Homology, Homotopy and Applications, vol.5(1), 2003, pp.101–120

SUR LE TYPE D’HOMOTOPIE D’UN CW-COMPLEXE

MAHMOUD BENKHALIFA

(communicated by Lionel Schwartz)

Abstract Il est bien connu que la seule donnée des groupes d’homologie et des groupes d’homotopie ne permet pas en général de déterminer le type d’homotopie d’un CW-complexe. J.H.C. Whitehead a introduit un invariant plus fin: la “certaine” suite exacte associée à un CW-complexe et en tire la classification des CW-complexes simplement connexes de dimension 4. Dans ce travail, en exploitant les propriétés de la suite exacte de Whitehead, nous montrons comment cette suite peut-être utiliser afin de classifier le type d’homotopie d’un CW-complexe simplement connexe de dimension quelconque.

1. Introduction

Une grande partie de la topologie algébrique tient peut-être dans les tentatives de réponse à la question: comment caractériser algébriquement les espaces topologiques (à homotopie près)? Autrement dit, sait-on construire des invariants algébriques (de préférence calculables et maniables) tels qu’à une collection donnée d’invariants corresponde un seul type d’homotopie.

Des réponses partielles, en général limitées aux CW-complexes, sont apportées depuis lentemps, dans la littérature [4], [5], [6], [7], [10],[12], [9], [8], [13], [15], [20] et [21].

Si l’on se restreint aux CW-complexes simplement connexes de type fini dont l’homotopie est rationnelle, Quillen [18] puis Sullivan [19] ont construit respectivement des théories (à chaque espace est associé un “modèle algébrique”) identifiant une catégorie topologique à une catégorie algébrique. Bien sûr la partie de torsion des groupes d’homotopie est en général trés riche (que l’on songe au cas de la sphère!). Dans une certaine mesure les théories à modèle peuvent se généraliser et tenir partiellement compte de la torsion (théorie modérée de Dwyer [14], théorie d’Anick [2] et [3]).

Une approche du cas général radicalement différente remonte à J.H.C Whitehead. Dans [21] il a introduit une “certaine” suite exacte:

⋯ ⟶ H_{n+1}(X, ℤ) ⟶^{b_{n+1}} Γ_{n} ⟶ π_{n}(X) ⟶^{h_{n}} H_{n}(X, ℤ) ⟶ ⋯

Received September 20, 2002, revised April 30, 2003; published on May 29, 2003. 2000 Mathematics Subject Classification: 55Q10, 55U40. Key words and phrases: CW-complexes, homotopy types, Whitehead exact sequence, detecting functor. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} 2003, Mahmoud Benkhalifa. Permission to copy for private use granted.

pour tout CW-complexe X associant ainsi les groupes d’homotopie et les groupes d’homologie singulière de celui-ci et en tire une classification des CW-complexes simplement connexes de dimension 4.

Dans ce travail et afin de continuer le programme dejâ commencer par J.H.C Whitehead dans [21] et bien repris essentiellement par H.J. Baues [4], [5] et [6], nous nous proposons d’exploiter les propriétés de la suite exacte de Whitehead associée à un CW-complexe simplement connexe X en montrant comment cette suite peut servir, sous une certaine condition, dans le but de classifier le type d’homotopie de celui-ci.

A cet effet on introduit la catégorie Γ-Système dont les objets sont les Γsystèmes (grossièrement parlant un Γ−système détermine les suites exactes longues qui sont condidates a être les suites de Whitehead associées à des CW-complexes) et dont les morphismes sont des homorphismes gradués f_{∗} : H_{∗} ⟶ H∗^{′} vérifiant certaines conditions (un tel homorphisme gradué est appelé un Γ-morphism). En outre nous définissons un fonteur Γ : ΓCW_{1}⧸_{≃} → Γ-Système, où ΓCW_{1} désigne la sous-catégorie de CW_{1}( la catégorie des CW-complexes simplement connexes) dont les morphismes sont les applications cellulaires vérifiant la condition (4.1) et nous montrons que celui-ci vérifie les propriétés qui définissent un “detecting functor”. Une notion introduite par H.J.Baues dans [5] et qui induit les résultats suivants:

Théorème 1. Soient X et Y deux CW-complexes simplement connexes, si leurs Γ − systèmes respectivement associés sont isomorphes dans Γ-Système alors X et Y ont le même type d’homotopie.

Théorème 2. Les types d’homotopie dans la catégorie ΓCW_{1} sont en bijection avec les classes d’isomorphisme dans la catégorie Γ-Système.

En outre on montre également le résultat suivant:

Théorème 3. Deux objets dans ΓCW_{1} ont le même type d’homotopie si et seulement si leurs suites exactes de Whitehead sont isomorphes.

Enfin on introduit la condition (4.2) qui nous permet d’identifier la catégory CW_{1} à sa sous-catégorie ΓCW_{1} et par suite nous concluons que, sous la condition (4.2), les théorèmes précédents demeurent aussi vrais dans CW_{1}.

2. Suite de Whitehead associée a un CW-complexe

Soit X un CW-complexe simplement connexe et soit {X^{n}}_{n⩾2} une filtration de X par ses squelettes (puisque X est simplement connexe on peut supposer donc que X_{1} ≃ ∗).

Considérons la suite suivante associée a cette filtration :

⋯ → π_{n}(X^{n}) →^{j_{n}} π_{n}(X^{n}, X^{n−1}) →^{β_{n}} π_{n−1}(X^{n−1}) → ⋯

On sait que π_{n}(X^{n}, X^{n−1}) est un ℤ-module libre qui admet pour base l’ensemble Z_{n} des cellules de dimension n :

π_{n}(X^{n}, X^{n−1}) = ⊕_{e_{α}^{n} ∈Z_{n}}ℤ [e_{α}^{n}]

en posant:

C_{n} = π_{n}(X^{n}, X^{n−1}), d_{n} = j_{n−1} ∘ β_{n}  (2.1)

(C_{∗}, d) est donc le complexe de chaîne cellulaire de X vérifiant:

H_{∗}(C_{∗}, d) = H_{∗}(X, ℤ).

Pour tout n ⩾ 2 posons:

Γ_{n} = Im(π_{n}(X^{n−1}) → π_{n}(X^{n}))  (2.2)

alors la suite exacte de Whitehead associée à X est par définition:

⋯ → H_{n+1}(X, ℤ) ⟶^{b_{n+1}} Γ_{n} ⟶ π_{n}(X) ⟶^{h_{n}} H_{n}(X, ℤ) → ⋯

où l’homomorphisme gradué b_{∗} est donné par la formule:

b_{n+1}(z^{−}) = β_{n}(z)

h_{n} étant l’homomorphisme d’Hurewitz.

Remarque 1. 1- Le groupe Γ_{3} a été calculé par J.H.C.Whitehead dans [21], il est donné par la relation :

Γ_{3} = Γ(H_{2}(X, ℤ))

où le R-module Γ(H_{2}(X, ℤ)) est défini par la propriété universelle suivante :

un homomorphisme de groupes abéliens f : H_{2}(X, ℤ) → A est dit quadratique si f(h) = f(−h) et si l’application:

[h, a]_{f} = f(h + a) − f(h) − f(a)

est bilinéaire en h et a.

