Journal of Lie Theory Volume 10 (2000) 195–206 C ◯2000 Heldermann Verlag

Transformation de Fourier et endoscopie

Jean-Loup Waldspurger

Communicated by J. Faraut

Résumé. Soient G un groupe réductif connexe défini sur un corps local non archimédien F , et H un groupe endoscopique de G. On note 𝔤 et 𝔥 les algèbres de Lie de G et H. On définit la notion de distribution H -stable sur 𝔤(F). Conjecturalement, il s’agit d’une distribution image par transfert d’une distribution stable sur 𝔥(F). On démontre que l’espace des distributions H -stables sur 𝔤(F) est invariant par transformation de Fourier.

I. Introduction

Soit F un corps local non archimédien de caractéristique nulle, à corps résiduel fini. Si M est un groupe réductif connexe défini sur F, on note par la lettre minuscule 𝔪 son algèbre de Lie; 𝔪_{reg} l’ensemble des X ∈ 𝔪 dont le centralisateur T_{X} dans M est un tore; C_{c}^{∞}(𝔪(F)) l’espace des fonctions sur 𝔪(F) à valeurs complexes, localement constantes et à support compact.

Soient G et G^{∗} des groupes réductifs connexes définis sur F, G^{∗} étant quasi-déployé, φ : G → G^{∗} un torseur intérieur, (H, s, ξ) des données endoscopiques pour G^{∗} (cf.[1] §7). On sait définir un sous-ensemble ouvert 𝔥_{G^{∗}−reg} de 𝔥_{reg} et un facteur de transfert

Δ_{G,H} : 𝔥_{G^{∗}−reg}(F) × 𝔤_{reg}(F) → ℂ

(cf. [5] 2.2,2.3; les définitions sont dues à Langlands et Shelstad). On munit G(F) d’une mesure de Haar, en imposant à ces mesures une condition de compatibilité (cf. [5] 2.5). Soit f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F)). Pour X ∈ 𝔤_{reg}(F), on pose:

J(X, f) = D(X)^{1/2} ∫_{T_{X}(F)\G(F)} f((Ad x^{−1})(X))dx,

où D est le facteur usuel (cf. [5] 1.1). Pour Y ∈ 𝔥_{G^{∗}−reg} , on pose:

J^{G,H}(Y, f) = ∑_{X} Δ(Y, X)J(X, f),

ISSN 0949–5932 / $2.50 ^{_{C} ◯} Heldermann Verlag où X parcourt 𝔤_{reg}(F) modulo la conjugaison par G(F) (on appelle conjugaison l’action adjointe). Fixons une forme bilinéaire ⟨·, ·⟩_{𝔤} sur 𝔤(F), symétrique, non dégénérée et invariante par conjugaison, et un caractère ψ : F → ℂ^{×} continu et non trivial. On peut alors définir dans C_{c}^{∞}(𝔤(F)) la transformation de Fourier f → f̂. On définit par dualité la transformation de Fourier D → D̂ sur l’espace des distributions, noté C_{c}^{∞}(𝔤(F))^{∗} (le dual algébrique de C_{c}^{∞}(𝔤(F))).

Considérons le cas où (H, s, ξ) = (G^{∗}, 1, id). Notons C_{c}^{∞}(𝔤(F))^{G^{∗}−inst} le sous-espace des f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F)) telles que J^{G,G^{∗}}(Y, f) = 0 pour tout Y ∈ 𝔤_{reg}^{∗}(F). Appelons distribution stable une distribution qui annule ce sous-espace C_{c}^{∞}(𝔤(F))^{G^{∗}−inst} . On a prouvé (cf. [5] 1.6) le résultat suivant.

Proposition. La transformée de Fourier d’une distribution stable est une distribution stable.

On se propose de généraliser ce résultat. Revenons au cas où (H, s, ξ) est quelconque. Notons C_{c}^{∞}(𝔤(F))^{H−inst} le sous-espace des f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F)) telles que J^{G,H}(Y, f) = 0 pour tout Y ∈ 𝔥_{G^{∗}−reg}(F). Appelons distribution H -stable une distribution qui annule C_{c}^{∞}(𝔤(F))^{H−inst} . Alors:

Proposition A. La transformée de Fourier d’une distribution H -stable est une distribution H -stable.

