⟹\underline{s′} de

Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ}) est une modification m : s⟹s′ de Bicat(K, Bieq_{u}(\underline{G})) dont une description est donnée en (9.3.24), telle que pour tout objet (A, B) de K × K les diagrammes suivants de Bieq_{u}(\underline{G}) commutent, l’expression dans G de ces conditions est laissée au lecteur :

[figure: θ(A ⊗ B); s(A⊗B); s′(A⊗B); χ_{A,B}^{θ}; ψ(A ⊗ B); χ_{A,B}^{ψ}; θ(A) ⊗ θ(B); s(A)⊗s(B); s′(A)⊗s′(B); ψ(A) ⊗ ψ(B); m_{A⊗B}; m_{A}⊗m_{B}; Π^{s}; Π^{s′}]  (12.2.15)

[figure: 1\underline{G}; ι^{θ}; ι^{ψ}; θ(I); s(I); s′(I); ψ(I) .; M^{s}; M^{s′}; m_{I}]  (12.2.16)

- Description du foncteur \underline{G} (12.2.1).

Soit \underline{s} = (s, Π^{s}, M^{s}) un objet de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ}). Son image \underline{G}(\underline{s}) = (G(s), Π^{G(s)}, M^{G(s)}) est définie à partir de la pseudo-transformation naturelle G(s) de Bicat(K^{op}, Cat),

G(s) : G(ψ)⟶G(θ),  (12.2.17)

déduite par oubli des actions de la pseudo-transformation (9.3.21). Pour compléter la définition de \underline{G}(\underline{s}), il reste à définir les modifications inversibles

Π^{G(s)} : T^{θ}.(G(s) × G(s))⟹(G(s)⊗).T^{ψ}  (12.2.18)
M^{G(s)} : (G(s) ∘ I).ι^{G(ψ)}⟹ι^{G(θ)}  (12.2.19)

respectivement de Bicat(K^{op} × K^{op}, Cat) et Bicat(1l, Cat), satisfaisant aux conditions de cohérences attendues. La modification M^{G(s)} correspond juste à la donnée de l’isomorphisme (12.2.12). Pour tout objet (A, B) de K^{2}, la composante en (A, B) de la modification Π^{G(s)} est définie par le collage dans Cat,

[figure: G_{A}×G_{B}; 1×ψ(A); t_{d}(s_{A})×t_{d}(s_{B}); G_{A}×G_{B}; ⊗; G_{AB}; t_{d}(χ^{ψ}(A,B)); t_{d}(s_{A}^{A}s_{B}); G_{AB}; t_{d}(s_{A⊗B}); ⇑ t_{d}((Π_{A,B}^{s})^{−1}); G_{A}×G_{B}; 1×θ(A); ⇑ Π_{s_{A}∗s_{B}}; G_{A}×G_{B}; ⊗; G_{AB}; t_{d}(χ^{θ}(A,B)); G_{AB},]

(12.2.20)

où Π_{s_{A}∗s_{B}} est l’isomorphisme naturel de Cat défini, pour tout objet (X, Y) de G×G, par la composée :

Π_{s_{A}∗s_{B}}(X, Y) : (Xs_{A})^{A}(Y s_{B}) ⟶^{Φ^{A}} Xs_{A}^{A}Y^{A}s_{B} ⟶^{s(A)_{Y}} (X^{A.}Y)(s_{A}^{A}s_{B}). (12.2.21)

La composante Π_{A,B}^{G(s)} de la modification Π^{G(s)} est donc définie en l’objet (X, Y) de G_{A} × G_{B} avec l’isomorphisme de G_{AB} :

\xymatrix{[(Xs_{A})^{A}(Y s_{B})]χ^{θ}(A, B) \ar@{-->}[r]^{Π_{A,B}^{G(s)}(X,Y)} \ar[d]_{Φ^{A}} & [(X^{A.}Y)χ^{ψ}(A, B)]s_{A⊗B} \\ Xs_{A}^{A}Y^{A}s_{B}χ^{θ}(A, B) \ar[r]_{s(A)_{Y}} & X^{A.}Y s_{A}^{A}s_{B}χ^{θ}(A, B). \ar[u]_{(Π_{A,B}^{s})^{−1}}}  (12.2.22)

Pour obtenir la modification annoncée, il reste à vérifier que cette famille Π_{A,B}^{G(s)} d’isomorphismes naturels est cohérente aux morphismes, c’est-à-dire que, pour tout morphisme (f, g) : (A, B)⟶(C, D) de K^{2}, le cube de Cat

[figure: G_{C} ×G_{D}; t(ψ_{f})×t(ψ_{g}); T^{ψ}(C,D); t(s_{C})×t(s_{D}); ⟹^{Π{G(s) \atop C,D}}; G_{CD}; t(−); t(ψ_{f⊗g}); G_{C} ×G_{D}; t(θ_{f})×t(θ_{g}); T^{θ}; G_{CD}; G_{A}×G_{B}; t−×t−; T^{ψ}; ⟹^{Π{G(s) \atop A,B}}; G_{AB}; t(s_{A⊗B}); G_{A}×G_{B}; T^{θ}(A,B); G_{AB}; t_{f,g}^{θ}; t_{f,g}^{ψ}; t−×t−; t−]  (12.2.23)

est commutatif. On obtient cette commutativité comme en (12.1.21). En effet, il suffit de remarquer que les isomorphismes Π_{s_{A}∗s_{B}} (12.2.21) et t_{f∗g} (12.1.20) sont cohérents (par (9.3.19) pour l’essentiel) avec (12.2.4) comme seule donnée. Ensuite, le cube exprimant cette cohérence,

[figure: G_{C} ×G_{D}; t(ψ_{f})×t(ψ_{g}); ⊗(1×ψ(C)); t_{d}(s_{C})×t_{d}(s_{D}); ⟹^{Πs_{C} ∗s_{D}}; G_{CD}; s_{C}^{C}s_{D}; t_{d}(ψ_{f}^{A.}ψ_{g}); G_{C} ×G_{D}; t(θ_{f})×t(θ_{g}); ⊗(1×θ(C)); G_{CD}; G_{A}×G_{B}; t−×t−; ⟹^{Πs_{A}∗s_{B}}; G_{AB}; t_{d}(s_{A}^{A}s_{B}); G_{A}×G_{B}; ⊗(1×θ(A)); G_{AB}; t_{f∗g}^{θ}; t_{f∗g}^{ψ}; ts(f)×ts(g); t−]  (12.2.24)

collé suivant la face commune à celui déduit de (12.2.11) :

[figure: G_{CD}; t(ψ_{f}^{A.}ψ_{g}); t_{d}(χ^{ψ}(C,D)); t_{d}(s_{C}^{C}s_{D}); ⟸^{t_{d}(Π{s \atop C,D})}; G_{CD}; t_{d}(s_{CD}); t_{d}(ψ_{fg}); G_{CD}; t(θ_{f}^{A}θ_{g}); t_{d}(χ^{θ}); G_{CD}; G_{AB}; ⟸^{t(Π{s \atop A,B})}; G_{AB}; t_{d}(s_{AB}); G_{AB}; t_{d}(χ^{θ}(A,B)); G_{AB}; t(χ^{θ})^{−1}; t_{(}χ^{ψ})^{−1}; t−; t(s(fg))]  (12.2.25)

donne les cohérences de Π^{s} (12.2.11) et de Π^{G(s)} (12.2.23) équivalentes, ce qui termine ce point.

Pour en terminer avec les modifications Π^{G(s)} et M^{G(s)}, il reste à montrer que Π^{G(s)} est cohérente à l’associativité, i.e. à la modification α : T.(T ×1)⟹G_{a}.T.(1× T) (12.1.22) et que Π^{G(s)} et M^{G(s)} sont cohérentes aux unités. Ces cohérences sont obtenues avec des diagrammes du type (5.2.1) et (5.2.2). La cohérence à l’associativité de Π^{G(s)} revient à montrer que pour tout objet (A, B, C) de K^{3} et pour tout objet (X, Y, Z) de G^{3}, le diagramme suivant de \underline{G} commute

[figure: Xs_{A}^{A}(Y s_{B})χ^{θ}(A,B)^{AB}(Zs_{C})χ^{θ}(AB,C); Π_{A,B}^{G(s)}; α^{θ}(Xs_{A},Y s_{B},Zs_{C}); Xs_{A}^{A}[Y s_{B}^{B}(Zs_{C})χ^{θ}(B,C)]χ^{θ}(A,BC)θ_{a}; ^{A}Π_{B,C}^{G(s)}; X^{A.}Y χ^{ψ}(A,B)s_{A⊗B}^{AB}(Zs_{C})χ^{θ}(AB,C); Π_{A⊗B,C}^{G(s)}; Xs_{A}^{A.}[(Y^{B.}Z)χ(B,C)s_{B⊗C}]χ(A,BC)θ_{a}; (C∘C^{−1}⊗s(a))∘Π_{A,B⊗C}^{G(s)}; X^{A.}Y χ^{ψ}(A,B)^{AB.}Zχ^{ψ}(AB,C)s_{(A⊗B)⊗C}; α^{ψ}(X,Y,Z); (X^{A.}[Y^{B.}Zχ^{ψ}(B,C)]χ^{ψ}(A,BC)ψ_{a})s_{(A⊗B)⊗C}.]

(12.2.26)

Cette commutativité s’obtient de la même façon que celle de (12.1.25) où, (12.2.7), (12.2.22) et (12.2.26) doivent être comparées à (12.1.12), (12.1.21) et (12.1.25). Enfin, la cohérence aux unités s’exprime, pour tout objet A de K et tout objet X de G, par la commutativité des diagrammes

[figure: Ĩ^{I}(Xs_{A})χ^{θ}(I, A); Γ_{A}^{θ}(Xs_{A}); M^{s}; J̃s_{I} ^{I}(Xs_{A})χ^{θ}(I, A); Π_{I,A}^{G(s)}; J̃^{I.}Xχ^{ψ}(I, A)s_{I⊗A}; Γ_{A}^{ψ}(X); Xs_{A}θ_{g_{A}}; s(g_{A}); Xψ_{g_{A}}s_{I⊗A}]

(12.2.27)

[figure: Xs_{A}^{A}Ĩχ^{θ}(A, I)θ_{d_{A}}; ^{A}M^{s}; Xs_{A}^{A}(J̃s_{I})χ^{θ}(A, I)θ_{d_{A}}; Π_{A,I}^{G(s)}; X^{A.}J̃χ^{ψ}(A, I)s_{A⊗I}θ_{d_{A}}; s(d_{A}); Xs_{A}; Δ_{A}^{ψ}(X); Δ_{A}^{θ}(Xs_{A}); X^{A.}J̃χ^{ψ}(A, I)ψ_{d_{A}}s_{A}]

où les flèches Γ et Δ sont données avec (12.1.26) et (12.1.27). La commutativité de ces deux derniers diagrammes s’obtient avec la commutativité de (12.2.8).

Soit à présent \underline{m} : \underline{s}⟶\underline{s′} un morphisme de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ}). Comme pour les objets, son image \underline{G}(\underline{m}) : \underline{G}(\underline{s})⟶\underline{G}(\underline{s′}) par \underline{G} (12.2.1) est définie à partir de la modification de Bicat(K^{op}, Cat), G(m) : G(s)⟹G(s′), déduite de (9.3.1) par oubli des actions. Avec (9.3.26), la composante de G(m) en un objet A de K est donc l’isomorphisme naturel de Eq(G), tensorisation à droite par l’isomorphisme m_{A} : s_{A}⟶s′_{A},

[figure: G_{A}; t_{d}(s_{A}); t_{d}(s′_{A}); t_{d}(m_{A}) ⇓; G_{A}.]  (12.2.28)

La condition de cohérence au morphisme f : A⟶B de K de G(m) correspond juste à l’égalité dans G :

\xymatrix{s_{B}θ_{f} \ar[r]^{s(f)} \ar[d]_{m_{B}θ_{f}} & ψ_{f}s_{A} \ar[d]^{ψ_{f} m_{A}} \\ s′_{B}θ_{f} \ar[r]_{s′(f)} & ψ_{f}s′_{A}}  (12.2.29)

En utilisant les conditions (12.2.15) et (12.2.16), cette modification G(s) est structurée en un 2-morphisme \underline{G}(\underline{m}) de Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat) via les commutativités du diagramme suivant de Cat :

[figure: G_{A}×G_{B}; t_{d}(s_{A})×t_{d}(s_{B}); t_{d}(s′_{A})×t_{d}(s′_{B}); T_{A,B}^{ψ}; G_{A}×G_{B}; T_{A,B}^{θ}; G_{A⊗B}; t_{d}(s_{A⊗B}); t_{d}(s′_{A⊗B}); G_{A⊗B}; t_{d}(m_{A})×t_{d}(m_{B}); t_{d}(m_{A⊗B}); Π^{G(s)}; Π^{G(s′)}]  (12.2.30)

pour tout objet (A, B) de K × K, et du diagramme suivant de G :

\xymatrix{J̃s_{I} \ar[dd]_{J̃m_{I}} \ar[dr]^{M^{s}} \\  & _{Ĩ .} \\ J̃s′_{I} \ar[ur]_{M^{s′}}}  (12.2.31)

Enfin, il est immédiat que cette définition sur les morphismes, détermine un foncteur fidèle \underline{G} = \underline{G}_{\underline{θ},\underline{ψ}} (12.2.1).

- Description du foncteur \underline{F} (12.2.3).

• Soit \underline{s} = (s, Π^{s}, M^{s}) un objet de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ}). Son image \underline{F} (\underline{s}) = (α, \underline{S}) est un morphisme d’extensions fibrées (α, \underline{S}) : (r′, p′)⟶(r, p)

\xymatrix{ & \underline{E}_{c(ψ)} \ar[dd]_{\underline{S}} \ar[dr]^{p′} \\ \underline{G} \ar[ur]^{r′} \ar[dr]_{r}^{α ⇓} &  & \underline{K}. \\  & _{\underline{E}_{c(θ)}} \ar[ur]_{p}}  (12.2.32)

Le \underline{K}-homomorphisme (S, Φ^{S}) : \underline{E}_{c(ψ)}⟶\underline{E}_{c(θ)} est l’image par (6.3.2) de \underline{G}(\underline{s}), défini par (12.2.1) en (12.2.17)-(12.2.19). Pour mémoire, rappelons (voir aussi (9.2.6)) que les images par (S, Φ^{S}) de l’objet (X, A) et du f-morphisme (u, f) : (X, A)⟶(Y, B) de \underline{E}_{c(ψ)} sont respectivement données par l’objet (Xs_{A}, A) et le f-morphisme (Y s(f)^{−1}∗us_{A}, f) : (Xs_{A}, A)⟶(Y s_{B}, B), de \underline{E}_{c(θ)}, où le morphisme Y s(f)_{A}^{−1}∗us_{A} est la composée dans G:

Xs_{A} ⟶^{us_{A}} (Y ψ_{f})s_{A} ⟶^{∼} Y (ψ_{f}s_{A}) ⟶^{s(f)^{−1}} Y (s_{B}θ_{f}) ⟶^{∼} (Y s_{B})θ_{f}.

De la même manière qu’ en (6.2.2) pour le cas cofibré, la contrainte de comparaison Φ^{S} est définie aux objets (X, A) et (Y, B) de \underline{E}_{c(ψ)} avec le AB-isomorphisme de

\underline{E}_{c(θ)}
(1 ⊗ i_{AB}^{−1} ∘ Π_{A,B}^{G(s)}(X, Y)^{−1}, 1_{AB}) : S((X, A)(Y, B))⟶S(X, A)S(Y, B) (12.2.33)

de première composante l’isomorphisme de G :

\xymatrix{[(X^{A.}Y)χ^{ψ}(A,B)]s_{A⊗B} \ar[r]^{Π{G(s) \atop A,B}(X,Y )^{−1}} & [(Xs_{A})^{A}(Y s_{B})]χ^{θ}(A,B) \ar[r]^{1⊗i{−1 \atop AB}} & [(Xs_{A})^{A}(Y s_{B})]χ^{θ}(A,B)θ_{1_{AB}} .}

Enfin, la contrainte d’unité Φ_{o}^{S} = S(J̃, I)⟶(Ĩ, I) est le I-isomorphisme dont la première composante est l’isomorphisme 1i_{I}^{−1} ∘ M^{s} : J̃s_{I}⟶Ĩ⟶Ĩθ_{1_{I}} .