Il existe un homomorphisme quadratique γ : H_{2}(X, ℤ) → Γ(H_{2}(X, ℤ)) tel que pour tout homomorphisme quadratique f : H_{2}(X, ℤ) → A, on peut trouver un ho-

momorphisme de groupes abéliens f^{−} : Γ(H_{2}(X, ℤ)) → A vérifiant f^{−} ∘ γ = f. Notons, par exemple, les formules suivantes :

Γ(ℤ) = ℤ  (2.3)
Γ(ℤ_{n}) = ℤ_{2n}, si n est pair
Γ(ℤ_{n}) = ℤ_{n}, si n est impair

2- Le groupe Γ_{4} été calculé par H.J.Baues dans [4].

Remarque 2. Puisque C_{n} est libre, alors de la suite exacte courte :

Γ_{n} ↣ π_{n}(X^{n}) ↠ ker β_{n} ⊂ C_{n}

on tire que:

π_{n}(X^{n}) ≅ Γ_{n} ⊕ ker β_{n}, ∀n ⩾ 2  (2.4)

et de la différentielle d_{n} : C_{n} → C_{n−1} on tire la décomposition en somme directe suivante :

C_{n} = (Imd_{n})′ ⊕ ker d_{n}  (2.5)

où (Imd_{n})′ ⊂ C_{n} est une copie de Imd_{n} ⊂ C_{n−1}. De ce fait les deux suites exactes courtes suivantes:

(Imd_{n+1})′ ↣^{d_{n+1}} ker d_{n} ↠ H_{n}
(Imd_{n+1})′ ↣^{d_{n+1}} ker β_{n} ↠ ker b_{n}

peuvent-être choisi comme des résolutions libres respectivement pour les groupes abéliens H_{n} et ker b_{n}.

Remarque 3. En vertu des relations (2.5) et (2.4), si (z_{n+1,σ})_{σ∈∑} et (l_{n+1,σ′})_{σ′ ∈∑′} désignent respectivement des bases des groupes abéliens libres (ker d_{n+1}) et (Imd_{n+1})′, l’homomorphisme β_{n+1} s’écrit donc:

β_{n+1}(z_{n+1,σ} + l_{n+1,σ′}) = b_{n+1}(\overline{z_{n+1,σ}}) + φ_{n}(l_{n+1,σ′})  (2.6)
⊕d_{n+1}(l_{n+1,σ′})

où φ_{n} est un homomorphisme tel que φ_{n} : (Imd_{n+1})′ → Γ_{n}.

Désignons par CW_{1} la catégorie des CW-complexes simplement connexes. Notons qu’une application f : X → Y dans CW_{1} induit le diagramme commutatif suivant, reliant les deux suites de Whitehead associées respectivement à X et Y :

[figure: … → H_{n+1}(X, Z) ⟶^{b_{n+1}} Γ_{n} ⟶ π_{n}(X) ⟶ H_{n}(X, Z) ⟶^{b_{n}} ...; … → H_{n+1}(Y, Z) ⟶^{b′_{n+1}} Γn^{′} ⟶ π_{n}(Y) ⟶ H_{n}(Y, Z) ⟶^{b′_{n}} ...; H_{n+1}(f); H_{n}(f); γ_{n}^{f}; π_{n}(f)]

Ainsi la commutativité de ce diagramme induit la formule suivante:

(H_{n}(f))^{∗} ([π_{n}(Y)]) = (\overline{γ_{n}^{f}})_{∗}([π_{n}(X)])  (2.7)

où [π_{n}(X)] ∈ Ext(ker b_{n},Coker b_{n+1}), [π_{n}(Y)] ∈ Ext(ker bn^{′},Coker bn+1^{′}) et où:

(H_{n}(f))^{∗} : Ext(ker bn^{′}, Co ker bn+1^{′}) → Ext(ker b_{n}, Cokerbn+1^{′})
(\overline{γ_{n}^{f}})_{∗} : Ext(ker b_{n}, Cokerb_{n+1}) → Ext(ker b_{n}, Cokerbn+1^{′})

Remarque 4. La formule (2.7) peut être expliquer de la manière suivante: choisissons les deux résolutions libres:

(Imd_{n+1})′ ↣ ker β_{n} ↠ ker b_{n}
(Imdn+1^{′})′ ↣ ker βn^{′} ↠ ker bn^{′}

respectivement pour les groupes ker b_{n+1} et ker bn+1^{′}. A la donnée des extensions [π_{n}(X)], [π_{n}(Y)] et des homomorphismes γ_{n}^{f}, (H_{n}(f))^{∗} correspond les diagrammes suivants:

[figure: (Imd_{n+2})′ ↣^{d_{n+2}} ker β_{n} ↠ ker b_{n+1}; (Imdn+2^{′})′ ↣^{d′_{n+2}} ker βn^{′} ↠ ker bn+1^{′}; (Imd_{n+2})′ ↣^{d_{n+2}} ker β_{n} ↠ ker b_{n+1}; Cokerb′_{n+1}; Cokerb_{n+1}; \overline{φ_{n}}; Cokerbn+1^{′}; \overline{γ_{n}^{f}}; \overline{φ′_{n}}; ξ_{n+1}]

où [φ_{n}] = [H_{n}(A)] , [φn^{′}] = [H_{n}(B)] et où \overline{γ_{n}^{f}} (respect. ξ_{n+1}) est l’homomorphisme induit par γ_{n}^{f} (respect. par H_{n+1}(f)) sur le groupe quotient Cokerb_{n+1} (respect. sur le sous-groupe (Imd_{n+1})′).

Les deux homomorphismes (\overline{γ_{n}^{f}})_{∗} et (H_{n}(f))^{∗} sont définis par les formules:

(\overline{γ_{n}^{f}})_{∗}([H_{n}(A)]) = [\overline{γ_{n}^{f}} ∘ φ_{n}]

(H_{n}(f))^{∗} ([H_{n}(B)]) = [φn^{′} ∘ ξ_{n+1}].

Donc la formule (2.7) est équivalente à la relation:

[\overline{γ_{n}^{f}} ∘ φ_{n}] = [φn^{′} ∘ ξ_{n+1}] dans Ext(ker b_{n}, Cokerbn+1^{′})

où encore l’homomorphisme:

\overline{γ_{n}^{f}} ∘ φ_{n} − φn^{′} ∘ ξ_{n+1} : (Imd_{n+1})′ ⟶ Cokerbn+1^{′}

se prolonge au sous-groupe ker β_{n}.

Proposition 1. Soit X un CW-complexe simplement connexe, alors pour tout n ⩾ 2 on a :

π_{n}(X) ≅ \frac{Cokerb_{n+1} ⊕ ker β_{n}}{Im\overline{φ_{n}} ⊕ Imd_{n+1}}  (2.8)

où \overline{φ_{n}} : (Imd_{n+1})′ →^{φ_{n}} Γ_{n} ↠ Cokerb_{n+1}.