Ce résultat est une conséquence des constructions de l’article [5]. De même que la proposition précédente résulte de la conjecture 1.2 de [5] (pour (H, s, ξ) = (G^{∗}, 1, id)), de même la proposition A résulterait de cette conjecture dans le cas général. Mais celle-ci n’est prouvée que sous l’hypothèse (lourde) de la validité du ”lemme fondamental” . Pour se passer de cette hypothèse, on doit légèrement modifier nos constructions et utiliser un résultat de Langlands et Shelstad sur le transfert des éléments unipotents réguliers ([3] th. 5.5 A). Bien sûr, et malheureusement, on n’obtient ainsi que la proposition A et non pas la conjecture 1.2 de [5]. Comme on l’a compris, cet article est une suite à [5] dont nous utiliserons librement les notations et définitions.

II. Réductions

II.1. On note E(F) l’ensemble des données E = (G, G^{∗}, φ, H, s, ξ) comme au §I (cf. [5] 1.1). Soit E = (G, G^{∗}, φ, H, s, ξ) ∈ E(F). Notons que la proposition A est équivalente à la

Proposition B. C_{c}^{∞}(𝔤(F))^{H−inst} est stable par transformation de Fourier.

Lemme. La validité de la proposition B est indépendante du choix de ψ et de la forme ⟨·, ·⟩_{𝔤}. Preuve. Soient ψ′ et ⟨·, ·⟩′_{𝔤} d’autres données. Alors il existe un automorphisme τ de l’espace vectoriel 𝔤(F), commutant à la conjugaison par G(F), de sorte que

ψ′(⟨X, Z⟩′_{𝔤}) = ψ(⟨X, τ(Z)⟩_{𝔤})

pour tous X, Z ∈ 𝔤(F). Pour f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F)), notons f̂′ la transformée de Fourier relative à ψ′ et ⟨·, ·⟩′_{𝔤}. Alors f̂′ = | det τ|_{F}^{1/2}f̂∘τ. Il suffit alors de prouver que C_{c}^{∞}(𝔤(F))^{H−inst} est stable par f ↦ f ∘ τ. Or il existe un automorphisme τ_{H} de l’espace vectoriel 𝔥(F), commutant à la conjugaison par H(F), et une constante c ≠ 0, de sorte que

Δ_{G,H}(τ_{H}(Y), τ(X)) = cΔ_{G,H}(Y, X)

pour tous Y ∈ 𝔥_{G^{∗}−reg}(F), X ∈ 𝔤_{reg}(F) (cf. [5] 3.2). En utilisant les formules de [5] 3.2, on calcule

J^{G,H}(Y, f ∘ τ) = c^{−1}| det τ|_{F}^{−1/2}| det(τ_{H}|_{𝔱_{Y}})|_{F}^{1/2}J^{G,H}(τ_{H}(Y), f)

pour tous f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F)), Y ∈ 𝔥_{G^{∗}−reg}(F) et l’assertion est claire.

II.2. Soit E = (G, G^{∗}, φ, H, s, ξ) ∈ E(F). Notons G_{der} le groupe dérivé de G, G_{1} le revêtement simplement connexe de G_{der} et Z_{1} le noyau de l’application G_{1} → G. On a donc la suite exacte:

1 → Z_{1} → G_{1} → G → G/G_{der} → 1

On a construit en [5] 4.2 des données E_{1} = (G_{1}, G_{1}^{∗}, φ_{1}, H_{1}, s_{1}, ξ_{1}) ∈ E(F).

Lemme. Si la proposition B est vraie pour les données E_{1} , elle l’est pour les données E.

Preuve. Par construction, on a des homomorphismes

β : G_{1} → G, δ : H_{1} → H.