Passons à la définition de la transformation α de (12.2.32). On renvoie le lecteur en (12.1.31) et (12.1.32) pour un rappel sur les homomorphismes r et r′. La composante de α en un objet X de G est l’isomorphisme de \underline{E}_{c(θ)} au dessus de 1_{I},

α_{X} : ((XJ̃)s_{I}, I)⟶(XĨ, I)  (12.2.34)

de première composante : (XJ̃)s_{I} ⟶^{∼} X(J̃s_{I}) ⟶^{XM^{s}} XĨ ⟶^{1i_{I}^{−1}} (XĨ)θ_{1_{I}} . Comme r et r′ sont stricts sur l’unité, il est clair que α est cohérente aux unités puisque α_{I} = Φ_{o}^{S}. La naturalité provient de la condition de cohérence (9.2.3) explicitée avec (9.3.9). Enfin, il reste à vérifier la cohérence aux contraintes de comparaison, c’est-à-dire que, pour tout objet (X, Y) de G × G, le diagramme suivant de \underline{E}_{c(θ)} commute

\xymatrix{Sr′(XY) \ar[d]_{Φ^{S}∗ϕ^{r′}} \ar[r]^{α_{XY}} & r(XY) \ar[d]^{ϕ^{r}} \\ Sr′(X)Sr′(Y) \ar[r]_{α_{X}α_{Y}} & r(X)r(Y).}  (12.2.35)

En utilisant les conditions de cohérence aux unités de C (9.2.3) et de t (12.1.21), cette commutativité équivaut à celle du diagramme de G :

[figure: [(XY)J̃]s_{I}; M^{s}; I; (ι_{Y}^{ψ})^{−1}⊗δ_{I}^{ψ}; XY Ĩ; δ_{I}^{θ}; XJ̃^{I.}Y ^{I.}J̃χ^{ψ}(I, I)ψ_{d_{I}} s_{I}; Φ^{I.}⊗s(d_{I}); XY Ĩ^{I} Ĩχ^{θ}(I, I)θ_{d_{I}}; ι_{Y}^{θ}; XJ̃^{I.}(Y J̃)χ^{ψ}(I, I)s_{I⊗I}θ_{d_{I}}; Π^{G(s)}(XJ̃,Y J̃); XĨ^{I}Y ^{I} Ĩχ^{θ}(I, I)θ_{d_{I}}; Φ^{I}; XJ̃s_{I} ^{I}(Y J̃s_{I})χ^{θ}(I, I)θ_{d_{I}}; XM^{s} ^{I}(Y M^{s}); [((XĨ) ^{I}(Y Ĩ))χ^{θ}(I, I)]θ_{d_{I}} .]

En utilisant la commutativité du diagramme de G

\xymatrix{XJ̃s_{I} ^{I}(Y J̃s_{I})χ^{θ}(I,I) \ar[rr]^{Π{G(s) \atop I,I}(XJ̃,Y J̃)} \ar[d]_{Φ^{I}} &  & XJ̃^{I.}(Y J̃)χ^{ψ}(I,I)s_{I⊗I} \ar[d]^{Φ^{I.}} \\ XJ̃s_{I} ^{I}Y ^{I}(J̃s_{I})χ^{θ}(I,I) \ar[r]^{s(I)_{Y}} & XJ̃^{I.}Y s_{I} ^{I}(J̃s_{I})χ^{θ}(I,I) \ar[r]^{Π{G(s) \atop I,I}(XJ̃^{I.}Y ,J̃)} & XJ̃^{I.}Y ^{I.}J̃χ^{ψ}(I,I)s_{I⊗I}}

obtenue avec la définition de Π^{G(s)} (12.2.22), la commutativité de (I) équivaut alors à celle du diagramme suivant,

[figure: [(XY)J̃]s_{I}; M^{s}; (ι{ψ \atop Y} )^{−1}⊗δ{ψ \atop I}; δ{ψ \atop I}; XY Ĩ; δ^{θ}_{I}; II; XJ̃^{I.}Y ^{I.}J̃χ^{ψ}(I,I)ψ_{d_{I}} s_{I}; ι{ψ \atop Y}; XY J̃s_{I} ^{I.}J̃χ^{ψ}(I,I)ψ_{d_{I}} s_{I}; XJ̃^{I.}Y ^{I.}J̃χ^{ψ}(I,I)s_{I⊗I}θ_{d_{I}}; s(d_{I}); ι{ψ \atop Y}; XY J̃^{I.}J̃χ^{ψ}(I,I)s_{I⊗I}θ_{d_{I}}; s(d_{I}); XJ̃^{I.}Y s_{I} ^{I}(J̃s_{I})χ^{θ}(I,I)θ_{d_{I}}; Π^{G(s)}(XJ̃^{I.}Y ,J̃); ι{ψ \atop Y}; 12.2.13; XY J̃s_{I} ^{I}(J̃s_{I})χ^{θ}(I,I)θ_{d_{I}}; M^{s}⊗ ^{I} M^{s}; Π^{G(s)}(XY J̃,J̃); XY Ĩ^{I} Ĩχ^{θ}(I,I)θ_{d_{I}}; XJ̃s_{I} ^{I}Y ^{I}(J̃s_{I})χ^{θ}(I,I)θ_{d_{I}}; (M^{s}⊗^{I} Y )⊗ ^{I} M^{s}; s(I)_{Y}; [((XĨ) (^{I}Y ^{I} Ĩ))χ^{θ}(I,I)]θ_{d_{I}}; ι^{θ}_{Y}]

Celle ci est obtenue avec la commutativité de (12.2.13) et de (II), cette dernière provenant de la deuxième condition de cohérence de (12.2.27), soit :

[figure: [(XY)J̃]s_{I}; M^{s}; δ{ψ \atop I}; δ^{θ}_{I}; XY Ĩ; δ^{θ}_{I}; XY J̃s_{I} ^{I.}J̃χ^{ψ}(I,I)ψ_{d_{I}} s_{I}; 12.2.27; XY J̃^{I.}J̃χ^{ψ}(I,I)s_{I⊗I}θ_{d_{I}}; s(d_{I}); XY J̃s_{I} ^{I}(J̃s_{I})χ^{θ}(I,I)θ_{d_{I}}; M^{s}; XY J̃s_{I} ^{I}(J̃s_{I})χ^{θ}(I,I)θ_{d_{I}}; M^{s}⊗ ^{I} M^{s}; Π^{G(s)}(XY J̃,J̃); ^{I} M^{s}; XY Ĩ^{I} Ĩχ^{θ}(I,I)θ_{d_{I}}]

• Pour terminer cette construction locale de \underline{F}, il reste à donner l’image \underline{F} (\underline{m}) : \underline{S}⟶\underline{S′} d’un morphisme \underline{m} : \underline{s}⟶\underline{s′} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ}). Celleci est juste la K-transformation naturelle image par (6.3.2) de la modification \underline{G}(\underline{m}), (12.2.28)-(12.2.31). La condition α′.(F (m)r) = α est obtenue avec (12.2.31). Il est encore immédiat, avec (6.3.2) et la condition α′.(F (m)r) = α, que cette définition sur les morphismes, détermine un foncteur \underline{F} = \underline{F}_{\underline{θ},\underline{ψ}} (12.2.3).

- Construction globale de \underline{F} et \underline{G}.

La construction précédente permet de définir l’homomorphisme \underline{F} de (12.0.1), de définition locale la famille de foncteurs (12.2.3). Nous montrerons ici seulement que la famille de foncteurs \underline{G} = \underline{G}_{\underline{θ},\underline{ψ}} (12.2.1) permet de définir l’homomorphisme \underline{G} de (12.0.2). L’homomorphisme \underline{F} est alors obtenu pour l’essentiel par composition avec la biéquivalence (6.3.2).

Les contraintes de comparaison et d’unité permettant de définir globalement \underline{G} sont obtenues à partir de celles de l’homomorphisme (9.3.1) et oubli des actions (noté encore G par abus) :

G : Bicat(K, Bieq(\underline{G}))⟶Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op}))^{op}⟶Bicat(K^{op}, Cat)^{op}

Les contraintes d’unité de G et de \underline{G} sont strictes (puisque celle de \underline{G} l’est). Rappelons que la contrainte de comparaison de G aux 1-morphismes s : θ⟶ψ et r : ψ⟶ϕ de Bicat(K, Bieq(\underline{G})): C_{s,r} : G(r.s)⟹G(s).G(r), est définie par tensorisation à droite des contraintes d’associativité de \underline{G}. Elle a pour composante en un objet A de K, l’isomorphisme naturel de Cat : t_{d}(a_{−,r_{A},s_{A}}^{−1}) : t_{d}(r.s_{A})⟶t_{d}(s_{A}) ∘ t_{d}(r_{A}). Pour deux morphismes composables \underline{s} = (s, Π^{s}, M^{s}) : \underline{θ}⟶\underline{ψ} et \underline{r} = (r, Π^{r}, M^{r}) : \underline{ψ}⟶\underline{ϕ} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq}_{u}(\underline{G})), la modification C_{s,r} : G(r.s)⟹G(s).G(r) précédente se complète en une modification inversible de Bimon(\underline{K^{op}}, Cat)^{op} :

C_{s,r} : \underline{G}(\underline{r}.\underline{s})⟹\underline{G}(\underline{s}).\underline{G}(\underline{r}),  (12.2.36)

soit, avec la définition locale de \underline{G} (12.2.17-12.2.19) et la définition de la composition (5.5.1), que l’on a une modification

C_{s,r} : (G(r.s), Π^{G(r.s)}, M^{G(r.s)})⟹(G(s).G(r), Π^{G(s)}.Π^{G(r)}, M^{G(s)}.M^{G(r)}).

Avec la définition (5.3 p. 456), il faut donc vérifier la commutativité du diagramme suivant de Cat :

[figure: G_{A}×G_{B}; t_{d}(r.s_{A})×t_{d}(r.s_{B}); t_{d}(s_{A})t_{d}(r_{A})×t_{d}(s_{B})t_{d}(r_{A}); T_{A,B}^{Φ}; G_{A}×G_{B}; T_{A,B}^{θ}; G_{AB}; t_{d}(r.s_{AB}); t_{d}(s_{AB})t_{d}(r_{AB}); G_{AB}; C×C; C; Π^{G(r.s)}; Π^{G(s)}.Π^{G(r)}]  (12.2.37)

pour tout objet (A, B) de K×K, et du diagramme suivant de G (où M^{r} : K̃r_{I}⟶J̃)

\xymatrix{K̃((r.s)_{I}) \ar[dd]_{1} \ar@{-->}[dr]^{M^{G(r.s)}} \\  & _{Ĩ .} \\ K̃(r_{I}s_{I}) \ar@{-->}[ur]_{M^{G(s)}.M^{(r)}}}  (12.2.38)

Ces commutativités sont faciles à obtenir. Pour (12.2.38), par (12.2.19) et (5.5.1), on obtient M^{G(r.s)} = M^{s}.M^{r} = M^{G(s)}.M^{(r)}. Pour (12.2.37), l’isomorphisme de la face avant est obtenu avec le collage dans Cat (voir 12.2.20 et 12.2.19)

[figure: G_{A}×G_{B}; 1×ϕ(A); t_{d}(r_{A})×t_{d}(r_{B}); G_{A}×G_{B}; ⊗; G_{AB}; t_{d}(χ^{ϕ}(A,B)); t_{d}(r_{A}^{A}r_{B}); G_{AB}; t_{d}(r_{AB}); ⇑ t_{d}((Π_{A,B}^{r})^{−1}); G_{A}×G_{B}; 1×ψ(A); t_{d}(s_{A})×t_{d}(s_{B}); ⇑ Π_{r_{A}∗r_{B}}; G_{A}×G_{B}; ⊗; G_{AB}; t_{d}(χ^{ψ}(A,B)); t_{d}(s_{A}^{A}s_{B}); G_{AB}; t_{d}(s_{AB}); ⇑ t_{d}((Π_{A,B}^{s})^{−1}); G_{A}×G_{B}; 1×θ(A); ⇑ Π_{s_{A}∗s_{B}}; G_{A}×G_{B}; ⊗; G_{AB}; t_{d}(χ^{θ}(A,B)); G_{AB} .]

On applique sur les arêtes latérales les contraintes de comparaison ce qui donne l’isomorphisme de la face arrière de (12.2.37)

[figure: G_{A}×G_{B}; 1×ϕ(A); t_{d}(r.s_{A})×t_{d}(r.s_{B}); G_{A}×G_{B}; ⊗; G_{AB}; t_{d}(χ^{ϕ}(A,B)); t_{d}(r.s_{A}^{A}r.s_{B}); G_{AB}; t_{d}(r_{AB}); ⇑ t_{d}((Π^{r}.Π^{s})^{−1}); G_{A}×G_{B}; 1×θ(A); ⇑ Π_{r.s_{A}∗r.s_{B}}; G_{A}×G_{B}; ⊗; G_{AB}; t_{d}(χ^{θ}(A,B)); G_{AB} ,]

puisque les ` ` conditions de recollement´ ´ des isomorphismes Π_{r_{A}∗r_{B}}, Π_{s_{A}∗s_{B}} et (Π_{A,B}^{r})^{−1}, (Π_{A,B}^{r})^{−1} coïncident sur l’arête t_{d}(s_{A}^{A}s_{B})t_{d}(r_{A}^{A}r_{B}). On obtient ensuite que la modification C_{s,r} (12.2.36) est la composante en (\underline{s}, \underline{r}) d’un isomorphisme naturel :

\xymatrix{Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq}_{u}(\underline{G}))(\underline{ψ},\underline{ϕ})×Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq}(\underline{G}))(\underline{θ},\underline{ψ}) \ar[r]^{.} \ar[d]_{\underline{G}×\underline{G}} & Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq}(\underline{G}))(\underline{θ},\underline{ϕ}) \ar[d]^{\underline{G}}_{⇓ C_{θ,ψ,ϕ}} \\ Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat)(\underline{G}(\underline{ϕ}),\underline{G}(\underline{ψ}))×Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat)(\underline{G}(\underline{ψ}),\underline{G}(\underline{θ})) \ar[r]^{.^{op}} & Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat)(\underline{G}(\underline{ϕ}),\underline{G}(\underline{θ}))}

La naturalité se montre en collant aux diagrammes (12.2.37) et (12.2.38) des diagrammes du type (12.2.30 et 12.2.31 p. 511). Enfin, cette famille d’isomorphismes naturels C_{θ,ψ,ϕ}, indexée sur les triplets d’objets, est cohérente à l’associativité. Cette cohérence s’obtient aux morphismes \underline{s} : \underline{θ}⟶\underline{ψ}, \underline{r} : \underline{ψ}⟶\underline{ϕ} et \underline{q} : \underline{ψ}⟶\underline{ω}, avec un collage comme celui utilisé plus haut et en utilisant les cohérences à l’associativité des isomorphismes naturels Π_{q_{A}∗q_{B}} Π_{r_{A}∗r_{B}}, Π_{s_{A}∗s_{B}} et (Π_{A,B}^{q})^{−1} (Π_{A,B}^{r})^{−1}, (Π_{A,B}^{r})^{−1}.

13. Le théorème de classification

L’objet de cette section est de démontrer le résultat principal de ce travail :

Théorème 2. L’homomorphisme de (12.0.1)

\underline{F} : Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))⟶Ext(\underline{K}, \underline{G})^{op}

est une biéquivalence de bicatégories.

13.1. L’équivalence locale

Soit ((r, λ), p) : \underline{G} ⟶^{r} \underline{H} ⟶^{p} \underline{K}. une extension de \underline{K} par \underline{G}. L’homomorphisme r détermine une (\underline{G}, \underline{G})-action sur la catégorie H. Les actions à gauche et à droite sont respectivement données par les composées t_{g} ∘ r : \underline{G}⟶\underline{H}⟶Eq(H) et t_{d} ∘ r : \underline{G}^{op}⟶\underline{H}⟶Eq(H). Leur cohérence est obtenue avec la contrainte d’associativité de \underline{H}. En fait, on a un 2-foncteur,

Ext(\underline{K}, \underline{G})⟶Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(\underline{G}, Cat)).  (13.0.1)

En effet, soit (α, \underline{S}, γ) : (r, λ, p)⟶(r′, λ′, p′) un morphisme d’extensions. Par l’isomorphisme fonctoriel (monoïdal) α : \underline{S}r⟹r′, le foncteur S : H⟶H′ est \underline{G}- équivariant pour ces actions. Par exemple pour l’action à gauche, la composante en un objet X de G de la pseudo-transformation (S, S_{−}^{g}) : r ∘ t_{g}⟶r′ ∘ t_{g} de Bicat(\underline{G}, Cat) définissant l’équivariance de S : S_{X}^{g} : S ∘ t_{g}(r(X))⟹t_{g}(r′(X)) ∘ S, est donnée par l’isomorphisme naturel :

S_{X}^{g}(−) : S(r(X) ⊗ −) ⟶^{Φ^{S}} S(r(X)) ⊗ S(−) ⟶^{α_{X}⊗1} r′(X) ⊗ S(−) .