Preuve. De la suite exacte suivante :

π_{n+1}(X^{n+1}, X^{n}) →^{β_{n+1}} π_{n}(X^{n}) → π_{n}(X^{n+1}) → 0

on tire que:

π_{n}(X^{n+1}) ≅ \frac{π_{n}(X^{n})}{Imβ_{n+1}}  (2.9)

En substituant les formules (2.5) et (2.6) dans la relation (2.9) il vient que:

π_{n}(X^{n+1}) ≅ \frac{Γ_{n} ⊕ ker β_{n}}{Imb_{n+1} + Imφ_{n} ⊕ Imd_{n+1}}

où encore :

π_{n}(X^{n+1}) ≅ \frac{Cokerb_{n+1} ⊕ ker β_{n}}{Im\overline{φ_{n}} ⊕ Imd_{n+1}}

et enfin, puisque π_{n}(X) = π_{n}(X^{n+1}), on peut donc écrire:

π_{n}(X) ≅ \frac{Cokerb_{n+1} ⊕ ker β_{n}}{Im\overline{φ_{n}} ⊕ Imd_{n+1}} .

ce qui achève la démonstration □

3. Systèmes d’homotopie d’ordre n

Dfinition 1. Un système d’homotopie d’ordre n est la donnée d’un quadruple (C_{∗}, X^{n}, b_{n+1}, π_{n}) constitué des données suivantes :

1- X^{n} est un CW-complexe simplement connexe de dimension n.

2- C_{∗} = (C_{i})_{i⩾2} est un complexe de chaîne tel que :

C_{i} ≅ π_{i}(X^{i}, X^{i−1}) pour i ⩽ n

autrement dit le complexe de chaîne

C_{n} → C_{n−1} → ⋯ → C_{2} ,

coincide avec le complexe de chaîne cellulaire de X.

3- b_{n+1} est un homomorphisme de groupes abéliens

b_{n+1} : H_{n+1}(C_{∗}) → Γ_{n} ⊂ π_{n}(X^{n}).

4- π_{n} est une extension telle que :

π_{n} ∈ Ext(H_{n}(C_{∗}), Cokerb_{n+1}).

5- L’application composée suivante:

C_{n+1} ⟶^{d_{n+1}} C_{n} ≅ π_{n}(X^{n}, X^{n−1}) ⟶^{β_{n}} π_{n}(X^{n})  (3.1)

est triviale. Autrement dit β_{n} ∘ d_{n+1} = 0.

Rappellons que le sous-groupe Γ_{n} est donné par la formule (2.2).

Dfinition 2. Un morphisme entre deux systèmes d’homotopie d’ordre n, (C_{∗}, X^{n}, b_{n+1}, π_{n}) et (C_{∗}, Y^{n}, bn+1^{′}, πn^{′}) est la donnée d’un couple (ξ, η) constitué des données suivantes :

1- η : X^{n} → Y^{n} est une application cellulaire

2- ξ_{∗} : C_{∗} → C∗^{′} est une transformation de chaîne telle que ξ_{i⩽n} coincide avec celle induite par η

ξ_{i} : C_{i} → Ci^{′} , i ⩾ n + 1.

Ces deux données sont soumises aux deux conditions suivantes:

1- π_{n}(η) ∘ b_{n+1} = bn+1^{′} ∘ f_{n+1}

2- (H_{n}(ξ_{∗}))^{∗}(π_{n}) = (\overline{γ_{n}^{η}})_{∗}(π_{n})

où les deux homomorphismes (H_{n}(ξ_{∗}))^{∗}, (\overline{γ_{n}^{η}})_{∗} sont ceux induits respectivement par les homomorphismes H_{n+1}(ξ_{∗}) et \overline{γ_{n}^{η}}. Autrement dit:

(H_{n}(ξ_{∗}))^{∗} : Ext(H_{n}(C′_{∗}), Cokerbn+1^{′}) → Ext(H_{n}(C_{∗}), Cokerbn+1^{′})
(\overline{γ_{n}^{η}})_{∗} : Ext(H_{n}(C_{∗}), Cokerb_{n+1}) → Ext(H_{n}(C_{∗}), Cokerbn+1^{′}).

Remarque 5. Exprimons autrement la condition (2). Soient:

0 → (Imd_{n+1})′ ⟶^{d_{n+1}} ker d_{n} ↠ H_{n}
0 → (Imdn+1^{′})′ ⟶^{d′_{n+1}} ker dn^{′} ↠ Hn^{′}

deux résolutions libres respectivement de H_{n} et Hn^{′}. A la donnée des extensions π_{n} et πn^{′} et des homomorphismes γ_{n}^{η} et f_{n+1} correspondent les diagrammes suivants:

[figure: 0 → (Imd_{n+1})′ ⟶^{d_{n+1}} ker d_{n} ↠ H_{n}; 0 → (Imdn+1^{′})′ ⟶^{d′_{n+1}} ker dn^{′} ↠ Hn^{′}; 0 → (Imd_{n+1})′ ⟶^{d_{n+1}} ker d_{n} ↠ H_{n}; Cokerb′_{n+1}; Cokerb_{n+1}; \overline{φ_{n}}; Cokerb′_{n+1}; \overline{γ_{n}^{η}}; \overline{φ′_{n}}; ξ_{n+1}]

où [\overline{φ}_{n}] = π_{n} , [\overline{φ}n^{′}] = πn^{′} et où \overline{γ_{n}^{η}} est l’homomorphisme induit par γ_{n}^{η} sur le sous-groupe quotient Cokerb_{n+1}.

Or les homomorphismes (\overline{γ_{n}^{η}})_{∗} et (H_{n}(ξ_{∗}))^{∗} dont définis par les deux formules suivantes:

(\overline{γ_{n}^{η}})_{∗}(π_{n}) = [\overline{γ_{n}^{η}} ∘ φ_{n}]

(H_{n}(ξ_{∗}))^{∗}(πn^{′}) = [φn^{′} ∘ ξ_{n}]

La condition (2) est donc équivalente à la relation:

[\overline{γ_{n}^{η}} ∘ φ_{n}] = [φn^{′} ∘ ξ_{n+1}] dans Ext(H_{n}(C_{∗}), Cokerbn+1^{′})

où encore que l’homomorphisme:

\overline{γ_{n}^{η}} ∘ φ_{n} − φn^{′} ∘ ξ_{n+1} : (Imd_{n})′ ⟶ Cokerbn+1^{′}

se prolonge au sous-groupe ker d_{n}.

Désignons par H_{n} la catégorie dont les objets sont les systèmes d’homotopie d’ordre n et leurs morphismes et par H_{n}^{n+1} la sous-catégorie de H_{n} constituée des systèmes d’homotopie d’order n (C_{∗}, X^{n}, b_{n+1}, π_{n}) vérifiant C_{i} = 0 pour tout i ⩾ n + 2.

Dfinition 3. Soient (ξ, η) et (ξ′, η′) deux morphismes dans la catégorie H_{n}. On dit que (ξ, η) et (ξ′, η′) sont homotopes, et on note (ξ, η) ≃ (ξ′, η′), si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

- η and η′ sont homotopes antant qu’applications cellulaires.

- Il existe des homomorphismes de groupes abéliens

α_{j} : C_{j} → Cj+1^{′} , j ⩾ n + 1

vérifiant la relation suivante :

dj+2^{′} ∘ α_{j+1} = α_{j} ∘ d_{j+1} , j ⩾ n + 1

Désignons par H_{n}⧸_{≃} (respect. par H_{n}^{n+1}⧸_{≃}) la catégorie dont les objets sont les objets de H_{n} (respect. de H_{n}^{n+1}) et dont les morphismes sont les classes d’homotopie {(ξ, η)} des morphismes (ξ, η) de H_{n}.(respect. de H_{n}^{n+1}).