Notons 𝔷 l’algèbre de Lie du centre de G. On a des isomorphismes:

𝔤 = 𝔷 ⊕ 𝔤_{1}, 𝔥 = 𝔷 ⊕ 𝔥_{1}

les plongements de 𝔤_{1} dans 𝔤, resp. 𝔥_{1} dans 𝔥, étant les dérivés de β, resp. δ. Pour X ∈ 𝔤, on note X′ ∈ 𝔷 et X′′ ∈ 𝔤_{1} ses composantes selon la décomposition ci-dessus, et de même pour Y ∈ 𝔥. Soit f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F)). Choisissons un ensemble fini I et, pour tout i ∈ I, des fonctions f′_{i} ∈ C_{c}^{∞}(𝔷(F)), f′′_{i} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤_{1}(F)), de sorte que:

(1) la famille (f′_{i})_{i∈I} est linéairement indépendante;

(2) pour tout X ∈ 𝔤(F), f(X) = ∑_{i∈I} f′_{i}(X′)f′′_{i}(X′′).

Pour Y ∈ 𝔥_{G^{∗}−reg}(F), on a

J^{G,H}(Y, f) = ∑_{X′′} ∑_{i∈I} Δ_{G,H}(Y, Y′ + X′′)f′_{i}(Y′)J^{G}(X′′, f′′_{i}),

où X′′ parcourt 𝔤_{1,reg}(F) modulo la conjugaison par G(F), et l’exposant G dans J^{G} signifie que l’on intègre sur la classe de G(F)-conjugaison de X′′. Il en résulte aisément que

J^{G,H}(Y, f) = ∑_{X′′} ∑_{i∈I} Δ_{G,H}(Y, Y′ + X′′)f′_{i}(Y′)J^{G_{1}}(X′′, f′′_{i}),

où cette fois X′′ parcourt 𝔤_{1,reg}(F) modulo la conjugaison par G_{1}(F), et l’exposant G_{1} dans J^{G_{1}} a une signification évidente. D’après [5] lemme 4.3 et 4.3 (2), il existe une constante c ≠ 0 telle que:

Δ_{G,H}(Y, Y′ + X′′) = cΔ_{G_{1},H_{1}}(Y′′, X′′).

Alors

(3) J^{G,H}(Y, f) = c ∑_{i∈I} f′_{i}(Y′)J^{G_{1},H_{1}}(Y′′, f′′_{i}).

Supposons f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F))^{H−inst} . Alors l’expression (3) est nulle pour tout Y ∈ 𝔥_{G^{∗}−reg}(F). Grâce à (1), on en déduit que pour tout i ∈ I et tout Y′′ ∈ 𝔥_{1,G_{1}^{∗}−reg}(F), J^{G_{1},H_{1}}(Y′′, f′′_{i}) = 0, i.e. f′′_{i} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤_{1}(F))^{H_{1}−inst} .

Munissons 𝔷(F) et 𝔤_{1}(F) des restrictions de la forme ⟨·, ·⟩_{𝔤}, ce qui permet de définir des transformations de Fourier dans C_{c}^{∞}(𝔷(F)) et C_{c}^{∞}(𝔤_{1}(F)). Sous l’hypothèse du lemme, on a donc f̂′′_{i} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤_{1}(F))^{H_{1}−inst} . Bien sûr, f̂(X) = ∑_{i∈I} f̂′_{i}(X′)f̂′′_{i}(X′′). En appliquant la relation (3) à f̂, on voit que J^{G,H}(Y, f̂) = 0 pour tout Y ∈ 𝔥_{G^{∗}−reg}(F), i.e. f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F))^{H−inst} .

II.3. Soit E = (G, G^{∗}, φ, H, s, ξ) ∈ E(F). Disons que E est consistante si le facteur Δ_{G,H} n’est pas identiquement nul. Si E n’est pas consistante, la proposition B est triviale. Supposons E consistante. On a introduit en [5] 6.3 des groupes M et M^{∗}. Le premier, resp. le second, est un sous-groupe de Lévi défini sur F d’un sous-groupe parabolique P de G, resp. P^{∗} de G^{∗}, défini sur F. On a défini des données E_{M} = (M, M^{∗}, φ_{M}, H, s, ξ_{M}). Les données endoscopiques (H, s, ξ_{M}) de M^{∗} sont elliptiques.