Ensuite, pour tout objet Y de G, l’isomorphisme naturel fourni par la cohérence à l’action à droite S_{Y}^{d} : S ∘ t_{d}(r(Y))⟹t_{d}(r′(Y)) ∘ S, similaire à celui de l’action à gauche, donne une \underline{G}-transformation de foncteurs \underline{G}-équivariants pour l’action à gauche, ce qui donne (13.0.1) sur les 1-morphismes. Enfin, un 2-morphisme m : (α, \underline{S}, γ)⟹(α′, \underline{S′}, γ′) d’extensions de \underline{K} par \underline{G}, via la condition α′.(mr) = α vérifiée par la transformation monoïdale m : \underline{S}⟹\underline{T}, détermine, avec la tranformation m : S⟹S′ sous-jacente, une \underline{G}-transformation : (S, S_{−}^{g})⟹(S, S′_{−}^{g}) cohérente à l’action à droite (via la \underline{G}-transformation induite par m pour l’action à droite), ce qui donne (13.0.1) sur les 2-morphismes. Il est clair que l’image d’une unité en est une et que (13.0.1) est strict pour la composition des 1-morphismes.

Pour tout objet \underline{θ} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})), la catégorie E_{c(θ)}, intervenant dans l’extension \underline{F} (\underline{θ}) (12.1.30), est à présent munie de deux (\underline{G}, \underline{G})-actions, celle précédemment définie (13.0.1) que l’on notera par (E_{c(θ)}, t_{g}r, t_{d}r) et celle donnée par l’homomorphisme obtenu à partir de l’homomorphisme (9.3.3) et oubli de la fibration,

Bicat(K, Bieq_{u}(\underline{G}))⟶Bicat(\underline{G}^{op}, Tors_{g}(K^{op}, \underline{G}))⟶Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(\underline{G}, Cat))^{op}.

(13.0.2)

On note β_{g} : \underline{G}⟶Eq(E_{c(θ)}) et β_{d} : \underline{G}^{op}⟶Eq(E_{c(θ)}) les actions à gauche (9.2.5) et à droite (9.3.14) sur E_{c(θ)} ainsi obtenues. On notera globalement par (E_{c(θ)}, β_{g}, β_{d}) cette (\underline{G}, \underline{G})-action. On a alors :

Lemme 13.1. Ces deux (\underline{G}, \underline{G})-actions sont isomorphes.

Démonstration. On veut établir une équivalence dans Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(\underline{G}, Cat)) qui soit un pseudo-isomorphisme. Pour les actions à gauche, on dispose d’un pseudoisomorphisme (i.e. d’un isomorphisme \underline{G}-équivariant)

(1, ϵ) : (E_{c(θ)}, t_{g}r)⟶(E_{c(θ)}, β_{g})  (13.1.1)

de Bicat(\underline{G}, Cat) de composante le foncteur identité 1_{E_{c(θ)}} et dont l’expression à l’objet X de G est donnée par l’isomorphisme naturel ϵ_{X} : t_{g}(r(X))⟹β_{g}(X) d’expression à l’objet (Y, A) de E_{c(θ)}, l’isomorphisme ϵ_{X}(Y, A) de E_{c(θ)} :

\xymatrix{r(X) ⊗ (Y, A) \ar[r]^{(aa, 1_{IA})} & ^{X}[(Ĩ, I) ⊗ (Y, A)] \ar[r]^{^{X}(Γ_{A}^{θ}(Y), g_{A})} & ^{X}(Y, A).}

Les fonctorialités en (Y, A) et X sont claires et les cohérences à l’unité et la composition de \underline{G} sont faciles à obtenir. Pour les actions à droite, on dispose, comme pour les actions à gauche, d’un pseudo-isomorphisme,

(1, η) : (E_{c(θ)}, t_{d}r)⟶(E_{c(θ)}, β_{d})  (13.1.2)

de Bicat(\underline{G}^{op}, Cat). Son expression sur l’objet Z de G est donnée par l’isomorphisme naturel η_{Z} donné sur l’objet (Y, A) de E_{c(θ)} par l’isomorphisme η_{Z}(Y, A) :

\xymatrix{(Y, A) ⊗ r(Z) \ar[r]^{(aaΦ^{A}, 1_{IA})^{−1}} & (Y ^{A}Z, A) ⊗ (Ĩ, I) \ar[r]^{(Δ(Y ^{A}Z), d_{A})^{−1}} & (Y ^{A}Z, A).}

Pour tout objet Z de G, on a la commutativité du diagramme de E_{c(θ)} :

\xymatrix{[r(X)(Y, A)]r(Z) \ar[r]^{(α, a)} \ar[d]_{ϵ_{X}(Y,A)r(Z)} & r(X)[(Y, A)r(Z)] \ar[d]^{r(X)η_{Z}(Y,A)} \\ (XY, A)r(Z) \ar[d]_{η_{Z}(XY,A)} & r(X)(Y ^{A}Z, A) \ar[d]^{ϵ_{X}(Y ^{A}Z,A)} \\ ((XY) ^{A}Z, A) \ar[r]_{(i_{A}^{−1}a, 1_{A})} & (X(Y ^{A}Z), A)}  (13.1.3)

Cette commutativité exprime la cohérence gauche-droite des actions précédentes. L’isomorphisme naturel η_{Z} est ainsi une modification soit une \underline{G}-transformation η_{Z} : (1, ϵ) ∘ t_{d}(r(Z))⟹β_{d}((Z)) ∘ (1, ϵ) de foncteurs \underline{G}-équivariants pour les actions à gauche. Enfin, la cohérence de cette dernière au produit dans \underline{G}^{op}, montre que la modification η_{Z} :

[figure: (E_{c(θ)}, t_{g}r); t_{d}(r(Z)); (1, ϵ); (E_{c(θ)}, t_{g}r); (1, ϵ); (E_{c(θ)}, β_{g}); β_{d}(Z); (E_{c(θ)}, β_{g}); η_{Z}]

est l’expression en Z d’un pseudo-isomorphisme de Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(\underline{G}, Cat)) que l’on notera par (ϵ, η)_{θ} : (E_{c(θ)}, t_{g}r, t_{d}r)⟶(E_{c(θ)}, β_{g}, β_{r}) dans la suite.

Lemme 13.2. Les 1-morphismes (ϵ, η)_{−} : (E_{c(−)}, t_{g}r, t_{d}r)⟶(E_{c(−)}, β_{g}, β_{r}) sont les composantes d’un isomorphisme :

\xymatrix{Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})) \ar[r]_{⇓}^{\underline{F}} \ar[d]_{oubli} & Ext(\underline{K}, \underline{G})^{op} \ar[d]^{(13.0.1)} \\ Bicat(K, Bieq_{u}(\underline{G})) \ar[r]_{(13.0.2)} & Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(\underline{G}, Cat))^{op}.}

Démonstration. Pour \underline{s} : \underline{θ}⟶\underline{ψ} un 1-morphisme de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})), on note S : E_{c(ψ)}⟶E_{c(θ)} le foncteur sous-jacent aux foncteurs \underline{G}-équivariants de Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(\underline{G}, Cat)) obtenus avec le précédent diagramme. Il faut Commençer par montrer que le diagramme suivant de Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(\underline{G}, Cat)),

\xymatrix{(E_{c(ψ)}, t_{g}r, t_{d}r) \ar[r]^{S} \ar[d]_{(ϵ,η)_{ψ}} & (E_{c(θ)}, t_{g}r, t_{d}r) \ar[d]^{(ϵ,η)_{θ}} \\ (E_{c(ψ)}, β_{g}, β_{d}) \ar[r]_{S} & (E_{c(θ)}, β_{g}, β_{d})}  (13.2.1)

commute. Pour cela, il suffit que les conditions de \underline{G}-équivariance du foncteur S pour les actions définies par r et r′ ainsi que la compatiblité aux cohérences gauche-droite se déduisent de celles données en (9.2.7) pour β_{g} et (9.3.23) pour β_{d} par post-multiplication de (ϵ, η). Par exemple, pour les actions à droite et pour l’essentiel, on obtient le résultat avec le diagramme suivant

[figure: Y s_{A}^{A}(XJ̃s_{I})χ^{θ}(A,I)θ_{d_{A}}; Π{G(s) \atop A,I}(Y,XJ̃); Φ^{A}; I; Y^{A.}(XJ̃)χ^{ψ}(A,I)s_{A⊗I}θ_{d_{A}}; Φ^{A.}; Y s_{A}^{A}X^{A}(J̃s_{I})χ^{θ}(A,I)θ_{d_{A}}; s(A)_{X}; ^{A}M^{s}; Y^{A.}Xs_{A}^{A}(J̃s_{I})χ^{θ}(A,I)θ_{d_{A}}; Π{G(s) \atop A,I}(Y ^{A.}X,J̃); ^{A}M^{s}; Y^{A.}X^{A.}J̃χ^{ψ}(A,I)s_{A⊗I}θ_{d_{A}}; s(d_{A}); Y s_{A}^{A}X^{A}Ĩχ^{θ}(A,I)θ_{d_{A}}; s(A)_{X}; (δ^{θ}_{A})^{−1}; Y^{A.}Xs_{A}^{A}Ĩχ^{θ}(A,I)θ_{d_{A}}; (δ^{θ}_{A})^{−1}; II; Y^{A}.X^{A.}J̃χ^{ψ}(A,I)ψ_{d_{A}} s_{A}; (δ{ψ \atop A})^{−1}; Y s_{A}^{A}X; Y ⊗s(A)_{X}; Y^{A.}Xs_{A}.]

La commutativité de (I) est obtenue avec la définition Π^{G(s)} (12.2.22), celle de (II) avec la cohérence de Π^{G(s)} aux unités (deuxième diagramme de (12.2.27)). Pour poursuivre, on vérifie que (13.2.1) est cohérent aux 2-morphismes c’est-à-dire que pour toute modification \underline{m} : \underline{s}⟶\underline{s′} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})), le diagramme

[figure: (E_{c(ψ)}, t_{g}r, t_{d}r); S; S′; ⇓ F (m); (ϵ,η)_{ψ}; (E_{c(θ)}, t_{g}r, t_{d}r); (ϵ,η)_{θ}; (E_{c(ψ)}, β_{g}, β_{d}); S; S′; ⇓ F (m); (E_{c(θ)}, β_{g}, β_{d})]  (13.2.2)

de Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(\underline{G}, Cat)) commute. Enfin, on obtient de même les conditions de cohérences aux unités et à la composition des 1-morphismes.

Proposition 13.3. Pour tous objets \underline{θ} et \underline{ψ} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})), le foncteur (12.2.3),

\underline{F}_{\underline{θ},\underline{ψ}} : Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ})⟶Ext(\underline{K}, \underline{G})(\underline{F} (\underline{ψ}), \underline{F} (\underline{θ})),

est une équivalence.

Démonstration. Par construction \underline{F}_{\underline{θ},\underline{ψ}} est clairement fidèle. Montrons que ce foncteur est plein. Soit \underline{μ} : \underline{F} (\underline{s})⟶\underline{F} (\underline{s′}) un 2-morphisme d’extensions. Par (13.0.1), la transformation naturelle μ : S⟶S′ (où S = F(s)) est \underline{G}-équivariante pour les (\underline{G}, \underline{G})-actions sur E_{c(ψ)} et E_{c(θ)} respectivement induites par r′ et r. Ensuite, la composition dans Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(\underline{G}, Cat)) :

[figure: (E_{c(ψ)}, β_{g}, β_{d}); (ϵ,η)_{ψ}^{−1}; (E_{c(ψ)}, t_{g}r′, t_{d}r′); S; S′; ⇓ μ; (E_{c(θ)}, t_{g}r, t_{d}r); (ϵ,η)_{θ}; (E_{c(θ)}, β_{g}, β_{d}),]

structure μ : S⟶S′ en une transformation \underline{G}-équivariante pour les actions β. Par ailleurs, puisque pμ = p′, la composante de μ en un objet (X, A) de E_{c(ψ)} est un Amorphisme et μ est une K-transformation \underline{G}-équivariante pour les actions β. Ainsi, μ : F (s)⟶F (s′) est un morphisme de Bicat(\underline{G}^{op}, Tors_{g}(K^{op}, \underline{G}))(F (ψ), F (θ)). Par (9.3.3), μ est donc l’image d’un morphisme m : s⟶s′ de Bicat(K, Bieq(\underline{G}))(θ, ψ). Explicitement, pour un objet (X, A) de E_{c(ψ)}, le diagramme commutatif de E_{c(θ)} :

[figure: S(X,A); μ_{(X,A)}; S(ϵ_{X} (I,A)); =; ^{X}S(I,A); ϵ_{X} (S(I,A)); ^{X} μ_{(I,A)}; S(r′(X)(I,A)); Φ^{S}; μ; Sr′(X)S(I,A); α_{X}; μμ; r(X)S(I,A); r(X)μ_{(I,A)}; S′(r′(X)(I,A)); Φ^{S′}; S′r′(X)S′(I,A)); α′_{X}; r(X)S′(I,A); S′(X,A); S′(ϵ_{X} (I,A)); =; ^{X}S′(I,A); ϵ_{X} (S′(I,A))]

donne μ_{(X,A)} = ^{X}μ_{(I,A)} (\underline{G} a une unité stricte). La composante en A de m : s⟶s′ est donc donnée par l’isomorphisme m_{A} : s_{A}⟶s′_{A} de \underline{G} tel que (s′_{A}i_{A}^{−1}) ∘ m_{A} soit la première composante de μ_{(I,A)}. Il reste à montrer que m : s⟶s′ est sous-jacente à un morphisme \underline{m} : \underline{s}⟶\underline{s′} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))(\underline{θ}, \underline{ψ}) (12.2.15-12.2.16), tel que \underline{F} (\underline{m}) = \underline{μ}. La condition (12.2.15) de cohérence aux produits, est obtenue en utilisant la cohérence de μ aux contraintes de comparaison de \underline{S} et \underline{S′}. Cela dit, puisque (6.3.2) est localement un isomorphisme, \underline{μ} est l’image par (6.3.2) d’un morphisme \underline{G}(\underline{s})⟶\underline{G}(\underline{s′}) de Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat)(\underline{G}(\underline{ψ}), \underline{G}(\underline{θ})) défini à partir du morphisme G(m) : G(s)⟶G(s′) de Bicat(K^{op}, Cat)(G(ψ), G(θ)) donné par (12.2.28). En particulier, la cohérence au produit de \underline{μ} équivaut à celle de G(m) (12.2.30). A l’objet (I, I) de G_{A} × G_{B}, on obtient avec (12.2.30) la commutativité du diagramme de \underline{G} :

[figure: s_{A} ^{A}s_{B}χ^{θ}(A, B); Π_{A,B}^{s}; m_{A} ^{A}m_{B} 1; χ^{ψ}(A, B)s_{A⊗B}; 1 m_{A⊗B}; s′_{A} ^{A}s′_{B}χ^{θ}(A, B); Π_{A,B}^{s′}; χ^{ψ}(A, B)s′_{A⊗B}]

qui est aussi suffisante pour obtenir la condition de cohérence (12.2.15) cherchée. La condition (12.2.16) de cohérence aux unités est obtenue de façon similaire en utilisant celle de μ.