3.1. Foncteur λ_{n}

La suite exacte de Whitehead introduite dans la section précédente nous permet de définir une fonction

λ_{n} : ObCW_{1}⧸_{≃} ⟶ ObH_{n}⧸_{≃}

comme suit :

soit X un CW-complexe simplement connexe. En vertu du chapitre précédent la suite exacte de Whitehead associée à X s’écrit :

⋯ ⟶ H_{n+1}(X, ℤ) ⟶^{b_{n+1}} Γ_{n} ⟶ π_{n}(X) ⟶ H_{n}(X, ℤ) ⟶ ⋯

cette suite nous fournie donc l’ homomorphisme b_{n+1} : H_{n+1}(X, ℤ) ⟶ Γ_{n} et la suite exacte courte Cokerb_{n+1} ↣ π_{n}(X^{n+1}) ↠ ker b_{n}. Or d’après la proposition (1) on a:

π_{n}(X) ≅ \frac{Cokerb_{n+1} ⊕ ker β_{n}}{Im\overline{φ_{n}} ⊕ Imd_{n+1}} .

Puisque la relation (2.8) implique que ker β_{n} ⊂ ker d_{n} alors posons:

π_{n} = [\frac{Cokerb_{n+1} ⊕ ker d_{n}}{Im\overline{φ_{n}} ⊕ Imd_{n+1}} ]  (3.2)

où \overline{φ_{n}} : (Imd_{n+1})′ →^{φ_{n}} Γ_{n} ↠Cokerb_{n+1}, de sorte que:

π_{n} ∈ Ext(H_{n}(X, ℤ), Cokerb_{n+1}),

ce qui nous permet de définir la fonction λ_{n} par la formule:

λ_{n}(X) = (C_{∗}(X), X^{n}, b_{n+1}, π_{n})

où C_{∗}(X) est le complexe de chaîne cellulaire associé à X.

Soit {η} : X → Y un morphisme dans CW_{1}⧸_{≃}. Nous avons vu que l’application continue η induit un diagramme commutative entre les suites exactes de Whitehead associées respectivement à X et Y. D’où η induit la relation (2.7). Par conséquent on définit ΓCW_{1} comme étant la sous-catégorie de CW_{1} dont les morphismes sont les applications cellulaires η vérifiant la condition suivante:

Pour tout n ⩾ 2 on a:

[\overline{γ_{n}^{η}} ∘ φ_{n}] = [φn^{′} ∘ ξ_{n}] dans Ext(H_{n}(X, ℤ), Cokerbn+1^{′}).  (3.3)

Rappellons que cette condition veut dire que l’homomorphisme:

\overline{γ_{n}^{η}} ∘ φ_{n} − φn^{′} ∘ ξ_{n} : (Imd_{n+1})′ ⟶ Cokerbn+1^{′}

qui se prolonge à ker β_{n} par la remarque (4), peut-être aussi prolonger à ker d_{n}. Par conséquent on définit le foncteur Γ_{n} : ΓCW_{1}⧸_{≃}→ H_{n}⧸_{≃} en posant:

λ_{n}(X) = (C_{∗}(X), X^{n}, b_{n+1}, π_{n})
λ_{n}({η}) = {(ξ_{∗}, η_{⧸X^{n}})}

où η_{⧸X^{n}} désigne la restriction de l’application η au n-squelette X^{n} et où ξ désigne la transformation de chaîne induite par l’application η sur les complexes de chaîne cellulaires associées respectivement à X et Y.

Notons que la condition (3.3) implique que le morphisme (ξ_{∗}, η_{⧸X^{n}}) satisfie les deux conditions qui définissent les morphismes dans H_{n}.

Si on désigne par ΓCW_{1}^{n+1} la sous-catégorie de ΓCW_{1} dont les objets sont les CW-complexes X^{n+1} de dimension n + 1, alors on peut aussi consider le foncteur λ_{n}^{n+1} : ΓCW_{1}^{n+1}⧸_{≃}→ H_{n}^{n+1}⧸_{≃} donné par la formule:

λ_{n}^{n+1}(T (V_{⩽n+2}, ∂)) = (C_{⩽n+1}(X), X^{n}, b_{n+1}, π_{n})
λ_{n}^{n+1}({η}) = {(ξ_{⩽n+1}, η_{⧸X^{n}})}.

Remarquons que λ_{n}^{n+1} n’est autre que la restriction du foncteur λ_{n} à la souscatégorie ΓCW_{1}^{n+1}⧸_{≃}.

Nous abordons maintenant l’étude des foncteurs λ_{n} et λ_{n}^{n+1}.

Théorème 4. Une application cellulaire est une équivalence d’homotopie dans CW_{1}^{n+1} (autrement dit un isomorphisme dans la catégorie ΓCW_{1}^{n+1}⧸_{≃}) si et seulement si son image par le foncteur λ_{n} est un isomorphisme dans H_{n}⧸_{≃}.

Preuve. Soit {η} : X^{n+1} → Y^{n+1} un morphisme dans la catégorie CW_{1}^{n+1}⧸_{≃}. Si {η} est un isomorphisme alors il vient que η : X^{n+1} → Y^{n+1} est une équivalence d’homotopie, d’où η⧸_{X^{n}} et la transformation de chaîne ξ_{∗} sont aussi respectivement une équivalence d’homotopie est un isomorphisme de groupes abéliens. Par conséquent on déduit que λ_{n}({(ξ, η)}) est un isomorphisme dans la catégorie H_{n}⧸_{≃}.

Inversement si λ_{n}({(ξ, η)}) est un isomorphisme dans H_{n}⧸_{≃} alors il vient que η⧸_{X^{n}} : X^{n} → Y^{n} est une équivalence d’homotopie.

En outre, puisque X^{n+1} est un CW-complexe de dimension n + 1 , son complexe de chaîne cellulaire s’écrit :

0 → π_{n+1}(X^{n+1}, X^{n}) →^{d_{n+1}} π_{n}(X^{n}, X^{n−1}) →^{d_{n}} π_{n−1}(X^{n−1}, X^{n−2}) → ⋯

Par hypothèse λ_{n}({(ξ, η)}) est un isomorphisme dans H_{n}⧸_{≃} ceci implique que la transformation de chaîne (ξ_{i})_{i⩽n+1}, où ξ_{i} = π_{i}(η) : π_{i}(X^{i}, X^{i−1}) → π_{i}(Y^{i}, Y^{i−1}) induit un isomorphisme en homologie:

H_{∗}(η) : H_{∗}(X^{n+1}, ℤ) → H_{∗}(Y^{n+1}, ℤ).

Enfin le théorème de Whitehead assure que η est donc une équivalence d’homotopie □ Théorème 5. Pour tout système d’homotopie (C_{⩽n+1}, X^{n}, b_{n+1}, π_{n}) d’ordre n dans H_{n}^{n+1}, il existe un CW-complexe X^{n+1}de dimension n + 1 tel que:

λ_{n}^{n+1}(X^{n+1}) = (C_{⩽n+1}, X^{n}, b_{n+1}, π_{n})  (3.4)

Preuve. Choisissons (Imd_{n+1})′ ↣ ker d_{n} ↠ H_{n}, comme une résolution libre du

groupe abélien H_{n}. L’inclusion ker b_{n} ↪^{i} H_{n}(C_{⩽n+1}) induit l’homomorphisme:

Ext(H_{n}(C_{⩽n+1}), Cokerb_{n+1}) ⟶^{i_{∗}} Ext(ker b_{n}, Cokerb_{n+1}).