Lemme. Si la proposition B est vraie pour les données E_{M}, elle l’est pour les données E. Preuve. Grâce à [5] lemmes 6.4 et 6.5, il existe une constante c ≠ 0 telle que, pour tous f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F)) et Y ∈ 𝔥_{G^{∗}−reg}(F),

(1)  J^{G,H}(Y, f) = c ∑_{Z} Δ_{M,H}(Y, Z)J^{G}(Z, f),

où Z parcourt 𝔪_{reg}(F) modulo la conjugaison par M(F). Notons 𝔫 le radical nilpotent de 𝔭, fixons un sous-groupe compact maximal K de G(F) tel que G(F) = P (F)K et introduisons la fonction f^{P} ∈ C_{c}^{∞}(𝔪(F)) définie par

f^{P} (Z) = ∫_{K} ∫_{𝔫(F)} f((Ad k)(Z + N)) dN dk

Les mesures étant convenablement choisies, on a l’égalité

J^{G}(Z, f) = J^{M}(Z, f^{P}),

pour tout Z ∈ 𝔪(F). De (1) résulte l’égalité

J^{G,H}(Y, f) = cJ^{M,H}(Y, f^{P}).

D’autre part, 𝔪(F) étant muni de la restriction de la forme ⟨·, ·⟩_{𝔤}, on a l’égalité (f̂)^{P} = (f^{P})ˆ . Le lemme en résulte aisément.

II.4. Il résulte des deux lemmes ci-dessus qu’il suffit de démontrer la proposition B dans le cas où G_{der}^{∗} est simplement connexe et les données (H, s, ξ) sont elliptiques.

III. L’argument global

III.1. Soit E = (G, G^{∗}, φ, H, s, ξ) ∈ E(F). Supposons G = G^{∗}, φ = id et que H se déploie sur une extension non ramifiée de F. On fixe une telle extension F′. Le groupe G lui-même est déployé sur F′ ([5] 7.3 (2)). Fixons une sous-algèbre hyperspéciale 𝔨 de 𝔤(F), notons 1_{𝔨} sa fonction caractéristique.

Proposition. Il existe un voisinage V de 0 dans 𝔥(F) tel que pour tout Y ∈ 𝔥_{G^{∗}−reg}(F) ⋂ V ,

J^{G,H}(Y, 1_{𝔨}) ≠ 0.

Preuve. Soit N_{reg} l’ensemble des éléments nilpotents réguliers de 𝔤. Fixons une forme différentielle sur N_{reg} , de degré maximal, invariante par conjugaison et définie sur F. On en déduit une mesure sur N_{reg}(F) invariante par conjugaison. Pour tout N ∈ N_{reg}(F), notons

G(F).N = {(Ad x)(N); x ∈ G(F)}.

C’est un ouvert de N_{reg}(F) qui est donc muni d’une mesure. Pour f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F)), on pose

J(N, f) = ∫_{G(F).N} f(X) dX.

Langlands et Shelstad ont introduit une fonction Δ : N_{reg}(F) → ℂ^{×} et prouvé que

(1) lim_{Y →0} J^{G,H}(Y, f) = ∑_{N} Δ(N)J(N, f),

où N parcourt N_{reg}(F) modulo la conjugaison par G(F), et bien sûr Y reste toujours dans 𝔥_{G^{∗}−reg}(F) ([3] th. 5.5.A). Remarques (2) Le facteur D_{H_{1}}(Y_{1}) de Langlands-Shelstad disparaît car nous avons éliminé le facteur Δ_{IV} de la définition du facteur de transfert.

(3) Langlands et Shelstad ont démontré en fait une relation analogue sur les groupes mais on en déduit l’assertion pour les algèbres de Lie via l’exponentielle.