Montrons à présent l’essentiellement surjectivité. Par la biéquivalence (11.5.1), il suffit de montrer qu’un morphisme d’extensions fibrées, (α, \underline{L}) : \underline{F} (\underline{ψ})⟶\underline{F} (\underline{θ})

\xymatrix{ & \underline{E}_{c(ψ)} \ar[dd]_{\underline{L}} \ar[dr]^{p′} \\ \underline{G} \ar[ur]^{r′} \ar[dr]_{r}^{α ⇓} &  & \underline{K} \\  & _{\underline{E}_{c(θ)}} \ar[ur]_{p}}  (13.3.1)

est dans l’image essentielle de \underline{F}_{\underline{θ},\underline{ψ}}. Cette preuve s’obtient comme précédemment en considérant le caractère \underline{G}-équivariant du foncteur L sous-jacent au \underline{K}-homomorphisme \underline{L}. Par (13.0.1), le foncteur L : E_{c(ψ)}⟶E_{c(θ)} est \underline{G}- équivariant pour les (\underline{G}, \underline{G})-actions induites par r′ et r. La composition dans Bicat(\underline{G}^{op}, Bicat(\underline{G}, Cat))

\xymatrix{(E_{c(ψ)}, β_{g}, β_{d}) \ar[r]^{(ϵ,η)_{ψ}^{−1}} & (E_{c(ψ)}, t_{g}r′, t_{d}r′) \ar[r]^{L} & (E_{c(θ)}, t_{g}r, t_{d}r) \ar[r]^{(ϵ,η)_{θ}} & (E_{c(θ)}, β_{g}, β_{d}),}

rend L \underline{G}-équivariant pour les actions β. Avec (9.3.3), L est donc isomorphe à l’image par F d’un objet

s : θ⟶ψ de Bicat(K, Bieq_{u}(\underline{G}))(θ, ψ).  (13.3.2)

On dispose donc d’un K-morphisme \underline{G}-équivariant pour les actions β : F (s) = S (noté E_{s} en (9.3.22-9.3.23)) et d’une K-transformation \underline{G}-équivariante pour les actions β, μ : L⟹S :

[figure: E_{c(ψ)}; S; L; p′; \underleftarrow{μ}; K .; E_{c(θ)}; p]

L’isomorphisme naturel μ permet de munir le foncteur S d’une structure monoïdale \underline{S} = (S, Φ^{S}) pour laquelle μ devient une transformation monoïdale. Puisque μ est une K-transformation et \underline{L} un \underline{K}-homomorphisme, les images par p des diagrammes de \underline{E}_{c(θ)} :

\xymatrix{L((X,A)(Y,B)) \ar[r]^{Φ^{L}} \ar[dd]_{μ} & L(X,A)L(Y,B) \ar[dd]^{μμ} & L(J̃,I) \ar@{-->}[dr]^{Φo} \ar[dd]_{μ} \\  &  &  & (Ĩ,I) \\ S((X,A)(Y,B)) \ar[r]^{Φ^{S}} & S(X,A)S(Y,B) & S(J̃,I) \ar@{-->}[ur]_{Φo}}

montrent que Φ^{S}((X, A)(Y, B)) et Φ_{o}^{S} sont respectivement un AB-morphisme et un I-morphisme. \underline{S} est ainsi un \underline{K}-homomorphisme. Ensuite, le collage dans grCat : α(μ^{−1}.1) : Sr′⟹Lr′⟹r, donne un isomorphisme naturel ζ : \underline{S}r′⟹r, qui détermine un morphisme d’extensions fibrées isomorphe, via μ, au morphisme (α, \underline{L}) :

[figure: \underline{E}_{c(ψ)}; \underline{S}; \underline{L}; p′; ⇐^{μ}; \underline{G}; r′; r; ⇓ζ ⇓α; \underline{K}.; _{\underline{E}_{c(θ)}}; p]  (13.3.3)

μ est à présent un 2-morphisme d’extension et est donc avec (13.0.1) une transformation (\underline{G}, \underline{G})-équivariante pour les actions données par r et r′.

Pour terminer, montrons que le morphisme s : θ⟶ψ de Bicat(K, Bieq(\underline{G})) défini en (13.3.2) est sous-jacent à un morphisme \underline{s} = (s, Π^{s}, M^{s}) : \underline{θ}⟶\underline{ψ} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq}_{u}(\underline{G})), dont l’image par \underline{F} est le morphisme d’extension (ζ, \underline{S}). On obtiendra ce résultat au lemme (13.7). Puisque (6.3.2) est localement un isomorphisme, le \underline{K}-homomorphisme \underline{S} est l’image par (6.3.2) d’un morphisme

\underline{S} = (G(s), Π^{S}, M^{S}) : \underline{G}(\underline{ψ})⟶\underline{G}(\underline{θ})  (13.3.4)

de Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat). Comme en (12.2.17), le morphisme G(s) de Bicat(K^{op}, Cat) est obtenu avec (9.3.21) par oubli des actions. Comme en (6.2.2) pour le cas cofibré, les contraintes de comparaison et d’unité de \underline{S} sont définies via les modifications :

Π^{S} : T^{θ}.(G(s) × G(s))⟹(G(s)⊗).T^{ψ}  et  M^{S} : (G(s).I).ι^{G(ψ)}⟹ι^{G(θ)}.

Rappelons que la composante en (X, Y) de l’isomorphisme naturel Π_{A,B}^{S},

Π_{A,B}^{S}(X, Y) : ((Xs_{A}) ^{A}(Y s_{B}))χ^{θ}(A, B)⟶((X ^{A.}Y)χ^{ψ}(A, B))s_{A⊗B} ,

donne avec l’isomorphisme de E_{c(θ)} :

Φ^{S}((X, A), (Y, B) = ((1 i_{A⊗B}^{−1}) ∘ (Π_{A,B}^{S}(X, Y))^{−1}, 1_{A⊗B}),  (13.3.5)

la contrainte de comparaison de \underline{S} en ((X, A), (Y, B)). L’isomorphisme M : J̃s_{I}⟶Ĩ, unique composante de la modification M^{S}, donne la contrainte d’unité de \underline{S} :

Φ_{o}^{S} = ((1 i_{i}^{−1}) ∘ M, 1_{I}) : (J̃s_{I}, I)⟶(Ĩ, I) .  (13.3.6)

Lemme 13.4. La famille d’isomorphismes, (A, B) objet de K × K,

Π_{A,B}^{s} := Π_{A,B}^{S}(I, I) : (s_{A} ^{A}s_{B})χ^{θ}(A, B)⟶χ^{ψ}(A, B)s_{A⊗B}

représente les composantes d’une modification inversible : Π^{s} : χ^{ψ}.(s⊗)⟹(s⊗s).χ^{θ} de Bicat(K × K, Bieq_{u}(\underline{G})) (voir 12.2.5). De plus, la modification Π^{G(s)} définie par Π^{s} avec (12.2.18) et la modification Π^{S} donnée par (13.3.4) sont égales.

Démonstration. Les pseudo-isomorphismes ϵ (13.1.1), η (13.1.2) et la cohérence de S aux actions via ϵ et η, donnent la commutativité de diagramme de E_{c(θ)} (le symbole ≈ est utilisé pour signifier la cohérence de S aux actions) :

\xymatrix{S((X,A)(Y,B)) \ar[r]^{Φ^{S}} & S(X,A)S(Y,B) \ar[rr]^{≈} &  & S(X,A)[^{Y} S(I,B)] \\ S[(X,A)(r′(Y)(I,B))] \ar[r]^{Φ^{S}} \ar[d]_{∼} \ar[u]^{S(ϵ_{Y} (I,B))} & S(X,A)S(r′(Y)(I,A)) \ar[r]^{Φ^{S}} \ar[u]^{S(ϵ_{Y} (I,B))} & S(X,A)(Sr′(Y)S(I,A)) \ar[r]^{ζ_{Y}} \ar[d]_{∼} & S(X,A)(r(Y)S(I,B)) \ar[d]^{∼} \ar[u]_{ϵ_{Y} (S(I,A))} \\ S[((X,A)r′(Y))(I,B)] \ar[r]_{Φ^{S}} \ar[d]_{S(η_{Y} (X,A))} & S((X,A)r′(Y))S(I,B) \ar[r]_{Φ^{S}} \ar[d]_{S(η_{Y} (X,A))} & (S(X,A)Sr′(Y))S(I,A)) \ar[r]_{ζ_{Y}} & S(X,A)r(Y))S(I,B) \ar[d]^{η_{Y} (S(X,A))} \\ S((X^{A.}Y ,A)(I,B)) \ar[r]_{Φ^{S}} & S(X^{A.}Y ,A)S(I,B) \ar[rr]_{≈} &  & [(S(X,A))^{Y} ]S(I,B)}

dont le parcours extérieur est le diagramme commutatif (les contraintes d’unité i_{AB} ainsi que les contraintes d’associativité relatives à \underline{G} sont omises) :

\xymatrix{S((X,A)(Y,B)) \ar[r]^{Φ^{S}} \ar[d]_{=} & S(X,A)S(Y,B) \ar[r]^{=} & (((Xs_{A})^{A}(Y s_{B}))χ^{θ}(A,B), AB) \ar[d]^{(ϕ^{A}, 1_{AB})} \\ S((X^{A.}Y ,A)(I,B)) \ar[r]_{Φ^{S}} & S(X^{A.}Y ,A)S(I,B) \ar[r]_{(s(A){−1 \atop Y}, 1_{AB})} & ([((Xs_{A})^{A}Y)^{A}s_{B}]χ^{θ}(A,B), AB).}

En explicitant les morphismes Φ^{S} intervenant dans le diagramme précédent, on obtient, pour tous objets (A, B) de K × K et (X, Y) de G × G, la commutativité du diagramme de G (voir aussi (12.2.22) p. 508) :

\xymatrix{[(Xs_{A})^{A}(Y s_{B})]χ^{θ}(A, B) \ar[r]^{Π_{A,B}^{S}(X,Y)} \ar[d]_{Φ^{A}} & [(X^{A.}Y)χ^{ψ}(A, B)]s_{A⊗B} \\ Xs_{A}^{A}Y^{A}s_{B}χ^{θ}(A, B) \ar[r]_{s(A)_{Y}} & X^{A.}Y s_{A}^{A}s_{B}χ^{θ}(A, B) . \ar[u]_{(Π_{A,B}^{s})^{−1}}}  (13.4.1)

Par ailleurs, le diagramme commutatif de E_{c(θ)},

[figure: S[((I,A)(I,B))^{X}]; S[η_{X} ((I,A)(I,B))]; S((I,A)(^{B.}X,B)); Φ^{S}; S(I,A)S(^{B.}X,B); S[((I,A)(I,B))r′(X)]; ∼; 1Φ^{S}; S[(I,A)((I,B)r′(X))]; Φ^{S}; S[1η_{X} (I,B)]; S(I,A)S((I,B)r′(X)); Φ^{S}; 1S(η_{X} (I,B)); S((I,A)(I,B))Sr′(X); Φ^{S}; 1ζ_{X}; (S(I,A)S(I,B))Sr′(X); ∼; 1ζ_{X}; S(I,A)(S(I,B)Sr′(X)); 1ζ_{X}; S((I,A)(I,B))r(X); Φ^{S}; 1η_{X}; (S(I,A)S(I,B))r(X); ∼; 1η_{X}; S(I,A)(S(I,B)r(X)); 1η_{X}; [S((I,A)(I,B))]^{X}; [Φ^{S}]^{X}; [S(I,A)S(I,B)]^{X}; S(I,A)[S(I,B)]^{X}]

donne en utilisant la cohérence de S aux deux (\underline{G}, \underline{G})-actions, le diagramme commutatif de E_{c(θ)} :

\xymatrix{((χ^{ψ}(A,B)^{(AB).}X)s_{AB}, AB) \ar[r]^{(χ{ψ \atop X} , 1_{AB})} & (^{A.}(^{B.}X)χ^{ψ}(A,B)s_{AB}, AB) \ar[r]^{Φ^{S}} & (s_{A}^{A}(^{B.}Xs_{B})χ^{θ}(A,B), AB) \\ ((χ^{ψ}(A,B)s_{AB})^{AB}X, AB) \ar[r]_{[Φ^{S}]^{X}} \ar[u]^{(s(AB)_{X} , 1_{AB})} & (s_{A}^{A}s_{B}χ^{θ}(A,B)^{AB}X, AB) \ar[r]_{((Φ^{A})^{−1}χ_{X} , 1_{AB})} & (s_{A}^{A}(s_{B}^{B}X)χ^{θ}(A,B), AB) . \ar[u]_{(s(B)_{X} , 1_{AB})}}

Enfin, par la commutativité de (13.4.1) et en explicitant les morphismes Φ^{S} et [Φ^{S}]^{X} intervenant dans ce dernier diagramme, on obtient la commutativité du diagramme de G (voir (12.2.10)) :

\xymatrix{χ^{ψ}(A,B)s_{A⊗B}^{AB}X \ar[r]^{s(A⊗B)_{X}} \ar[d]_{Π{s \atop A,B}} & χ^{ψ}(A,B)^{(AB).}Xs_{A⊗B} \ar[r]^{χ{ψ \atop X}} & ^{A.}(^{B.}X)χ^{ψ}(A,B)s_{A⊗B} \ar[d]^{Π{s \atop A,B}} \\ s_{A}^{A}s_{B}χ^{θ}(A,B)^{AB}X \ar[r]_{χ^{θ}_{X}} & s_{A}^{A}s_{B}^{A}(^{B}X)χ^{θ}(A,B) \ar[r]_{(s(A)⊗s(B))_{X}} & ^{A.}(^{B.}X)(s_{A}^{A}s_{B})χ^{θ}(A,B).}

(13.4.2)

pour tous objets (A, B) de K × K et X de G. Terminons la démonstration du lemme (13.4). Le diagramme (13.4.2) montre que l’on a une famille de modifications de Bieq(\underline{G}) : Π_{A,B}^{s}, (A, B) objet de K × K (voir 12.2.9). Le diagramme (13.4.1) définit Π_{A,B}^{S} comme en (12.2.20 p. 508 ) et la cohérence de Π_{A,B}^{S} équivaut donc à celle de Π_{A,B}^{s} (une preuve rapide pour la cohérence de Π_{A,B}^{s} consiste à utiliser celle de Π_{A,B}^{S} exprimée à l’objet (I, I)). Enfin, il est clair avec (13.4.2) et (13.4.1) que Π_{A,B}^{S} = Π_{A,B}^{G(s)}.

Lemme 13.5. L’isomorphisme M = J̃s_{I}⟶Ĩ donné par la modification M^{S} est la composante d’une modification inversible : M^{s} : ι^{ψ}.(s ∘ I)⟹ι^{θ} de Bicat(1l, Bieq_{u}(\underline{G})) (voir (12.2.6), (12.2.12) et (12.2.13)). La modification M^{G(s)} définie avec (12.2.19) et la modification M^{S} donnée par (13.3.4) sont égales.

Démonstration. Il suffit d’établir la commutativité du diagramme (12.2.13). En utilisant (13.3.6), cette commutativité est obtenue à partir du diagramme commutatif de E_{c(θ)},

[figure: ≈; [S(J̃,I)]^{X}; Φ^{X}_{o}; (Ĩ,I)^{X}; I; ^{X}(Ĩ,I); ^{X}[S(J̃,I)]; ^{X} Φo; ≈; S(J̃,I)r(X); Φo 1; η_{X}; (Ĩ,I)r(X); (Δ,d)(Γ,g); η_{X}; r(X)(Ĩ,I); ϵ_{X}; r(X)S(J̃,I); 1 Φo; ϵ_{X}; S(J̃,I)Sr′(X); Φo 1; ζ_{X}; (Ĩ,I)Sr′(X); (Δ,d)(Γ,g); ζ_{X}; Sr′(X)(Ĩ,I); ζ_{X}; Sr′(X)S(J̃,I); 1 Φo; ζ_{X}; S[(J̃,I)r′(X)]; S(Γ,g); Φ^{S}; Sr′(X); (Γ,g); Sr′(X); (Δ,d); S(Δ,d); S[r′(X)(J̃,I)]; Φ^{S}; S[(J̃,I)^{X}]; I; S(η_{X}); S[^{X}(J̃,I)]; S(ϵ_{X})]

la suite est laissée au lecteur

Lemme 13.6. Les modifications Π^{s} (13.4) et M^{s} (13.5) sont cohérentes aux sens de (12.2.7)-(12.2.8) et définissent ainsi un morphisme \underline{s} = (s, Π^{s}, M^{s}) : \underline{θ}⟶\underline{ψ} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq}_{u}(\underline{G})). De plus, le morphisme \underline{G}(\underline{s}) que \underline{s} définit avec (12.2.19) et le morphisme \underline{S} donné par (13.3.4) sont égaux.

Démonstration. Les conditions de cohérences (12.2.7) et (12.2.8) (voir aussi (12.2.14)) sont respectivement dues à la cohérence à l’associativité de la contrainte de comparaison (13.3.5) et à la cohérence de la contrainte d’unité (13.3.6) de \underline{S}. Cela dit, par (13.3.4) la cohérence des contraintes de \underline{S} est donnée par celle des modifications Π^{S} et M^{S} c’est-à-dire des modifications Π^{G(s)} et M^{G(s)} par les lemmes (13.4) et (13.5). La cohérence à l’associativité de Π^{G(s)} (12.2.26) donne pour X = Y = Z = I le diagramme (12.2.14), exprimant la cohérence à l’associativité de Π^{s} (12.2.7). De même (12.2.27) donne pour X = I la cohérence de M^{s} et Π^{s} aux unités (12.2.8). Il est clair que le morphisme \underline{G}(\underline{s}) image de \underline{s} = (s, Π^{s}, M^{s}) par (12.2.19) est le morphisme \underline{S} donné par (13.3.4).