A la donnée de l’extension π_{n} ∈Ext(H_{n}(C_{⩽n+1}),Coker b_{n+1}) correspond le diagramme commutatif suivant:

Γ_{n}  Cokerb′_{n+1} φ_{n} (Imd_{n+1})′ ↣ ker d_{n} ↠ H_{n} [figure] \overline{φ_{n}}

où:

[\overline{φ_{n}}] = [\frac{Cokerb_{n+1} ⊕ ker β_{n}}{Im\overline{φ_{n}} ⊕ Imd_{n+1}} ] = π_{n}.  (3.5)

De la relation β_{n} ∘ d_{n+1} ( voir (3.1) ) on déduit l’existence d’un homomorphisme d̃_{n+1} faisant commuter le diagramme suivant:

C_{n+1}  C_{n} ≅ π_{n}(X^{n}, X^{n−1}) ⟶^{β_{n}} π_{n−1}(X^{n−1}) d_{n+1}  π_{n}(X^{n}) [figure] d̃_{n+1}  j_{n}

A l’aide de la décomposition en somme directe du groupe abélien:

C_{n+1} ≅ (Imd_{n+1})′ ⊕ ker d_{n+1}

et en choisissant (z_{n+1}, σ)_{σ∈∑} ( respect. (l_{n+1}, σ′)_{σ′ ∈∑′} ) comme étant une base

du groupe abélien libre ker d_{n+1} ( respect. du groupe abélien libre (Imd_{n+1})′), nous allons attacher au CW-complexe X^{n} des cellules de dimension n+1 via l’application d’attachement suivante:

α : ∨ ; σ∈∑S_{z_{n+1},σ}^{n} ∨ ∨ ; σ′ ∈∑′S_{l_{n+1},σ′}^{n} → X^{n}

définie par les deux relations:

[α⧸_{S_{z_{n+1},σ}^{n}}] = b_{n+1}(\overline{z_{n+1,σ}}) ∈ π_{n}(X^{n})
[α⧸_{S_{l_{n+1},σ′}^{n}} ] = φ_{n}(l_{n+1,σ′}) + d̃_{n+1}(l_{n+1,σ′}) ∈ π_{n}(X^{n})

où α⧸_{S_{z_{n+1},σ}^{n}} ( respect. α⧸_{S_{l_{n+1},σ′}^{n}}) désigne la restriction de l’application α

à la (n + 1)-sphère S_{z_{n+1},σ}^{n} ( respect. à la (n + 1)-sphère S_{l_{n+1},σ′}^{n}) de sorte que l’homomorphisme β_{n+1} : C_{n+1} → π_{n}(X^{n}) satisfait la relation:

β_{n+1}(z_{n+1,σ} + l_{n+1,σ′}) = b_{n+1}(\overline{z_{n+1,σ}}) + φ_{n}(l_{n+1,σ′}) + d_{n+1}(l_{n+1,σ′})  (3.6)

Posons X^{n+1} ≃ C_{α} ( C_{α} étant le cône de l’application α ). Nous allons montrer maintenant que la formule (3.4) est vérifiée. En effet il est clair que le complexe de chaîne cellulaire associé à X^{n+1} s’identifie au complexe C_{⩽n+1} et que le n-squelette du CW-complexe X^{n+1} est X^{n} d’où:

λ_{n+1}(X^{n+1}) = (C_{⩽n}, X^{n}, bn+1^{′}, πn^{′}).

Reste maintenant a démontrer que bn+1^{′} = b_{n+1} et π_{n} = πn^{′}. En effet d’après la définition du foncteur λ_{n}^{n+1}, d’une part l’homomorphisme bn+1^{′} est défini par :

bn+1^{′}(\overline{z_{n+1,σ}}) = β_{n+1}(z_{n+1,σ}) = b_{n+1}(\overline{z_{n+1,σ}})

d’où bn+1^{′} = b_{n+1}. D’autre part d’après la proposition (1), l’extension πn^{′} vérifie :

πn^{′} ≅ [\frac{Cokerb_{n+1} ⊕ ker β_{n}}{Im\overline{φ_{n}} + Imd_{n+1}} ]

d’où d’après la relation (3.5) en déduit que :

π_{n} = πn^{′} ∈ Ext(H_{n}(C_{⩽n+1}), Cokerb_{n+1})

ce qui achève la démontration □

Dfinition 4. La paire (b_{n+2}, π_{n+1}) est appelée un couple adapté au CW-complexe X^{n}.

Dfinition 5. Une application entre deux CW-complexes X^{n} et Y^{n} de dimension n est dite n-diagonale si elle applique le (n − 1)-squelette X^{n−1} de X^{n} sur le (n − 1)-squelette Y^{n−1} de Y^{n} et les cellules de dimension n de X^{n} sur les cellules de dimension n de Y^{n}.

Lemme 1. Si η : X^{n} → Y^{n} est une application n-diagonale alors en tenant compte de la décomposition en somme directe de π_{n}(X^{n}) ≅ Γ_{n}⊕ ker b_{n} (respect. π_{n}(Y^{n}) ≅ Γn^{′}⊕ ker bn^{′}), l’homomorphisme π_{n}(η) se décompose en:

π_{n}(η) = γ_{n}^{η} ⊕ ξ_{n}  (3.7)

où γ_{n}^{η} est l’homomorphisme induit par η sur le sous-groupe Γ_{n} et où ξ_{n} : ker β_{n} → ker βn^{′} est la transformation de chaîne induite par η sur les complexes de chaîne cellulaires.

Preuve. (triviale)

Théorème 6. Soit X^{n+1} et Y^{n+1} deux CW-complexes et soit:

(ξ_{∗}, η) : λ_{n}^{n+1}(X^{n+1}) → λ_{n}^{n+1}(Y^{n+1})

un morphisme dans la catégorie H_{n}^{n+1} tel que l’application η soit n-diagonale, alors il existe une application (n+1)-diagonale \overline{η} : X^{n+1} → Y^{n+1} vérifiant :

H_{i}(\overline{η}) = H_{i}(η) pour tout i ⩽ n  (3.8)
H_{n+1}(\overline{η}) = H_{n+1}(ξ_{∗}) .

Dans le but de démontrer ce thèorème, considérons le diagramme suivant:

π_{n+1}(X^{n+1}, X^{n})  π_{n+1}(Y^{n+1}, Y^{n}) [figure] [figure]  [figure] [figure] ξ_{n+1} β_{n+1}  β′_{n+1} j_{n}  j′_{n} d′_{n+2} d_{n+2} π_{n}(X^{n}, X^{n−1})  π_{n}(Y^{n}, Y^{n−1}) ξ_{n} π_{n}(η) π_{n}(X^{n})  π_{n}(Y^{n})

(a)- où les triangles de gauche et de droite commutent par définition des différen-

tielles d_{n+1} et dn+1^{′}.