Fixons un sous-groupe de Borel B de G et un sous-tore maximal T de B, tous deux définis sur F. On suppose que le sommet de l’immeuble de G auquel est associée la sous-algèbre 𝔨 appartient à l’appartement associé au plus grand sous-tore déployé de T. Notons 𝔫 le radical nilpotent de 𝔟, Σ l’ensemble des racines de T dans 𝔫, Π le sous-ensemble des racines simples et, pour tout α ∈ Σ, 𝔫_{α} le sous-espace radiciel de 𝔫 associé à α. Posons

𝔫′′ = ⨁_{α∈Σ−Π} 𝔫_{α}

Notons F̄ la clôture algébrique de F et Γ = Gal(F̄\F). Le groupe Γ agit sur Σ et sur Π. Fixons un ensemble de représentants Π_{0} des orbites de Γ dans Π. Pour α ∈ Π_{0} , on note 𝔫′_{α} = ⊕_{β∈Γ_{α}} 𝔫_{β}, Γ_{α} le fixateur de α dans Γ, F_{α} le corps des points fixes de Γ_{α} et O_{α} son anneau d’entiers. Remarquons que F_{α} ⊆ F′. Pour tout α ∈ Π, fixons une base E_{α} de 𝔫_{α}(F̄). On suppose, ainsi qu’il est loisible, que σE_{α} = E_{σα} pour tous σ ∈ Γ, α ∈ Π. Alors pour tout α ∈ Π_{0} , l’application

ζ_{α} : F_{α} → 𝔫′_{α}(F), t → ⨁_{σ∈Γ/Γ_{α}} σ(t)E_{σα}

est un isomorphisme. Il résulte de la théorie de Bruhat-Tits que l’on a l’égalité

(2)  𝔨 ∩ 𝔫(F) = ( ⨁_{α∈Π_{0}} 𝔫′_{α}(F) ∩ 𝔨) ⨁ 𝔫′′(F) ∩ 𝔨.

Si les E_{α} sont bien choisis, ce que l’on supposera désormais, on a en outre

(3)  𝔫′_{α}(F) ∩ 𝔨 = ζ_{α}(O_{α})

pour tout α ∈ Π_{0} .

Notons d’autre part K le sous-groupe hyperspécial de G(F) dont 𝔨 est l’algèbre de Lie et fixons des mesures de Haar sur K et 𝔫(F). Il existe c_{1} ≠ 0 tel que pour tout N ∈ N_{reg}(F) et toute f ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(F)),

J(N, f) = c_{1} ∫_{K} ∫_{𝔫(F)∩G(F).N} f((Ad x)X) dX dx.

Le membre de droite de l’égalité (1) est donc égal à

(4)  c_{1} ∫_{K} ∫_{𝔫(F)∩N_{reg}(F)} Δ(X)f((Ad x)X) dX dx.

On prouvera ci-dessous le lemme suivant:

Lemme. Il existe c_{2} ≠ 0 et, pour tout α ∈ Π_{0} , il existe un caractère non ramifié χ_{α} de F_{α}^{×} de sorte que pour tout (z_{α})_{α∈Π_{0}} ∈ ∏_{α∈Π_{0}} F_{α}^{×} et pour tout X′′ ∈ 𝔫′′(F),

Δ( ∑_{α∈Π_{0}} ζ_{α}(z_{α}) + X′′) = c_{2} ∏_{α∈Π_{0}} χ_{α}(z_{α}).

Les égalités (1) à (4) de III.1 montrent alors qu’il existe c_{3} ≠ 0 (dépendant des mesures) tel que

lim_{Y →0} J^{G,H}(Y, 1_{𝔨}) = c_{3} ∏_{α∈Π_{0}} ∫_{O_{α}} χ_{α}(z_{α}) dz_{α}

Les χ_{α} étant non ramifiés, cette expression est non nulle, ce qui prouve la proposition III.1.

Preuve du lemme. Pour tous (z_{α})_{α∈Π_{0}} ∈ ∏_{α∈Π_{0}} F_{α}^{×} et tout X′′ ∈ 𝔫′′(F), les éléments

∑_{α∈Π_{0}} ζ_{α}(z_{α}) et ∑_{α∈Π_{0}} ζ_{α}(z_{α}) + X′′

sont conjugués par un élément de B(F). Il suffit donc de calculer

Δ( ∑_{α∈Π_{0}} ζ_{α}(z_{α})).

Notons G_{sc} le revêtement simplement connexe de G_{der}, Z_{sc} son centre, T_{sc} l’image réciproque de T dans G_{sc}, Ĝ le groupe complexe dual de G, T̂ un sous-tore maximal de Ĝ attaché à T et T̂_{ad} son image dans le groupe adjoint de Ĝ. Fixons (z_{α})_{α∈Π_{0}} ∈ ∏_{α∈Π_{0}} F_{α}^{×} et posons

X = ∑_{α∈Π_{0}} ζ_{α}(z_{α}), X_{1} = ∑_{α∈Π_{0}} ζ_{α}(1).