Lemme 13.7. Le morphisme d’extension (ζ, \underline{S}) (13.3.3) est l’image par \underline{F} du morphisme \underline{s} = (s, Π^{s}, M^{s}) donné par (13.6).

Démonstration. Par (13.3.4) et (13.6), \underline{S} est l’image par (6.3.2) du morphisme \underline{G}(\underline{s}) = (G(s), Π^{G(s)}, M^{G(s)}), ce qui donne (12.2.32). Il reste donc à montrer que ζ : \underline{S}r′⟹r est de la forme (12.2.34). Ce dernier résultat est obtenu avec la commutativité du diagramme de E_{c(θ)} :

[figure: S(^{X}(J̃,I)); S(ϵ_{X} (J̃,I)); ≈; ^{X}S(J̃,I); ϵ_{X} (S(J̃,I)); ^{X} Φ^{S}_{o}; S(r′(X)(J̃,I)); Φ^{S}; Sr′(X)S(J̃,I); ζ_{X}; 1Φ^{S}_{o}; r(X)S(J̃,I); r(X)Φ^{S}_{o}; S(r′(X)); (Δ,d); I  S(Δ,d); Sr′(X)(Ĩ,I); ζ_{X}; II; r(X)(Ĩ,I); Sr′(X); ζ_{X}; ^{X}(Ĩ,I) ,; ϵ_{X} (Ĩ,I)]

X objet de G. Les commutativités de (I) et (II) s’obtiennent en utilisant la définition des morphismes (Δ, d) et ϵ_{X}. Ce qui termine la démonstration de l’essentielle surjectivité et de l’équivalence locale (13.3).

13.2. La biessentielle surjectivité

Proposition 13.8. L’homomorphisme \underline{F} : Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G}))⟶Ext(\underline{K}, \underline{G})^{op} de (12.0.1) est biessentiellement surjectif .

Nous avons vu en (11.5.1) qu’une extension quelconque ((r, λ), p) est équivalente à une extension fibrée (11.2.3)

\xymatrix{ & \underline{H} \ar[dd]_{\underline{S}} \ar[dr]^{p} \\ \underline{G} \ar[ur]^{r} \ar[dr]_{s}^{α ⇓} &  & \underline{K} , \\  & _{\underline{E}_{p}} \ar[ur]_{π}}  (13.8.1)

dont les fibres strictes sont les fibres homotopiques de l’extension ((r, λ), p). Il suffit donc de montrer que cette extension fibrée (s, π) est dans l’image biessentielle de \underline{F}.

Proposition 13.9. Une extension ((r, λ), p) détermine avec les fibres homotopiques de p une K-fibration en \underline{G}^{op}-bitorseurs dont l’image par (9.3.2) admet pour fibration sous-jacente celle obtenue avec l’extension (s, π).

Démonstration. Rappelons que le morphisme s est la composée \underline{G} ⟶^{q} N(p) ⟶^{i} \underline{E}_{p} où q = (r, λ) et que la fibration monoïdale π : \underline{E}_{p}⟶\underline{K} provient du pseudo-foncteur monoïdal \underline{G}_{p} défini sur \underline{K}^{op} par (11.5.2). Pour chaque objet A de K, le \underline{G}-torseur à gauche associé à la fibre homotopique H_{(A)} de p au dessus de A,

α_{A} : \underline{G}⟶Eq(H_{(A)}),  (13.9.1)

est défini en un objet X de G par l’équivalence : ^{X}(−) : H_{(A)} ⟶^{t_{g}q(X)} H_{(I⊗A)} ⟶^{F_{g_{A}}} H_{(A)}, où t_{g} est la translation à gauche dans \underline{E}_{p}. Pour un objet (Y, f) de H_{(A)}, on

a donc ^{X}(Y, f) = (r(X)Y, λ_{X} ∗ f) où λ_{X} ∗ f = p(r(X)Y) ⟶^{Φ^{p}} pr(X) ⊗ p(Y) ⟶^{λ_{X}f}

I ⊗A ⟶^{g_{A}} A. Avec le pseudo-foncteur monoïdal \underline{G}_{p} (11.5.2), cette action correspond au foncteur :

G ×H_{(A)} ⟶^{q×1} H_{(I)}×H_{(A)} ⟶^{T_{I,A}} H_{(I⊗A)} ⟶^{F_{g_{A}}} H_{(A)}.

La contraintes d’unité de cette action est obtenue avec les collages dans Cat :

[figure: G ×H_{(A)}; q×1; ⇓ Φ_{o}^{q}; H_{(I)}×H_{(A)}; T_{I,A}; ⇓ G_{A}; H_{(IA)}; F_{g_{A}}; I×H_{(A)}; =; I×H_{(A)}; ∼; H_{(A)}.]

De même, la contrainte de comparaison est obtenue avec le collage :

[figure: G×G×H_{(A)}; q×q×1; ⊗×1; ⇑ Φ^{d}×1; H_{(I)}×H_{(I)}×H_{(A)}; 1×T_{I,A}; T_{I,I}×1; ⇑ α_{I,I,A}; H_{(I)}×H_{(IA)}; 1×Fg; T_{I,IA}; H_{(I)}×H_{(A)}; T_{I,A}; H_{(II)}×H_{(A)}; T_{II,A}; Fg×1; H_{((II)A)}; Fa; F_{g1}; H_{(I(IA))}; F_{1×g}; Fg; H_{(IA)}; Fg; G×H_{(A)}; q×1; H_{(I)}×H_{(A)}; T_{I,A}; H_{(IA)}; H_{(IA)}; Fg; H_{(A)}.]

Cette contrainte exprimée aux objets (X, Y) de G×G et (Z, f) de H_{(A)}, correspond à l’isomorphisme de H_{(A)} : a ∘ Φ^{r} : ^{(Y X)}(Z, f)⟶^{Y} (^{X}(Z, f)). Par (11.3), le choix pour chaque objet A de K d’un objet r_{A} = (σ_{A}, λ_{A}) de H_{(A)} définit une équivalence,

O_{A} : \underline{G}⟶H_{(A)}, X ↦ ^{X}r_{A},  (13.9.2)

et (H_{(A)}, α_{A}) est ainsi un \underline{G}-torseur à gauche. L’action à droite sur ce \underline{G}-torseur,

β_{A} : \underline{G}^{op}⟶Eq\underline{G}(α_{A}),  (13.9.3)

est défini en un objet Z de G par l’équivalence équivariante pour l’action à gauche,

(−)^{Z} : H_{(A)} ⟶^{t_{d}q(Z)} H_{(A⊗I)} ⟶^{F_{d{−1 \atop A}}} H_{(A)}.

où t_{d} est la translation à droite dans \underline{E}_{p}. L’équivariance pour l’action à gauche, en d’autres termes la cohérence gauche-droite, est obtenue avec le collage dans Cat :

[figure: G×H_{(A)}×G; q×1×q; 1×β; H_{(I)}×H_{(A)}×H_{(I)}; T_{I,A}×1; 1×T_{A,I}; ⇓ α_{I,A,I}; H_{(IA)}×H_{(I)}; Fg×1; T_{IA,I}; H_{(A)}×H_{(I)}; T_{A,I}; H_{(I)}×H_{(AI)}; T_{I,AI}; 1×F_{d{−1 \atop A}}; H_{(I(AI))}; F_{1d{−1 \atop A}}; H_{((IA)I)}; Fa; F_{g×1}; F_{d{−1 \atop IA}}; H_{(AI)}; F_{d{−1 \atop A}}; G×H_{(A)}; q×1; H_{(I)}×H_{(A)}; T_{I,A}; H_{(IA)}; H_{(IA)}; Fg; H_{(A)}]

Les contraintes de β sont définies de la même façon que celles de l’action à gauche. Enfin, pour chaque objet A de K, (H_{(A)}, α_{A}, β_{A}) est un bitorseur puisque le foncteur O′_{A} : \underline{G}⟶H_{(A)}, Z ↦ r_{A}^{Z} est une équivalence. La structure de K-fibration en bitorseurs est facile à obtenir. En effet, pour tout morphisme f : A⟶B de \underline{K}, le foncteur F_{f^{−1}} : H_{(B)}⟶H_{(A)} (11.5.2) est strictement équivariant pour les deux actions puisque que l’on a pour tout objet X de \underline{G} F_{f^{−1}} ∘ α_{B}(X) = α_{A}(X) ∘ F_{f^{−1}} et F_{f^{−1}} ∘ β_{B}(X) = β_{A}(X) ∘ F_{f^{−1}}. De même les contraintes strictes F_{gf} = F_{g}F_{f} et F_{1} = 1 sont clairement \underline{G}-équivariantes. On dispose donc d’une K-fibration en \underline{G}^{op}-bitorseurs c’est-à-dire d’un objet, ici homomorphisme strict, de Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op})). Enfin, il est clair que l’image de cet objet par (9.3.2) admet pour fibration sous-jacente celle obtenue avec l’extension (s, π) : E_{p} ⟶^{π} K

La construction qui vient d’être donnée est fonctorielle, en poursuivant on montre que l’on dispose d’un homomorphisme (à comparer ce avec (13.0.1) où seul l’homomorphisme r était utilisé):

Ext(\underline{K}, \underline{G})⟶Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op})).  (13.9.4)

Proposition 13.10. Modulo le choix, pour chaque objet A de K, d’un objet r_{A} = (σ_{A}, λ_{A}) de H_{(A)} et d’une \underline{G}-équivalence quasi inverse O_{A}^{∗} de la \underline{G}-équivalence (13.9.2), une extension ((r, λ), p) détermine un objet de Bicat(K, Bieq(\underline{G})) dont l’image par (9.3.3) admet une fibration sous-jacente équivalente à celle obtenue avec l’extension (s, π) de (13.8.1).

Démonstration. Par la proposition (13.9) et la biéquivalence (9.3.1), ce résultat est immédiat puisque de tels choix pour chaque objet de Bitors(\underline{G}^{op}) détermine une biéquivalence quasi-inverse de (8.4) et donc de (9.3.1).

Explicitons cette proposition. Comme en (8.2.1)-(8.2.3) pour les torseurs à droite, de tels choix déterminent une famille de biéquivalences de \underline{G} (8.2.6),

(θ(A), Φ^{A}) : \underline{G}⟶\underline{G}, Z ↦ ^{A}Z; A objet de K,  (13.10.1)

où^{A}Z := O_{A}^{∗}((r_{A})^{Z}). La contrainte de comparaison Φ^{A} est obtenue à partir de la \underline{G}- transformation η : 1_{H_{(A)}}⟹O_{A}O_{A}^{∗} d’expression en (r_{A})^{Z} l’isomorphisme fonctoriel en Z :

(r_{A})^{Z} ⟶^{η_{Z}} ^{^{A}Z}(r_{A}).  (13.10.2)

Cette contrainte est définie aux objets X et Y de G par l’unique isomorphisme de \underline{G} défini par la composition dans H_{(A)}

\xymatrix{(r_{A})^{(XY )} \ar[rrrr]^{η_{XY}} \ar[d]_{Φ^{β}} &  &  &  & ^{^{A}(XY )}r_{A} \ar@{-->}[d]^{^{Φ^{A}(X,Y )}r_{A}} \\ ((r_{A})^{X})^{Y} \ar[r]_{(η_{X})^{Y}} & (^{^{A}X}r_{A})^{Y} \ar[r]_{∼} & ^{^{A}X}((r_{A})^{Y} ) \ar[r]_{^{^{A}X} (η_{Y} )} & ^{^{A}X}(^{^{A}Y} r_{A}) \ar[r]_{(Φ^{α})^{−1}} & (^{^{A}X}^{^{A}Y} )r_{A}.}

Comme en (8.2.7), on dispose d’une famille d’équivalences de Bicat(\underline{G}^{op}, Tors_{g}(\underline{G}))

O_{A} : T_{d} ∘ θ(A)⟹β_{A} A objet de K,  (13.10.4)

(notée aussi O_{A} : (G_{tr}, θ(A))⟹(H_{(A)}, α_{A}, β_{A}) dans la suite), de composante la \underline{G}-équivalence (13.9.2) et d’expression pour un objet Z de G, la \underline{G}-transformation

O_{Z} : O_{A} ∘ t_{d}(^{A}Z)⟹β_{A}(Z) ∘ O_{A}  (13.10.5)

où pour un objet X de G , O_{Z}(X) : ^{X ^{A}Z}r_{A} ≈ ^{X}(^{^{A}Z}r_{A}) ⟶^{^{X}(η_{Z})^{−1}} ^{X}(r_{A}^{Z}) ≈

(^{X}r_{A})^{Z}. Ensuite, pour un morphisme f : A⟶B de K, l’objet de G

θ_{f} = O_{A}^{∗}(F_{f^{−1}}(r_{B}))  (13.10.6)

et l’isomorphisme de H_{(A)}

F_{f^{−1}}(r_{B}) ⟶^{η_{f}} ^{θ_{f}} (r_{A})  (13.10.7)

donné par la G-transformation η : 1_{H_{(A)}}⟹O_{A}O_{A}^{∗} exprimée en F_{f^{−1}}(r_{B}), donnent une modification de Tors_{g}(\underline{G})

[figure: G; t_{d}(θ_{f}); O_{B}; ⇓ O_{f}; G; O_{A}; H_{(B)}; F_{f^{−1}}; H_{(A)} ,]  (13.10.8)

où, O_{f}(X) : ^{Xθ_{f}} (r_{A}) ≈ ^{X}(^{θ_{f}} (r_{A})) ⟶^{^{X}(η_{f})^{−1}} ^{X}(F_{f^{−1}}(r_{B})) = F_{f^{−1}}(^{X}r_{B}).

Pour deux morphismes f : A⟶B et g : B⟶C de K, l’unique isomorphisme de G,

C_{f,g} : θ_{gf}⟶θ_{g}θ_{f},  (13.10.9)

donné par la composition dans H_{(A)}

\xymatrix{F_{(gf)^{−1}} (r_{C}) \ar[rrr]^{η_{gf}} \ar[d]_{F_{f^{−1}} (ηg)} &  &  & ^{θ_{gf}} (r_{A}) \ar@{-->}[d]^{^{C_{f,g}} (r_{A})} \\ F_{f^{−1}} (^{θg} (r_{B})) \ar[r]^{=} & ^{θg} (F_{f^{−1}} (r_{B})) \ar[r]^{^{θg} (η_{f})} & ^{θg} (^{θ_{f}} (r_{B})) \ar[r]^{∼} & ^{(θg θ_{f})}(r_{A}) ,}

définit les contraintes de comparaison (9.2.2) d’un objet θ de Bicat(K, \underline{G}). L’image de cet objet par (9.2.1) donne une K-fibration \underline{G}-torseurs. Enfin, La modification (13.10.8) est la composante en f d’une équivalence (notée par ces composantes)

O_{−} : G⟶H_{−} de Bicat(K^{op}, Tors_{g}(\underline{G}))  (13.10.10)

entre cette dernière K-fibration en \underline{G}-torseurs et celle définie par l’extension (s, π).

Lemme 13.11. Avec un choix approprié des \underline{G}-équivalences quasi-inverse O_{A}^{∗}, les équivalences θ(A) ainsi que l’objet θ de Bicat(K, \underline{G}) qui vient d’être défini peuvent être rendus stricts sur les unités. Enfin, on peut aussi obtenir θ(I) = 1\underline{G}.

Démonstration. On note Φ_{0}^{α_{A}} : α_{A}(I)⟹1_{H_{(A)}} et Φ_{0}^{β_{A}} : β_{A}(I)⟹1_{Tors(α_{A})} les contraintes d’unité relatives aux actions α_{A} et β_{A}. Le choix Φ_{0}^{α_{A}}(r_{A}) ∘ η_{I} = Φ_{0}^{β_{A}}(r_{A}) (13.10.2) donne ^{A}I = O_{A}^{∗}((r_{A})^{I}) = I (13.10.1) ainsi qu’une gr-équivalence θ(A) stricte sur les unités. Le choix η_{1_{A}} = (Φ_{0}^{α_{A}}(r_{A}))^{−1} (13.10.7) donne θ_{1_{A}} = O_{A}^{∗}(r_{A})) = I (13.10.6) ainsi qu’une contrainte d’unité stricte pour l’homomorphisme θ : K⟶\underline{G} (9.2.2). Enfin, on choisit r_{I} = (I, Φ_{o}^{p}), les morphismes de H_{(I)} donnés par les contraintes d’unité de H : g_{r(X)} : (r_{I})^{X}⟶q(X) et d_{r(X)} : q(X)⟶^{X}(r_{I}) permettent de choisir pour tout objet X de G distinct de I : η_{X} = d_{r(X)} ∘ g_{r(X)} : (r_{I})^{X}⟶^{X}(r_{I}); on obtient alors θ(I) = (1_{G}, 1) = 1\underline{G}.