(b)- où le trapèze inférieur commute par la donnée de l’application η.

(c)- où le carré central commute car ξ_{∗} est une transformation de chaîne.

Puisque jn^{′}(π_{n}(η) ∘ β_{n+1} − βn+1^{′} ∘ ξ_{n+1}) = 0, on déduit que :

Im(π_{n}(η)β_{n+1} − βn+1^{′}ξ_{n+1}) ⊂ Γn^{′}.

Commençons par donner le lemme crucial suivant:

Lemme 2. Il existe un homomorphisme de groupes abéliens g_{n} : C_{n} → Γn^{′} vérifiant :

π_{n}(η) ∘ β_{n+1} − βn+1^{′} ∘ ξ_{n+1} = g_{n} ∘ d_{n+1} (mod Imbn+1^{′})  (3.9)

Preuve. Puisque η est n-diagonale alors les relations (2.6) et (3.7) nous permettent d’écrire d’une manière explicite l’homomorphisme H_{n}(α^{n}) ∘ β_{n+2} − βn+2^{′} ∘ ξ_{n+2} et par conséquent il vient que:

H_{n}(α^{n}) ∘ β_{n+2} − βn+2^{′} ∘ ξ_{n+2} = γ_{n}^{α^{n}} ∘ φ_{n} − φn^{′} ∘ ξ_{n+2}

En tenant compte de la condition (2), définissant les morphismes dans la catégorie H_{n} et la remarque (5), il existe donc un homomorphisme g_{n} faisant commuter le diagramme commutative suivant:

Γ′_{n}  Cokerb′_{n+2} γ_{k}^{α^{n}}φ_{n} − φn^{′}ξ_{n+2}  g_{n} 0  (Imd_{n+2})′  ker d_{n+1} [figure] d_{n+2}

Puisque ker d_{n} est un facteur directe du groupe abélien C_{n} (voir (2.5)) alors on peut prolonger g_{n} à C_{n} et le lemme est donc prouvé □

Preuve du théorème (6) D’après le lemme (2) on a:

(H_{n}(η) − g_{n}j_{n}) ∘ β_{n+1} − βn+1^{′} ∘ ξ_{n+1} = 0 (mod Imbn+1^{′}).

Par suite, V_{n+1} étant libre, il existe un homomorphisme λ_{n+1} faisant commuter le triangle suivant:

ker d′_{n+1} [figure] V_{n+1}  Im b′_{n+1} ⊂ Γn^{′}^{(π_{k}(η) − h_{n}j_{n})β_{n+1} − β′_{n+1}ξ_{k+2}}^{λ_{n+1}}  ^{β′_{n+1}}

Ainsi la formule (3.9) devient:

(π_{n}(η) − h_{n}j_{n}) ∘ β_{n+1} − βn+1^{′} ∘ ξ_{n+1} = βn+1^{′} ∘ λ_{n+1}.  (3.10)

Remarque 6. Puisque l’homomorphisme (π_{n}(η) − g_{n}j_{n}) ∘ β_{n+1} − βn+1^{′} ∘ ξ_{n+1} est nul sur ker d_{n}, l’homomorphisme λ_{n} peut être choisi nul sur ker dn^{′}.

Définissons l’application \overline{η} : X^{n+1} → Y^{n+1} de la façon suivante: Sur le n-squelette X^{n} de X^{n+1}, \overline{η} est définie en perturbant l’application η de la

manière suivante:

représentons X^{n} comme une union disjointe de son (n − 1)-squelette et de ses cellules de dimension n, autrement dit:

X^{n} = X^{n−1} ∨ ( ∪ ; e∈∑_{n}e_{z_{n,σ}}^{n}) ∨ ( ∪ ; σ∈∑′_{n}e_{l_{n,σ′}}^{n})

\overline{η} est définie donc par ses restrictions suivantes:

\overline{η}_{⧸X^{n−1}} = η
\overline{η}_{⧸_{∨ ; σ′ ∈∑′_{n}}e_{l_{n,σ′}}^{n}} = η
\overline{η}_{⧸_{∨ ; σ∈∑_{n}}e_{zn,σ}^{n}} = η ∨ α_{h_{n}}

où l’application η ∨ α_{h_{n}} est définie comme suit:

L’existence de l’homomorphisme h_{n} nous permet de définir, à homotopie près, une application:

α_{h_{n}} : ∨ ; σ∈∑_{n}e_{z_{n,σ}}^{n} → Y^{n−1} ⊂ Y^{n}

en posant [α_{h_{n}}(e_{z_{n,σ}}^{n})] = −h_{n}(z_{n,σ}).

Puisque η est une application n-diagonale donc elle applique les cellules de dimension n de X^{n} sur les cellules de dimension n de Y^{n} ce qui nous permet de définir l’application:

η ∨ α_{h_{n}} : ∨ ; σ∈∑_{n}e_{z_{n,σ}}^{n} → Y^{n−1} ∨ ∨ ; σ′ ∈∑′_{n}e_{z′_{n,σ′}}^{n} .

De sorte que l’homomorphisme π_{n}(\overline{η}) : π_{n}(X^{n}) → π_{n}(Y^{n}), induit par η, satisfait la relation:

π_{n}(\overline{η}) = π_{n}(η) − h_{n}j_{n}.

Reste maintenant a définir \overline{η} sur les cellules de dimension n + 1.

A cet effet, représentons X^{n+1} en fonction de son n-squelette X^{n} et de ses cellules de dimension n + 1:

X^{n+1} = X^{n} ∨ ∨ ; σ∈∑_{n+1}e_{z_{n+1,σ}}^{n+1} ∨ ∨ ; σ′ ∈∑′_{n+1}e_{l_{n+1,σ′}}^{n+1}

On définit \overline{η} par ses restrictions en posant :

\overline{η}_{⧸_{∨ ; σ∈∑_{n+1}}e_{z_{n+1,σ}}^{n+1}} = α_{ξ_{n+1}}
\overline{η}_{⧸_{∨ ; σ′ ∈∑{′ \atop n+1}}e_{l_{n+1,σ′}}^{n+1}} = α_{λ_{n+1}}

où l’application:

α_{ξ_{n+1}} : ∨ ; σ∈∑_{n+1}e_{z_{n+1,σ}}^{n+1} → Y^{n+1}

est définie, à homotopie près, par la relation:

[α_{ξ_{n+1}}(e_{z_{n+1,σ}}^{n+1})] = ξ_{n+1}(z_{n+1,σ})

et où l’application:

α_{λ_{n+1}} : ∨ ; σ′ ∈∑′_{n+1}e_{l_{n+1,σ′}}^{n+1} → Y^{n+1}

est définie à homotopie près et vérifiant la relation:

[α_{λ_{n+1}}(e_{l_{n+1,σ′}}^{n+1} )] = λ_{n+1}(l_{n+1,σ′}).

Enfin, d’après la construction de l’application \overline{η}, il est clair que celle-ci est une application (n+1)-diagonale et que l’homomorphisme gradué, induit par \overline{η} en homologie, H_{∗}(\overline{η}) : H_{∗}(X^{n+1}, ℤ) → H_{∗}(Y^{n+1}, ℤ) vérifie les relations (3.8) □

4. La catégorie Γ-Système :

4.1. Notion de Γ-système :

En gros, la catégorie Γ-système est la catégorie dont les objets sont les suites exactes longues qui sont condidates a être les suites exactes de Whitehead associées aux CW-complexes.