Poursuivons l’explicitation de (13.10). Soit f : A⟶B un morphisme de K, pour un objet Z de G le diagramme de H_{(A)} (les cohérences gauche-droite sont omises)

\xymatrix{(F_{f^{−1}}(r_{B}))^{Z} \ar[r]^{(η_{f})^{Z}} \ar[d]_{=} & ^{θ_{f}} (r_{A})^{Z} \ar[r]^{^{θ_{f}} (η_{Z})} & ^{θ_{f}^{A}Z}(r_{A}) \ar@{-->}[d]^{^{θ(f)_{Z}} (r_{A})} \\ F_{f^{−1}}((r_{B})^{Z}) \ar[r]^{F_{f^{−1}} (η_{Z})} & ^{^{B}Z}(F_{f^{−1}}(r_{A})) \ar[r]^{^{^{B} Z}η_{f}} & ^{^{B}Z}^{θ_{f}} (r_{A})}

définit une famille d’isomorphismes de G, θ(f)_{Z} : θ_{f}^{A}Z⟶^{B}Zθ_{f}, naturels en Z. Celle-ci est cohérente dans \underline{G} (9.3.7)-(9.3.8). On obtient ainsi une famille de pseudoéquivalences de Bieq(\underline{G}) (9.3.5),

θ(f) : θ(A)⟶θ(B), f : A⟶B morphisme de K,  (13.11.1)

cohérentes dans K (9.3.10) via les contraintes définies par les isomorphismes (13.10.9). Ceci termine la définition de l’objet de Bicat(K, Bieq(\underline{G})) de la précédente proposition. Pour les choix du lemme (13.11), cet objet est alors un homomorphisme

(θ, C, 1) de Bicat(K, Bieq_{u}(\underline{G}))  (13.11.2)

pour lequel θ(I) = 1\underline{G}. Pour finir, indiquons que la \underline{G}-transformation (13.10.8) est, pour un morphisme f fixé,la composante d’une (\underline{G}, \underline{G})-transformation c’est-à-dire d’une modification de Bicat(\underline{G}^{op}, Tors_{g}(\underline{G})) d’expression en Z le cube de Tors_{g}(\underline{G})

[figure: G; O_{B}; t_{d}(^{B}Z); t_{d}(θ_{f}); ⟸^{t(θ(f){−1 \atop Z})}; G; t_{d}(θ_{f}); O_{B}; G; O_{A}; t_{d}(^{A}Z); G; O_{A}; H_{(B)}; F_{f^{−1}}; β(Z); H_{(B)} .; F_{f^{−1}}; H_{(A)}; β_{A}(Z); H_{(A)}; O_{Z}; O_{Z}; O_{f}; O_{f}]  (13.11.3)

La cohérence à la composition dans K de ces modifications implique que ce cube est l’expression en f d’une équivalence de Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op})) (notée par ces composantes et comme en (13.10.10) par abus)

O_{−} : G⟶H_{−} de Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op}))  (13.11.4)

de composante aux objets les équivalences définies en (13.10.4). L’image par (9.3.2) de cette équivalence est une K-équivalence équivariante pour les actions

\xymatrix{E_{c(θ)} \ar[dd]_{O} \ar[dr]^{p} \\  & K. \\ E_{p} \ar[ur]_{π}}  (13.11.5)

Proposition 13.12. L’objet (θ, C, 1) de Bicat(K, Bieq_{u}(\underline{G})) défini en (13.11.2) est sous-jacent à un objet \underline{θ} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})) dont l’image \underline{F} (\underline{θ}) par (13.8) est équivalente dans Ext(\underline{K}, \underline{G}) à l’extension (s, π) de (13.8.1).

Démonstration. On fait les choix du lemme (13.11). La preuve de cette proposition se déroule comme suit. On dispose de l’équivalence de Bicat(K^{op}, Cat)

O : G(θ)⟶G_{p}  (13.12.1)

déduite de l’équivalence (13.11.4) de Bicat(K^{op}, Bitors(\underline{G}^{op})) par oubli des actions. Le pseudo-foncteur G(θ) est défini comme en PS1 (p. 496) et le pseudo-foncteur G_{p} est obtenu de \underline{G}_{p} (11.5.2 p. 488) par oubli de la structure monoïdale. Par le lemme (5.7, p. 460), on ` ` transporte´´ sur G le pseudo-foncteur monoïdal \underline{G}_{p}. On obtient ainsi un pseudo-foncteur monoïdal \underline{G}(\underline{θ}) et une équivalence dans Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat)

(O, Π, M) : \underline{G}(\underline{θ})⟶\underline{G}_{p}.  (13.12.2)

Par la \underline{G}-équivariance des équivalences O_{−} : G⟶H_{(−)} (13.11.4), le pseudofoncteur monoïdal \underline{G}(\underline{θ}) sera en fait l’image par (12.0.2 p. 489) d’un objet \underline{θ} de Bimon(\underline{K^{op}}, Bieq_{u}(\underline{G})). Enfin, l’équivalence des pseudo-foncteurs (O, Π, M) précédente donnera l’équivalence dans Ext(\underline{K}, \underline{G}) cherchée.

Explicitons cette preuve. Pour commencer, il faut remarquer la \underline{K}-fibration monoïdale π de (13.8.1) ou si l’on préfère le pseudo-foncteur monoïdal \underline{G}_{p} (11.5.2 p. 488) est cohérent aux actions. Plus précisésent, pour (A, B) un objet de K×K et pour tous objets (u, v) de H_{(A)}×H_{(B)} et X de G, les isomorphismes de H_{(AB)}

a_{−} : (T_{A,B}(u, v))^{X} ⟶ T_{A,B}(u, v^{X}), a_{−}^{−1} : T_{A,B}(u,^{X}v) ⟶ T_{A,B}(u^{X}, v),
a_{−} : T_{A,B}(^{X}u, v) ⟶ ^{X}T_{A,B}(u, v).

sont naturels en u, v et X et cohérents, ce dernier point exprimant par exemple, pour le premier isomorphisme la commutativité des diagrammes suivants :

\xymatrix{(T_{A,B}(u, v))^{(XY)} \ar[d]_{∼} \ar[rr]^{∼} &  & T_{A,B}(u, v^{(XY)}) \ar[d]^{∼} \\ ((T_{A,B}(u, v)^{X})^{Y}) \ar[r]^{∼} & (T_{A,B}(u, v^{X}))^{Y} \ar[r]^{∼} & T_{A,B}(u, (v^{X})^{Y})}

(13.12.3)

\xymatrix{(T_{A,B}(u, v))^{I} \ar@{-->}[dr]_{∼} \ar[rr]^{∼} &  & T_{A,B}(u, v^{I}) \ar[dl]^{∼} \\  & (T_{A,B}(u, v))}

Lemme 13.13. Soient (A, B) un objet de K×K et X un objet de G. La famille d’isomorphismes T_{X} de H_{(AB)} définie via les isomorphismes η_{X} de (13.10.2) par la composition dans H_{(AB)}

\xymatrix{(T_{A,B}(r_{A}, r_{B}))^{X} \ar@{-->}[rrr]^{T_{X}} \ar[d]_{∼} &  &  & ^{^{A}(^{B} X)}T_{A,B}(r_{A}, r_{B}) \\ T_{A,B}(r_{A}, (r_{B})^{X}) \ar[r]^{T_{A,B} (1,η_{X})} & T_{A,B}(r_{A}, ^{^{B} X}r_{B}) \ar[r]^{∼} & T_{A,B}((r_{A})^{^{B} X}, r_{B}) \ar[r]^{T_{A,B} (η_{^{B} X} ,1)} & T_{A,B}(^{^{A}(^{B} X)}r_{A}, r_{B}) \ar[u]^{∼}}

est naturelle en X et cohérente à la structure monoïdale de \underline{G}. De plus, l’objet de \underline{G}

χ(A, B) := O_{(AB)}^{∗}(T_{A,B}(r_{A}, r_{B}))

et la famille d’isomorphismes de \underline{G}

χ_{X} : χ(A, B) ^{AB}X⟶^{A}(^{B}X)χ(A, B), X objet de G,  (13.13.1)

défine par la composée dans H_{(AB)}, via la G-transformation

η  :  1_{H_{(AB)}}⟹O_{(AB)}O_{(AB)}^{∗} exprimée en T_{A,B}(r_{A}, r_{B}), η_{A,B}  :

T_{A,B}(r_{A}, r_{B})⟶^{χ(A,B)}r_{AB},

\xymatrix{(T_{A,B}(r_{A}, r_{B}))^{X} \ar[r]^{(η_{A,B})^{X}} \ar[d]_{T_{X}} & (^{χ(A,B)}r_{AB})^{X} \ar[r]^{(O_{X})^{−1}} & ^{(χ(A,B)^{AB}X)}r_{(AB)} \ar@{-->}[d]^{^{χ_{X}} r_{(AB)}} \\ ^{^{A}(^{B}X)}T_{A,B}(r_{A}, r_{B}) \ar[r]^{^{^{A}(^{B} X)}(η_{A,B})} & ^{^{A}(^{B}X)}(^{χ(A,B)}r_{AB}) \ar[r]^{∼} & ^{(^{A}(^{B}X)χ(A,B))}r_{AB} ,}

définissent une pseudo-équivalence de Bieq_{u}(\underline{G}) (voir 12.1.1 et 12.1.2)

χ(A, B) : θ(A ⊗ B)⟶θ(A) ⊗ θ(B) .

Démonstration. La naturalité en X de la famille T_{X} est claire; les cohérences à l’unité et au produit dans \underline{G} sont laissé au lecteur. Montrons que la famille d’isomorphismes χ_{X} est cohérente au produit et à l’unité de \underline{G}. Pour la cohérence à l’unité, on obtient χ_{I} = 1_{χ(A,B)} ce qui suffit puisque \underline{G} à une unité stricte. Pour la cohérence au produit, on part du diagramme exprimant la cohérence au produit dans \underline{G} des morphismes T_{X}, soit (on note −\overline{⊗}− pour T_{A,B}(−, −))

\xymatrix{(r_{A}\overline{⊗}r_{B})^{XY} \ar[d]_{Φ^{β}} \ar[rrr]^{T_{XY}} &  &  & ^{^{A}(^{B} (XY ))}(r_{A}\overline{⊗}r_{B}) \ar[d]^{Φ^{α}(Φ^{A}∗Φ^{B})} \\ ((r_{A}\overline{⊗}r_{B})^{X})^{Y} \ar[r]^{(T_{X})^{Y}} & (^{^{A}(^{B} X)}(r_{A}\overline{⊗}r_{B}))^{Y} \ar[r]^{∼} & ^{^{A}(^{B} X)}((r_{A}\overline{⊗}r_{B})^{Y} ) \ar[r]^{^{^{A}(^{B} X)}(T_{Y} )} & ^{^{A}(^{B} X)}(^{^{A}(^{B} Y )}(r_{A}\overline{⊗}r_{B})) .}

Sur les morphisme T_{XY}, (T_{X})^{Y} et ^{^{A}(^{B}X)}T_{Y}, on colle les diagrammes correspondant à la définition des morphismes χ_{XY}, (χ_{X})^{Y} et ^{^{A}(^{B}X)}(χ_{Y}). On aboutit à la commutativité du diagramme suivant de H_{(AB)} (les contraintes d’associativité relatives à \underline{G} sont omises)

\xymatrix{^{(χ(A,B)^{AB} (XY ))}r_{AB} \ar[rr]^{^{χ_{XY}} r_{AB}} \ar[d]_{O_{XY}} &  & ^{(^{A}(^{B} (XY ))χ(A,B))}r_{AB} \ar[dd]^{^{ϕ^{B}} r_{AB}} \\ (^{χ(A,B)}r_{AB})^{XY} \ar[d]_{ϕ^{β}} \\ ((^{χ(A,B)}r_{AB})^{X})^{Y} \ar[d]_{(O_{X})^{Y}} &  & ^{(^{A}(^{B} X^{B} Y ))χ(A,B))}r_{AB} \ar[dd]^{^{ϕ^{A}} r_{AB}} \\ (^{(χ(A,B)^{AB} X)}r_{AB})^{Y} \ar[d]_{(O_{Y} )} \\ ^{(χ(A,B)^{AB} X^{AB} Y )}r_{AB} \ar[r]^{^{χ_{X} 1}r_{AB}} & ^{^{A}(^{B} X)χ(A,B)^{AB} Y} r_{AB} \ar[r]^{^{1 χ_{Y}} r_{AB}} & ^{^{A}(^{B} X)^{A}(^{B} Y )χ(A,B)}r_{AB} .}

Compte tenu de la cohérence des morphismes O_{X} (13.10.5), le côté gauche de ce dernier diagramme est le morphisme ^{1ϕ^{AB}(X,Y)}r_{AB} et on obtient ainsi la condition de cohérence au produit.

Notation 13.14. Soit (X, Y) un objet de G×G, on note Π_{A,B}(X, Y) l’isomorphisme de H_{(AB)} naturel en (X, Y), défini par la composée dans H_{(AB)}:

\xymatrix{^{((X^{A}Y)χ(A,B))}r_{AB} \ar@{-->}[d]_{Π_{A,B}(X,Y)} & ^{(X^{A}Y)}(^{χ(A,B)}r_{AB}) \ar[l]_{∼} & ^{(X^{A}Y)}T_{A,B}(r_{A}, r_{B}) \ar[l]_{^{(X^{A}Y )}(η_{A,B})} \\ T_{A,B}(^{X}r_{A}, ^{Y} r_{B}) \ar[r]_{∼} & T_{A,B}((^{X}r_{A})^{Y} , r_{B}) \ar[r]_{T_{A,B}(O_{Y} (X), 1)} & T_{A,B}(^{(X^{A}Y)}r_{A}, r_{B}). \ar[u]_{∼}}

La cohérence des transformations O_{−} (13.10.5) et leur \underline{G}-équivariance pour les actions à gauche donnent la commutativité des diagrammes de H_{(AB)} :

\xymatrix{^{((X^{A}Y)(^{A}Z)χ(A,B))}r_{AB} \ar[d]_{Π_{A,B}(X^{A}Y ,Z)} &  & ^{((X^{A}(Y Z))χ(A,B))}r_{AB} \ar[ll]_{^{ϕ^{A}(Y,Z)}r_{AB}} \ar[d]^{Π_{A,B}(X,Y Z)} \\ T_{A,B}(^{X^{A}Y} r_{A}, ^{Z}r_{B}) & T_{A,B}((^{X}r_{A})^{Y} , ^{Z}r_{B}) \ar[l]_{T_{A,B}(O_{Y} (X), 1)} & T_{A,B}(^{X}r_{A}, ^{Y Z}r_{B}) . \ar[l]_{∼}}

(13.14.1)

\xymatrix{^{X} (^{((Y^{A}Z)χ(A,B))}r_{AB}) \ar[d]_{^{X}Π_{A,B}(Y,Z)} & ^{((XY^{A}Z)χ(A,B))}r_{AB} \ar[l]_{∼} \ar[d]^{Π_{A,B}(XY,Z)} \\ ^{X}T_{A,B}(^{Y} r_{A}, ^{Z}r_{B}) & T_{A,B}(^{XY} r_{A}, ^{Z}r_{B}) . \ar[l]_{∼}}

Lemme 13.15. Soit (f, g) : (A, B)⟶(A′, B′) un morphisme de K×K. L’isomorphisme de \underline{G}, χ(f ⊗ g) : χ(A′, B′)θ_{f⊗g}⟶(θ_{f} ^{A}θ_{g})χ(A, B), défini par la composée dans H_{(AB)},

[figure: F_{(f⊗g)^{−1}} T_{A′,B′} (r_{A′} ,r_{B′}); F (η_{A′,B′}); F_{(f⊗g)^{−1}} (^{χ(A′,B′)}r_{A′B′}); O{−1 \atop f⊗g}; ^{χ(A′,B′)θ_{f⊗g}} r_{(AB)}; ^{χ(f⊗g)}r_{(AB)}; T_{A,B}(F_{f^{−1}} r_{A′} ,F_{g^{−1}} r_{B′}); T (η_{f} ,ηg); T_{A,B}(^{θ_{f}} r_{A},^{θg} r_{B}); (Π_{A,B} (θ_{f} ,θg))^{−1}; ^{(θ_{f} ^{A}θg)χ(A,B)}r_{AB} ,]

est la composante d’une modification de Bieq_{u}(\underline{G}) (voir 12.1.1 et 12.1.3)

χ(f ⊗ g) : χ(A′, B′).θ(f ⊗ g)⟹(θ(f) ⊗ θ(g)).χ(A, B).

Démonstration. Il suffit de vérifier la commutativité du diagramme (12.1.4 p. 490). Soit X un objet de G. On commence par faire agir X à droite sur le diagramme de la définition précédente. La suite consiste à ` ` transporter´´ l’action à droite de X en une action à gauche de ^{A′}(^{B′}X). Pour l’arête supérieure on obtient le diagramme commutatif suivant (on note \overline{⊗} pour T_{−,−} et F pour F_{(f⊗g)^{−1}}) :

[figure: ^{^{A′} (^{B′} X)}F (r_{A′} \overline{⊗}r_{B′}); ^{^{A′} (^{B′} X)}F (η_{A′,B′}); ^{^{A′} (^{B′} X)}F (^{χ(A′,B′)}r_{A′B′}); ^{^{A′} (^{B′} X)}O_{f⊗g}; ^{^{A′} (^{B′} X)}(^{(χ(A′,B′)θ_{f⊗g})}r_{AB}); F (^{^{A′} (^{B′} X)}(r_{A′} \overline{⊗}r_{B′})); F (^{^{A′} (^{B′} X)}η_{A′,B′}); F (^{^{A′} (^{B′} X)χ(A′,B′)}r_{A′B′}); O_{f⊗g}; ∼; ^{(^{A′} (^{B′} X)χ(A′,B′)θ_{f⊗g})}r_{AB}; ∼; (13.13); F (^{χ(A′,B′)^{A′B′} X}r_{A′B′}); O_{f⊗g}; F (^{χ_{X}} r_{AB}); (13.11.3); ^{(χ(A′,B′)^{A′B′} Xθ_{f⊗g})}r_{AB}; ^{(χ_{X} 1)}r_{AB}; F ((r_{A′} \overline{⊗}r_{B′})^{X}); F (T_{X}); ^{(χ(A′,B′)θ_{f⊗g}^{AB} X)}r_{AB}; ^{(θ(f⊗g)_{X})}r_{AB}; (F (r_{A′} \overline{⊗}r_{B′}))^{X}; (F (η_{A′,B′}))^{X}; F (^{χ(A′,B′)}r_{A′B′})^{X}; (O_{f⊗g})^{X}; F (O_{X}); (^{χ(A′,B′)θ_{f⊗g}} r_{AB})^{X}; O_{X}]

L’arête inférieure est moins compacte et néccessite un important diagramme qui ne peut être matériellement présenté. Avec les diagrammes obtenus sur les arêtes, inférieure et supérieure, on aboutit au diagramme commutatif suivant :

[figure: ^{^{A′} (^{B′} X)}F (r_{A′} \overline{⊗}r_{B′}); ^{^{A′} (^{B′} X)}F (η_{A′,B′}); ^{^{A′} (^{B′} X)}F (^{χ(A′,B′)}r_{A′B′}); ^{^{A′} (^{B′} X)}O_{f⊗g}; ^{^{A′} (^{B′} X)}(^{(χ(A′,B′)θ_{f⊗g})}r_{AB}); F (^{^{A′} (^{B′} X)}(r_{A′} \overline{⊗}r_{B′})); ^{(^{A′} (^{B′} X)χ(A′,B′)θ_{f⊗g})}r_{AB}; ∼; F ((r_{A′} \overline{⊗}r_{B′})^{X}); F (T_{X}); ^{(χ(A′,B′)^{A′B′} Xθ_{f⊗g})}r_{AB}; ^{(χ_{X} 1)}r_{AB}; (F (r_{A′} \overline{⊗}r_{B′}))^{X}; arête sup.; (^{χ(A′,B′)θ_{f⊗g}} r_{AB})^{X}; O_{X}; (^{χ(f⊗g)}r_{(AB)})^{X}; ^{(χ(A′,B′)θ_{f⊗g}^{AB} X)}r_{AB}; ^{(θ(f⊗g)_{X})}r_{AB}; ^{(χ(f⊗g)^{AB} X)}r_{(AB)}; ((F_{f^{−1}} r_{A′} \overline{⊗}F_{g^{−1}} r_{B′}))^{X}; arête inf.; (^{(θ_{f} ^{A}θg)χ(A,B)}r_{AB})^{X}; O_{X}; ^{(θ_{f} ^{A}θg χ(A,B)^{AB} X)}r_{AB}; ^{(1 χ_{X})}r_{AB}; F ((r_{A′} \overline{⊗}r_{B′})^{X}); F (T_{X}); ^{(θ_{f} ^{A}θg^{A}(^{B} X)χ(A,B))}r_{AB}; ^{(θ(f)⊗θ(g))_{X}} r_{AB}; F (^{^{A′} (^{B′} X)}(r_{A′} \overline{⊗}r_{B′})); ^{^{A′} (^{B′} X)}^{(θ_{f} ^{A}θg)χ(A,B)}r_{AB}; ∼; ^{^{A′} (^{B′} X)}(F_{f^{−1}} (r_{A′})\overline{⊗}F_{g^{−1}} (r_{B′})); ^{^{A′} (^{B′} X)}T (η_{f} ,ηg); ^{^{A′} (^{B′} X)}(^{θ_{f}} r_{A}\overline{⊗}^{θg} r_{B}); ^{^{A′} (^{B′} X)}Π_{A,B}; ^{^{A′} (^{B′} X)}(^{(θ_{f} ^{A}θg)χ(A,B)}r_{AB})]

La parcours extérieur donne la commutativité cherchée puisque la composition des arêtes, supérieure gauche et inférieure, est le morphisme ^{^{A′} (^{B′} X)}(^{χ(f⊗g)}r_{(AB)}).

Pour poursuivre la démonstration de (13.12), remarquons à présent que les isomorphismes Π_{A,B}(X, Y) de (13.14), définissent une famille d’isomorphismes naturels de Cat, (A, B) objet de K × K :

[figure: G ×G; t_{d}(χ(A,B))∘⊗∘(1×θ(A)); O_{A}×O_{B}; G; O_{AB}; ⇓ Π_{A,B}; H_{(A)}×H_{(B)}; T_{A,B}; H_{(AB)} .]  (13.15.1)

Pour un morphisme (f, g) : (A, B)⟶(A′, B′) de K ×K, le collage dans Cat, [on note ⊗_{A,B} pour t_{d}(χ(A, B)) ∘ ⊗ ∘ (1×θ(A))]

[figure: G ×G; t_{d}(θ_{f})×t_{d}(θ_{g}); O_{A′}×O_{B′}; ⊗_{A′,B′}; ⇓; O_{f}×O_{g}; G ×G; O_{A}×O_{B}; ⊗_{A,B}; H_{(A′)}×H_{(B′)}; T_{A′,B′}; F_{f^{−1}}×F_{g^{−1}}; H_{(A)}×H_{(B)}; T_{A,B}; =; ⇒; Π_{A′,B′}; ⇐; Π_{A,B}; H_{(A′B′)}; F_{(f⊗g)^{−1}}; H_{(AB)}; G; t_{d}(θ_{f⊗g}); O_{A′B′}; ⇑ O_{f⊗g}; G ,; O_{AB}]

définit, puisque le foncteur O_{AB} : G⟶H_{(AB)} est une équivalence, un isomorphisme naturel ⊗_{f,g} :

[figure: G ×G; ⊗_{A′,B′}; t_{d}(θ_{f})×t_{d}(θ_{g}); ⇓ ⊗_{f,g}; G ×G; ⊗_{A,B}; G; t_{d}(θ_{f⊗g}); G.]  (13.15.2)

Son expression sur l’objet (X, Y) de G ×G est le morphisme de G :

⊗_{f,g}(X, Y) : [(Xθ_{f})^{A}(Y θ_{g})]χ(A, B)⟶[(X^{A′}Y)χ(A′, B′)]θ_{f⊗g} .

Lemme 13.16. La famille de foncteurs

⊗_{A,B} := t_{d}(χ(A, B)) ∘ ⊗ ∘ (1×θ(A)) : G ×G⟶G,

et la famille d’isomorphismes naturels

⊗_{f,g} : ⊗_{A,B} ∘ (t_{d}(θ_{f})×t_{d}(θ_{g}))⟹t_{d}(θ_{f⊗g}) ∘ ⊗_{A′,B′},

sont les composantes d’une pseudo-équivalence de Bicat(K^{op}×K^{op}, Cat) (voir PS2, p. 496). De plus les isomorphismes naturels définie en (13.15.1)

Π_{−,−} : O_{−} ∘ ⊗_{−,−}⟹T_{−,−} ∘ (O_{−}×O_{−}),

sont les composantes d’une modification inversible Π de Bicat(K^{op} × K^{op}, Cat).

Démonstration. Le collage dans Cat, via les faces latérales Π_{−,−}, des cubes

[figure: H_{(A′)}×H_{(B′)}; F_{f^{−1}}×F_{g^{−1}}; O_{f}×O_{g} ⇑; H_{(A)}×H_{(B)}; T_{A,B}; G ×G; t_{d}(θ_{f})×t_{d}(θ_{g}); O_{A′}×O_{B′}; ⊗_{A′,B′}; ⇒; Π_{A′,B′}; ⇓ ⊗_{f,g}; G ×G; O_{A}×O_{B}; ⊗_{A,B}; ⇒; Π_{A,B}; H_{(A′B′)}; F_{(f⊗g)^{−1}}; O_{f⊗g} ⇑; H_{(AB)}; G; t_{d}(θ_{f⊗g}); O_{A′B′}; G; O_{AB}]  (13.16.1)

et la cohérence de la pseudo-équivalence (13.10.8) ainsi que celle du pseudo-foncteur \underline{G}_{p} donnent la cohérence à la composition des isomorphismes ⊗_{f,g}. Les unités sont strictes. La modification Π en découle.

Lemme 13.17. Pour tout objet (X, Y) de G × G, le diagramme suivant commute :

\xymatrix{[(Xθ_{f})^{A}(Y θ_{g})]χ(A, B) \ar[r]^{⊗_{f,g}(X,Y)} \ar[d]_{Φ^{A}} & [(X^{A′}Y)χ(A′, B′)]θ_{f⊗g} \ar[d]^{χ(f⊗g)} \\ Xθ_{f}^{A}Y^{A}θ_{g}χ(A, B) \ar[r]_{θ(f)_{Y}} & X^{A′}Y θ_{f}^{A}θ_{g}χ(A, B)}

Démonstration. On utilise le diagramme obtenu en (X, Y) avec le cube précédent. Cette démonstration se résume avec le diagramme qui suit où la commutativité de I donnée par (13.10.8) et (13.11.1) est laissée au soin du lecteur. Le parcours extérieur donne le résultat. Il faut comparer ce dernier avec la définition des morphismes t_{f⊗g}(X, Y) donnée en (12.1.21, p. 496).

[figure: ^{X^{A′} Y} F (r_{A′} \overline{⊗}r_{B′}); 13.14; ^{X^{A′} Y} F (^{χ(A′,B′)}r_{A′B′}); ^{X^{A′} Y} F (η_{A′,B′}); équivariance; ^{X^{A′} Y} (^{χ(A′,B′)θ_{f⊗g}} r_{(AB)}); ^{X^{A′} Y} O_{f⊗g} (−); F (^{X^{A′} Y} r_{A′} \overline{⊗}r_{B′}); ∼; F (^{X}r_{A′} \overline{⊗}^{Y} r_{B′}); F T (O_{Y} ,1); F (^{X^{A′} Y χ(A′,B′)}r_{A′B′}); F (Π_{A′,B′} (X,Y )); cube en (X,Y ); ∼; ^{X^{A′} Y χ(A′,B′)θ_{f⊗g}} r_{(AB)}; O_{f⊗g} (−); ^{⊗_{f,g} (X,Y )}r_{(AB)}; ∼; (F_{f^{−1}}^{X}r_{A′} \overline{⊗}F_{g^{−1}}^{Y} r_{B′}); (^{Xθ_{f}} r_{A}\overline{⊗}^{Y θg} r_{B}); T (O_{f} ,Og); T (O_{Y} ,1); 13.14.1; ^{(Xθ_{f} ^{A}(Y θg))χ(A,B)}r_{AB}; Π_{A,B} (Xθ_{f} ,Y θg); ^{ϕ^{A}} r_{AB}; F (^{X}r_{A′} \overline{⊗}^{Y} r_{B′}); F T (O_{Y} ,1); I; (^{Xθ_{f}^{A}Y} r_{A}\overline{⊗}^{θg} r_{B}); T (θ(f)_{Y} ,1); ^{Xθ_{f}^{A}Y ^{A}θg χ(A,B)}r_{AB}; ^{θ(f)_{Y}} r_{AB}; Π(Xθ_{f}^{A}Y ,θg); F (^{X^{A′} Y} r_{A′} \overline{⊗}r_{B′}); ∼; (^{X^{A′} Y θ_{f}} r_{A}\overline{⊗}^{θg} r_{B}); ∼; 13.14.1; ^{X^{A′} Y θ_{f}^{A}θg χ(A,B)}r_{AB}; ∼; Π(X^{A′} Y θ_{f} ,θg); ^{X^{A′} Y} F (r_{A′} \overline{⊗}r_{B′}); ^{X^{A′} Y} T (η_{f} ,ηg); ^{X^{A′} Y} (^{θ_{f}} r_{A}\overline{⊗}^{θg} r_{B}); ^{X^{A′} Y θ_{f}^{A}θg χ(A,B)}r_{AB}; ^{X^{A′} Y} Π(θ_{f} ,θg)]

Lemme 13.18. La famille de pseudo-équivalences de Bieq_{u}(\underline{G}) du lemme (13.13)

χ(A, B) : θ(A ⊗ B)⟶θ(A) ⊗ θ(B)

(A, B) objet de K × K, et la famille de modifications du lemme (13.15)

χ(f ⊗ g) : χ(A′, B′).θ(f ⊗ g)⟹(θ(f) ⊗ θ(g)).χ(A, B)

(f, g) morphisme de K × K, sont les composantes d’une pseudo-équivalence de Bicat(K × K, Bieq_{u}(\underline{G})) (voir C2, pages 490-491).

Démonstration. La cohérence aux unités (deuxième diagramme de 12.1.6 p. 491) est claire puisque θ(1_{A}) = 1_{θ(A)} et χ(1_{A} ⊗ 1_{B}) = 1_{χ(A,B)}. Il reste à montrer la cohérence à la composition de χ(f ⊗ g) (12.1.6). Le lemme (13.17) donne une définition pour ⊗_{f,g} du type (12.1.19 p. 496 ). Les cohérences de χ(f ⊗ g) et de ⊗_{f,g} sont donc équivalentes et les isomorphismes structuraux ⊗_{f,g} sont cohérents par le lemme (13.16).