Soit donné un groupe abélien gradué (H_{n})_{n⩾2} et soit (C_{∗}, d) un complexe de chaîne vérifiant H_{∗}(C_{∗}, d) = H_{∗}.

Dfinition 6. Un Γ-système est la donnée d’un triplet (H_{n}, b_{n+2,}π_{n})_{n⩾2} où, pour tout n ⩾ 2, (b_{n+2}, π_{n}) est un couple adapté (voir la définition (4)) au CW-complexe X^{n} qui est construit apartir de X^{2} = ∨_{α∈∧}S_{C_{α}}^{2} , où (C_{α})_{α∈∧} est une base du groupe

abélien libre C_{2} et les paires (b_{k+1,}π_{k})_{2⩽k⩽n−1} selon le théorème (5).

Explicitement on commence par prendre X^{2} = ∨_{α∈∧}S_{C_{α}}^{2}, selon le théorème (5)

le couple adapté (b_{4}, π_{3}) nous permet d’attacher des 3-cellules à l’espace X^{2} en donnant l’espace X^{3} et ainsi de suite...

Supposons maintenant avoir construit un CW-complexe X^{n} par le procédé inductif précédent, alors (b_{n+2}, π_{n+1}) est un couple adapté à l’espace X^{n}, permettant donc d’attacher à celui-ci des (n + 1)-cellules pour obtenir l’espace X^{n+1} toujours selon le théorème (5).

Ainsi l’itération de ce procédé nous permet de construire un CW-complexe X ayant la propriété suivante:

pour tout n ⩾ 2 on a:

Γ_{n}(X) = (C_{∗}, X^{n}, b_{n+1}, π_{n}).

Dfinition 7. Le CW-complexe construit précédement est dit espace associé au Γsystème (H_{n}, b_{n+2}, π_{n+1})_{n⩾2}.

Notons que X n’est pas unique mais nous montrerons ultérieurement qu’il l’est à homotopie près.

4.2. Notion de Γ-morphisme

Soient (H_{n}, b_{n+2}, π_{n+1})_{n⩾2}, (Hn^{′}, bn+2^{′}, πn+1^{′})_{n⩾2} deux Γ-systèmes et soit f_{∗} :

H_{∗} → H∗^{′} un homomorphisme de groupes abéliens. On dit que f_{∗} est un Γ-morphisme si f_{∗} satisfie les conditions inductives suivantes:

soient X et Y deux CW-complexes associés respectivement aux deux Γ-systèmes donnés. En vertu du théorème de classification des homotopies [16] et [17], il existe une transformation de chaîne ξ_{∗} : (C_{∗}, d) → (C′_{∗}, d′) vérifiant H_{∗}(ξ_{∗}) = f_{∗}. Commençons par considérer l’application continue:

α^{2} : X^{2} = ∨_{α∈∧}S_{C_{α}}^{2} → Y^{2} = ∨_{α∈∧′}S_{C′_{α}}^{2}

définie, à homotopie près, par la relation:

H_{2}(α^{2}) = ξ_{2} .

Si (ξ_{∗}, α^{2}) est un morphisme dans la catégoie H_{2}^{3}, alors α^{2} est 2-diagonale (par construction) par suite le théorème (6) nous permet de construire une application continue, 3-diagonale, α^{3} : X^{3} → Y^{3}.

Supposons maintenant avoir construit une application continue, n-diagonale, α^{n} : X^{n} → Y^{n} via le procédé décrit ultérieurement et vérifiant la relation:

H_{i}(α^{n}) = f_{i} for all i ⩽ n.

Si (ξ_{∗}, α^{n}) est un morphisme dans H_{n}^{n+1}, alors le théorème (6) nous permet donc de construire une application continue, (n + 1)-diagonale, α^{n+1} : X^{n+1} → Y^{n+1} vérifiant:

H_{i}(α^{n+1}) = f_{i} for all i ⩽ n + 1.

Ainsi en itérant ce procédé pour tout n ⩾ 2, on construit une application continue α : X → Y ayant les propriétés suivantes:

1- H_{i}(α^{n}) = f_{∗}.

2- Pour tout n ⩾ 2, (ξ_{∗}, α^{n}) est un morphisme dans la catégorie H_{n}.

3- Pour tout n ⩾ 2, α^{n} est n-diagonale.

Dfinition 8. Un homomorphisme gradué f_{∗} : H_{∗} → H∗^{′} vérifiant les conditions inductives précédentes pour tout n ⩾ 2, est appelé un Γ-morphisme. L’application cellulaire α construite précédement est dite application associée au Γ-morphisme f_{∗}.

Remarque 7. Il est clair que l’application associée au Γ-morphisme f_{∗} est un morphisme dans ΓCW_{1}.

4.3. La catégorie Γ−Système Dfinition 9. La catégorie Γ-Système est définie comme suit:

Objets: se sont les Γ-systèmes de la définition (6)

Morphisms: se sont les Γ − morphismes de la définition (8).

4.4. Le foncteur Γ

Rappellons que nous avons défini ΓCW_{1} comme étant la sous-catégorie de CW_{1} dont les morphisms sont les applications cellulaires α : X ⟶ Y satisfaisant la condition suivante:

pour tout n ⩾ 2 :

[\overline{γ_{n}^{α}} ∘ φ_{n}] = [φn^{′} ∘ ξ_{n+1}] in Ext(H_{n+1}(X, ℤ), Cokerbn+2^{′}).  (4.1)

On définit le foncteur Γ : ΓCW_{1}⧸_{≃}→ Γ-Système en posant:

Γ(X) = (H_{n}(X, ℤ), b_{n+2}, π_{n+1})_{n⩾2}
Γ({α}) = H_{∗}(α)

où le Γ-système (H_{n}(X, ℤ), b_{n+2}, π_{n+1})_{n⩾2} est donné par la suite exacte de Whitehead associée au CW-complexe X (voir la définition du foncteur Γ_{n} dans la section 3). Rappellons que la condition (4.1) implique que l’homomorphisme gradué H_{∗}(α) est un Γ-morphisme.

4.5. Propriétés du foncteur Γ Nous commençons par la proposition suivante:

Proposition 2. Soient X et Y deux objets dans CW_{1}. Si les deux Γ-systèmes (H_{n}(X, ℤ), b_{n+2}, π_{n+1})_{n⩾2} et (H_{n}(Y, ℤ), b′_{n+2}, π′_{n+1})_{n⩾2} qui sont associés respectivement à X et Y sont isomorphes dans leur catégorie alors les deux espaces X et Y ont le même type d’homotopie.

Preuve. Soit f_{∗} : (H_{n}(X, ℤ), b_{n+2}, π_{n+1})_{n⩾2} ⟶ (H_{n}(Y, ℤ), b′_{n+2}, π′_{n+1})_{n⩾2} un isomorphisme dans Γ-Système et soit α : X ⟶ Y l’application associée au Γmorphisme f_{∗} (voir la définition (8)). Puisque H_{∗}(α) = f_{∗} alors la preuve découle du théorème de Whitehead □

En suivant H.J. Baues dans [5], soient A et B deux catégories et soit F : A → B un foncteur .