Pour pousuivre la preuve de (13.12), il faut encore établir les points C3, C4 (p. 491), C5 (p. 493) et les deux conditions de cohérences CA1-CA2 (p. 494). La donnée C3 est facile avec les choix du lemme (13.11). Comme θ(I) = 1\underline{G} et i_{I} = 1_{I}, on pose

ι = 1_{1\underline{G}}  (13.18.1)

pour la pseudo-équivalence ι : θ(I)⟶1\underline{G}. Etablissons à présent la modification inversible C4. Cette modification s’obtient de la même façon que la modification χ(f ⊗ g), les diagrammes sont ici seulement plus importants et ne peuvent être raisonablement résumés. Pour un objet (A, B, C) de K^{3}, le collage dans Cat obtenu avec la cohérence à l’associativité du pseudo-foncteur \underline{G}_{p}

[figure: G ×G ×G; O_{A}×O_{B}×O_{C}; 1×⊗_{B,C}; ⊗_{A,B}×1; H_{(A)}×H_{(B)}×H_{(C)}; 1×T_{B,C}; T_{A,B}×1; G ×G; O_{A}×O_{BC}; ⊗_{A,BC}; ⇒; 1×Π_{B,C}; G ×G; O_{AB}×O_{C}; ⊗_{AB,C}; ⇐; Π_{A,B}×1; H_{(A)}×H_{(BC)}; T_{A,BC}; a_{−,−,−} ⇓; H_{(AB)}×H_{(C)}; T_{AB,C}; ⇒; Π_{A,BC}; ⇐; Π_{AB,C}; H_{(A(BC))}; F_{a^{−1}}; H_{((AB)C)}; G; O_{A(BC)}; t_{d}(θ_{a}); O_{a} ⇑; G; O_{(AB)C}]

(13.18.2)

définit un isomorphisme naturel

α_{A,B,C} : ⊗_{AB,C} ∘ (⊗_{A,B} × 1)⟹t_{d}(θ_{a}) ∘ ⊗_{A,BC} ∘ (1 × ⊗_{B,C}),  (13.18.3)

composante en (A, B, C) d’une modification inversible de Bicat(K^{op} × K^{op} × K^{op}, Cat). Comme pour le lemme (13.17), on montre, en utilisant en particulier (13.14.1), que pour tout objet (X, Y, Z) de G × G × G, le diagramme suivant commute

\xymatrix{[((X^{A}Y)χ(A, B))^{AB}Z]χ(AB, C) \ar[r]^{α_{A,B,C}(X,Y,Z)} \ar[d]_{χ_{Z}} & ((X^{A}[(Y^{B}Z)χ(B, C)])χ(A, BC))θ_{a} \\ X^{A}Y^{A}(^{B}Z)χ(A, B)χ(AB, C) \ar[r]_{1α_{A,B,C}(I,I,I)} & X^{A}Y^{A}(^{B}Z)^{A}χ(B, C)χ(A, BC)θ_{a} \ar[u]_{Φ^{−1}∘Φ^{−1}}}

(13.18.4)

Cette commutativité est à comparer avec la définition donnée en (12.1.24 p. 497). On obtient C4 avec le lemme suivant :

Lemme 13.19. les isomorphismes de \underline{G}

ω_{A,B,C} = α_{A,B,C}(I, I, I) : χ(A, B)χ(AB, C)⟶[^{A}χ(B, C)χ(A, BC)]θ_{a} ,

(A, B, C) objet de K×K×K, sont les composantes d’une modification inversible

ω : a.((χ^{θ} ⊗ 1).χ^{θ})⟹((1 ⊗ χ^{θ}).χ^{θ}).θa

de Bicat(K×K×K, Bieq_{u}(\underline{G})).

Démonstration. Il faut d’abord vérifier que pour tout objet (A, B, C) de K^{3}, l’isomorphisme ω_{A,B,C} est la composante d’une modification (12.1.10) de Bieq_{u}(\underline{G})). Pour cela, il suffit d’obtenir la commutativité du diagramme suivant (12.1.11). On obtient cette commutativité comme celle montrée pour le lemme (13.15). On part du diagramme obtenu à partir de la définition de ω_{A,B,C}. On fait opérer un objet X de \underline{G} à droite sur ce diagramme, la suite consiste comme en (13.15) à transporter cette action en une action à gauche de ^{A}(^{B}(^{C}X)) et on obtient la commutativité cherchée. Pour terminer cette démonstration, il reste à montrer que cette famille de modifications est cohérente au morphisme (12.1.12, p. 492), correspondant à la commutativité du diagramme (12.1.13). On part de la cohérence au morphisme de la modification α définie en (13.18.3). Pour un morphisme (f, g, h) : (A, B, C)⟶(D, E, F) de K^{3}, cette cohérence exprimée pour l’objet (X, Y, Z) de K^{3} donne la commutativité du diagramme de \underline{G} suivant (voir 12.1.25) :

\xymatrix{[(((Xθ_{f})^{A}(Y θ_{g}))χ(A,B))^{AB}(Zθ_{h})]χ(AB,C) \ar[d]_{⊗_{f,g} (X,Y )} \ar[r]^{α_{A,B,C} (Xθ_{f} ,Y θg ,Zθ_{h})} & Xθ_{f}^{A}[Y θ_{g}^{B}(Zθ_{h})χ(B,C)]χ(A,BC)θ_{a} \ar[d]^{^{A}⊗_{g,h}(Y,Z)} \\ X^{D}Y χ(D,E)θ_{f⊗g}^{AB}(Zθ_{h})χ(AB,C) \ar[d]_{⊗_{f⊗g,h}(XY,Z)} & Xθ_{f}^{A}[(Y^{E}Z)χ(E,F)θ_{g⊗h}]χ(A,BC)θ_{a} \ar[d]_{C∘C^{−1}∘⊗_{f,g⊗h}(X,Y Z)} \\ X^{D}Y χ(D,E)^{DE}Zχ(DE,F)θ_{(f⊗g)⊗h} \ar[r]_{α_{D,E,F} (X,Y,Z) 1} & (X^{D}[Y^{E}Zχ(E,F)]χ(D,EF)θ_{a})θ_{(f⊗g)⊗h}.}

Pour conclure, il suffit de remarquer que les choix pris pour le lemme (13.11) donnent ⊗_{−,−}(I, I) = χ(− ⊗ −)^{−1} (13.16-13.17), le diagramme précédent exprimé à l’objet (I, I, I) de K^{3} fournit la commutativité cherchée (12.1.13).

Passons à présent aux données C5 (p. 493). les choix du lemme (13.11) nous ont permis de prendre ι = 1_{1\underline{G}} (13.18.1). Nous allons voir à présent que modulo de nouveaux choix, nous obtenons des identités pour les modifications de Bicat(K; Bieq_{u}(\underline{G})) (C5) :

γ : g_{θ(−)}.(1_{1\underline{G}} ⊗ 1_{θ(−)}).χ^{θ}(I, −)⟹θ(g_{−}) : θ(I−)⟶θ(−)
δ : d_{θ(−)}⟹(1_{θ(−)} ⊗ 1_{1\underline{G}}).χ^{θ}(−, I).θ(d_{−}) : θ(−)1_{G}⟶θ(−).

Nous ne traiterons que le cas de la modification γ, le cas de la modification δ étant similaire. La modification M de (13.12.2) est définie par son unique composante :

M : ^{I}r_{I} ⟶^{Φ_{o}^{I}(r_{I})} r_{I} ,  (13.19.1)

où Φ_{o}^{I} est la contrainte d’unité de l’action à gauche α_{I} : \underline{G}⟶Eq(H_{(I)}) (13.9.1). Pour un objet A de K, le collage dans Cat obtenu à partir de l’isomorphisme G_{A} : T_{I,A}(Ĩ, −)⟹F_{g_{A}^{−1}} donné par le pseudo-fonteur \underline{G}_{p} :

[figure: G ×G; ⊗_{I,A}; O_{I}×O_{A}; ⇓ Π_{I,A}; G; O_{IA}; H_{(I)}×H_{(A)}; T_{I,A}; H_{(IA)}; ⇓ G_{A}; ⇒; M×1; ⇐; O_{g_{A}}; 1l×H_{(A)}; ∼; I×1; H_{(A)}; F_{g{−1 \atop A}}; 1l×G; ∼; 1×O_{A}; I×1; G ,; O_{A}; t_{d}(θ_{g_{A}})]

définit un isomorphisme naturel

Γ_{A} : ⊗_{I,A}(I, −)⟹t_{d}(θ_{g_{A}}),  (13.19.2)

composante en A d’une modification inversible Γ de Bicat(K^{op}, Cat). L’expression en un objet X de \underline{G} de ce dernier isomorphisme est donnée par la composée dans H_{(IA)} (le morphisme g_{σ_{A}} : Iσ_{A}⟶σ_{A} est la contrainte d’unité dans \underline{H}) :

[figure: ^{Xχ(I,A)}r_{IA}; ^{Γ_{A}(X)}r_{IA}; ∼; ^{Xθ_{g_{A}}} r_{IA}; ∼; ^{X}(^{χ(I,A)}r_{IA}); ^{X}(η_{I,A}); ^{X}(^{θ_{g_{A}}} r_{IA}); ^{X}T_{I,A}(r_{I}, r_{A}); ^{X}(g_{σ_{A}}); ^{X}F_{g_{A}^{−1}}(r_{A}).; ^{X}(η_{g_{A}})]  (13.19.3)

On suppose à présent pris le choix suivant pour l’isomorphime η_{I,A} (voir le lemme (13.13)) :

η_{I,A} = η_{g_{A}} ∘ g_{σ_{A}}.  (13.19.4)

On a donc χ(I, A) = θ_{g_{A}}. On pose pour la composante en A de la modification γ cherchée :

γ_{A} : χ(I, A) ⟶^{1} θ_{g_{A}} .  (13.19.5)

Pour terminer, il faut vérifier que l’on est bien en présence des composantes d’une modification de Bieq_{u}(\underline{G}) cohérente à \underline{K}. Il faut obtenir la commutativité du diagramme suivant (12.1.14 p. 493) et du premier diagramme de (12.1.16). Cette dernière s’obtient avec la cohérence au morphisme de la modification Γ (13.19.2) (voir 12.1.28 p. 500) en prenant X = I. La première commutativité correspond dans le cas présent à l’égalité pour tout objet X de \underline{G},

[figure: χ(I, A)^{IA}X; χ_{X}; ^{A}Xχ(I, A); θ_{g_{A}}^{IA}X; θ(g_{A})_{X}; ^{A}Xθ_{g_{A}}.]

Avec la définition (13.11.1) de θ(g_{A})_{X} et la définition (13.13) de χ_{X}, cette égalité équivaut à la commutativité du diagramme de H_{(IA)} :

\xymatrix{T_{I,A}(r_{I}, r_{A})^{X} \ar[r]^{T_{X}} \ar[d]_{(g_{σ_{A}})^{X}} & ^{^{A}X}T_{I,A}(r_{I}, r_{A}) \ar[d]^{^{^{A}X}g_{σ_{A}}} \\ F_{g_{A}^{−1}}(r_{A})^{X} \ar[r]^{η_{X}} & ^{^{A}X}F_{g_{A}^{−1}}(r_{A}),}

dont la vérification est laissée au lecteur.

Pour clore la construction de cet objet \underline{θ} de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})) de la proposition (13.12), il reste a obtenir les deux conditions de cohérence CA1-CA2 (p. 494). Nous établirons seulement CA1, le cas de CA2 étant similaire. Comme on s’y attend, on part de la condition de cohérence de la modification de cohérence à l’associativité, donnée par le pseudo-foncteur monoïdal \underline{G}_{p} c’est-à-dire de la commutativité dans Cat du polyèdre :

[figure: H_{A}H_{BC}H_{D}; T ×1; 1×T; H_{A(BC)}H_{D}; T; H_{A}H_{(BC)D}; T; F_{1_{A}} ×F_{a^{−1}}; H_{(A(BC))D}; F_{a^{−1}}; H_{A((BC)D)}; F_{1⊗a^{−1}}; H_{((AB)C)D}; F_{a^{−1}⊗1}; F_{a^{−1}}; H_{A}H_{B}H_{C}H_{D}; H_{A(B(CD))}; H_{(AB)C}H_{D}; F_{a^{−1}} ×F_{1_{D}}; T; H_{A}H_{B(CD)}; T; H_{(AB)(CD)}; F_{a^{−1}}; H_{AB}H_{C}H_{D}; T ×1; 1×T; H_{AB}H_{CD}; T; H_{A}H_{B}H_{CD}; T ×1; 1×T; a; a; a; a×1; 1×a]

pour tous objets (A, B, C, D) de K×K×K×K. Ensuite, on colle sur les cinq faces de ce polyèdre où intervient une cohérence à l’associativité de T_{−,−}, les polyèdres (13.18.2 p. 539) relatifs à la définition de la modification α (13.18.3). Sur les deux faces carrées visibles, on colle les cubes du type (13.16.1) obtenus avec la définition des isomorphismes structuraux ⊗_{f,g} de (13.15.2). Sur le carré arrière, (ou triangle) on colle un cube commutatif obtenu facilement avec la définition des isomorphismes Π_{−,−} (13.15.1). Enfin, on colle sur le pentagone de la face avant le polyèdre commutatif suivant, obtenu avec la cohérence à la composition de la pseudo-équivalence (13.10.10 p. 529),

[figure: G_{(A(BC))D}; t_{d}(θ_{a}); G_{A((BC)D)}; t_{d}(θ_{1⊗a}); G_{((AB)C)D}; t_{d}(θ_{a⊗1}); O_{−}; ⇓ O_{1⊗a}; G_{A(B(CD))}; O_{−}; O_{a⊗1} ⇓; ⇑t_{d}(C); ⇑t_{d}(C); ⇓t_{d}(C); G_{(AB)(CD)}; O_{a} ⇓; ⇓ O_{a}; H_{(A(BC))D}; H_{A((BC)D)}; H_{((AB)C)D}; F_{a^{−1}}; H_{A(B(CD))}; H_{(AB)(CD)}; F_{a^{−1}}]

Les faces des différents polyèdres collés coïncidant, le polyèdre extérieur résultant de ce collage est commutatif. Ce polyèdre exprime la cohérence de la modification de cohérence à l’associativité α (13.18.3). Cette cohérence s’explicite comme en (12.1.29 p. 501) et donne avec (13.18.4) ou en prenant X = Y = Z = I la condition CA1 (12.1.17) de cohérence sur ω cherchée. De la même manière pour CA2, on montre la cohérence des modifications α (13.18.3), Γ et Δ (13.19.2) puis celle des modifications ω (13.19), γ et δ (qui sont ici des unités 13.19.5).

On est à présent en mesure de terminer la démonstration de l’essentiel surjectivité (13.12). Avec θ (13.11.2), χ (13.18), ι = 1 (13.18.1), ω (13.19), γ = 1 et δ = 1 (13.19.5), on dispose d’un objet \underline{θ} = (θ, χ, 1, ω, 1, 1) de Bimon(\underline{K}, \underline{Bieq_{u}}(\underline{G})). L’image \underline{G}(\underline{θ}) de cet objet par l’homomorphisme (12.0.2 p. 489) est le pseudo-foncteur monoïdal construit durant cette preuve : (13.16), (13.12), (13.18.3) (13.18.4), (13.19.2). Par construction, on a une équivalence dans Bimon_{l}(\underline{K^{op}}, Cat) (O, Π, M) : \underline{G}(\underline{θ})⟶\underline{G}_{p} entre ce pseudo-foncteur monoïdal et celui fourni par l’extension (r, λ, p) de (13.8.1) (les modifications Π et M sont respectivement données par (13.16) et (13.19.1)). L’image de cette équivalence par la biéquivalence (6.3.2 p. 466) donne une gr-équivalence de \underline{K}-fibrations monoïdales :

\xymatrix{\underline{E}_{c(θ)} \ar[dd]_{\underline{O}} \ar[dr]^{p} \\  & K . \\ _{\underline{E}_{p}} \ar[ur]_{π}}

munissant d’une structure monoïdale l’équivalence (13.11.5). Enfin, l’extension \underline{F} (\underline{θ}) (12.1.30), image de \underline{θ} par l’homomorphisme de classification (12.0.1) et la gr-équivalence précédente fournissent le morphisme d’extensions (fibrées) cherché (μ, \underline{O})

[figure: \underline{E}_{c(θ)}; \underline{O}; p; \underline{G}; r; s; μ ⇓; \underline{K} ,; _{\underline{E}_{p}}; π]

L’image par \underline{O} d’un objet (X, A) de \underline{E}_{c(θ)} est l’objet (O_{A}(X), A) = (^{X}r_{A}, A) de \underline{E}_{p}. En un objet X de \underline{G}, la composante μ_{X} est l’isomorphisme de H_{(I)}, d_{r(X)}^{−1} : (^{X}r_{I}, I)⟶((r(X), λ_{X}), I), donné par la commutativité dans \underline{K} :

\xymatrix{p(r(X)I) \ar[d]_{p(d_{r(X)}^{−1})} \ar[r]^{Φ^{p}} & pr(X)p(I) \ar[r]^{λ_{X}Φ_{o}^{p}} & II \ar[r]^{d_{I}} & I \ar[d]^{1} \\ p(r(X)) \ar[rrr]^{λ_{X}} &  &  & I}

Ceci termine la preuve de (13.12) et donc de la biessentielle surjectivité (13.8) et du théorème de classification.

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Alain Rousseau rousseau@math.univ-paris13.fr

Département de Mathématiques Université Paris 13, Institut Galilée 93430 Villetaneuse, France.