On dit que le foncteur F est un “ detecting functor ” si les conditions suivantes sont vérifiées :

1 - Un morphisme α : A_{1} → A_{2} dans la catégorie A est un isomorphisme si et seulement si F (α) : F (A_{1}) → F (A_{2}) l’est dans la catégorie B.

2 - Pour tout objet B dans B il existe un objet A dans A tel que F (A) = B. 3 - Soient A_{1} et A_{2} deux objets dans A et soit β : F (A_{1}) → F (A_{2}) un morphisme

dans B, alors il existe un morphisme α : A_{1} → A_{2} vérifiant F (α) = β.

Nous abordons maintenant l’étude du foncteur Γ : ΓCW_{1}⧸_{≃}→Γ-Système et nous montrons que celui-ci satisfait toutes les propriétés qui définissent un “detecting foncteur ”.

Théorème 7. Une application cellulaire est une équivalence d’homotopie dans ΓCW_{1} si et seulement si son image par le foncteur Γ est un isomorphisme dans Γ-Système.

Preuve. Soit {α} : X → Y un morphisme dans la catégorie CW_{1}⧸_{≃}. Si α : X → Y est une équivalence d’homotopie alors il vient que Γ({α}) = H_{∗}(α) : H_{∗}(X, ℤ) → H_{∗}(Y, ℤ) est un isomorphisme dans la catégorie Γ-Système.

Inversement si Γ({η}) est un isomorphisme dans Γ-Système alors:

H_{∗}(η) : H_{∗}(X, ℤ) → H_{∗}(Y, ℤ)

est un isomorphisme de groupes abéliens gradués et le théorème de Whitehead nous permet donc de conclure □

Théorème 8. A tout Γ-système (H_{n}, b_{n+2}, π_{n+1})_{n⩾2} peut-être associé un CW-complexe X vérifiant:

Γ(X) = (H_{n}, b_{n+2}, π_{n+1})_{n⩾2}

Preuve. Il suffit de prendre un CW-complexe associé au Γ-système donné (voir la définition (7)) □

Théorème 9. A tout Γ-morphisme f_{∗} : (H_{∗}, b_{n+1}, π_{n})_{n⩾3} → (H∗^{′}, bn+1^{′}, π′_{n})_{n⩾3}

peut-être associé un morphisme α : X → Y dans ΓCW_{1} vérifiant:

Γ({α}) = f_{∗} = H_{∗}(α)

Homology, Homotopy and Applications, vol. 5(1), 2003 118

Preuve. Il suffit de prendre l’application associée au Γ-morphisme (voir la définition (8)) □

En résumant toutes ces propriétés du foncteur Γ on obtient le théorème suivant: Théorème 10. Le foncteur Γ est un “ detecting functor ”.

Comme corollaire du théorème (10), nous déduisons le résultat suivant: Théorème 11. (Théorème de classification dans la catégorie ΓCW_{1}⧸_{≃}) Théorème 12. Les types d’homotopie dans la catégorie ΓCW_{1} sont en bijection avec les classes d’isomorphisme dans la catégorie Γ-Système.

La proposition suivante nous permet d’identifier la sous-catégorie ΓCW_{1} à la catégorie CW_{1}. Proposition 3. Soient X et Y deux CW-complexes simplement connexes et soient:

⋯ → H_{n+1}(X, ℤ) ⟶^{b_{n+1}} Γ_{n} ⟶ π_{n}(X) ⟶^{h_{n}} H_{n}(X, ℤ) ⟶ ⋯
⋯ → H_{n+1}(Y, ℤ) ⟶^{b′_{n+1}} Γ′_{n} ⟶ π_{n}(Y) ⟶^{h′_{n}} H_{n}(Y, ℤ) ⟶ ⋯

leurs suites exactes de Whitehead respectives. Si:

Ext(\frac{H_{n}(X, ℤ)}{ker b_{n}},Cokerbn+1^{′}) = 0 pour tout n ⩾ 2  (4.2)

alors la condition (4.1) est vérifiée.

Preuve. De la suite exacte courte suivante et en vertu du second théorème d’isomorphisme des groupes:

ker β_{n} ↣^{i} ker d_{n} ↠ \frac{ker d_{n}}{ker β_{n}} ≅ \frac{H_{n}(X, ℤ)}{ker b_{n}}

on deduit que:

Ext(\frac{H_{n}(X, ℤ)}{ker b_{n}}, Cokerbn+1^{′}) = \frac{Hom(ker β_{n}, Cokerbn+1^{′})}{i^{∗}(Hom(ker d_{n}, Cokerbn+1^{′}))} = 0.  (4.3)

En vertu de la remarque (4) on sait que l’homomorphisme \overline{γ_{n}^{η}} ∘ φ_{n} − φn^{′} ∘ ξ_{n+1} peut-être prolonger à ker β_{n}, d’où la relation (4.3) implique que l’homomorphisme \overline{γ_{n}^{η}} ∘ φ_{n} − φn^{′} ∘ ξ_{n+1} peut-être aussi prolonger à ker d_{n}. Par conséquent la relation (4.2) implique la condition (4.1) □ Corollaire 1. Si la relation (4.2) est satisfaite alors nous avons:

CW_{1}= ΓCW_{1}

Ce corollaire nous permet donc d’énoncer le résultat essentiel de ce travail: Théorème 13. Si la relation (4.2) est satisfaite alors deux CW -complexes simplement connexes ont le même type d’homotopie si et seulement si leurs suites exactes de Whitehead sont isomorphes.

Preuve. Il suffit de remarquer que deux Γ-systèmes sont isomorphes dans leur catégorie si et seulement si les suites exactes de Whitehead associées aux CWcomplexes, qui sont associés aux Γ-systèmes donnés, sont isomorphes.

Exemple: Il existe un seul type d’homotopie d’un CW-complexe X simplement connexe dont l’homologie singulière est donnée par les relations:

H_{2}(X, ℤ) = ℤ_{p} , H_{3}(X, ℤ) = ℤ_{q},
H_{4}(X, ℤ) = ℤ_{s}, H_{i}(X, ℤ) =0 i ⩾ 5

où les entiers p, q et s dont premiers entre eux. En effet le calcul montre que:

Hom(H_{4}(X, ℤ), Γ(H_{2}(X, ℤ))) = Hom(ℤ_{s}, ℤ_{p}) = 0

car d’après les relations (2.3) on a

Γ(ℤ_{p}) = ℤ_{p} = 0.

On déduit donc que l’homomorphisme b_{4} est nul. D’où Cokerb_{4} = Γ(ℤ_{p}) = ℤ_{p} et par suite il vient que:

Ext(H_{3}, Cokerb_{4}) = Ext(ℤ_{q}, ℤ_{p}) = 0

ce qui implique que l’extension π_{3} est nulle.

En conclusion il existe donc qu’un seul Γ-système (H_{∗}, 0, 0) d’où d’après le théorème (4.6) il existe un seul type d’homotopie de tel espace.

References

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Mahmoud Benkhalifa makhalefah@kku.edu.sa, hasy dz@yahoo.fr

Department of Mathematics, Faculty of sciences, King Khalid University, P.O Box 9004, Abha, SAUDI ARABIA.