Soit t un élément de T_{sc}(F̄) tel que (Ad t)X_{1} = X. Le cocycle σ → tσ(t)^{−1} définit un élément inv(X) ∈ H^{1}(Γ, Z_{sc}(F̄)).

Fixons un sous-groupe de Borel B_{H} de H et un sous-tore maximal T_{H} de B_{H} tous deux définis sur F. La donnée endoscopique ξ définit un isomorphisme

η : T_{H} → T

qui n’est pas défini sur F. Plus précisément, pour tout σ ∈ Γ, il existe w_{σ} ∈ G(F̄) tel que σ ∘ Ad w_{σ} ∘ η = η ∘ σ. On peut aussi bien relever w_{σ} en un élément de G_{sc}(F̄). De plus, comme w_{σ} normalise T, il définit un élément du groupe de Weyl de T que l’on note encore w_{σ}. On munira désormais T de l’action de Γ définie par σ.t = σ(w_{σ}tw_{σ}^{−1}) (ou, si l’on préfère, on identifiera T à T_{H} muni de son action naturelle). On définit de même des actions tordues sur T_{sc}, T̂ et T̂_{ad}. Notons que les deux actions coïncident sur Z_{sc}(F̄) donc inv(X) reste un élément de H^{1}(Γ, Z_{sc}(F̄)) quelle que soit l’action considérée. Notons inv_{T} (X) l’image de inv(X) par l’application naturelle

H^{1}(Γ, Z_{sc}(F̄)) → H^{1}(Γ, T_{sc}(F̄)).

La donnée endoscopique s définit un élément s_{T} ∈ π_{0}(T̂_{ad}^{Γ}). On a un accouplement

H^{1}(Γ, T_{sc}(F̄)) × π_{0}(T̄_{ad}^{Γ}) → ℂ^{×}.

D’après [3] 5.1, on a l’égalité

Δ(X) = Δ(X_{1})⟨inv_{T} (X), s_{T} ⟩.

On a un diagramme commutatif

\begin{matrix}H^{1}(Γ & , T_{sc}(\overline{F})) \\ | & | \\ H^{1}(Γ & , T_{sc}(\overline{F})) \end{matrix} \begin{matrix}× \\ × \end{matrix} \begin{matrix}H^{1}(Γ & , X_{∗}(T̂_{ad})) \\ | & | \\ π_{0}( & T̂_{ad}^{Γ}) \end{matrix} \overrightarrow{→} \begin{matrix}H^{2}(Γ, \overline{F}^{×}) \\ ℂ^{∗} \end{matrix} \begin{aligned}& ≃ \\ ↙ \end{aligned} \begin{matrix}ℚ/ℤ \\ e^{2πi} \end{matrix}

L’accouplement du haut est le cup-produit (on utilise les égalités T_{sc}(F̄) = X_{∗}(T_{sc}) ⊗ F̄^{×}, X_{∗}(T̂_{ad}) = X^{∗}(T_{sc})). Notons Γ′ = Gal(F̄/F′), d = [F′ : F]. Le groupe Γ/Γ′ est cyclique, engendré par le Frobenius noté φ. On a un diagramme commutatif

\begin{matrix}H^{1}(Γ′ & , T_{sc}(F̄)) \\ ↑ \\ H^{1}(Γ & , T_{sc}(F̄)) \\ ↑ \\ H^{1}(Γ/Γ′ & , T_{sc}(F̄)^{Γ′}) \\ ↑ \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix}× \\ × \\ × \end{matrix} \begin{matrix}H^{1}(Γ′ & , X_{∗}(T̂_{ad})) \\ ↑ \\ H^{1}(Γ & , X_{∗}(T̂_{ad})) \\ ↑ \\ H^{1}(Γ/Γ′ & , X_{∗}(T̂_{ad})) \\ ↑ \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix}→ \\ → \\ → \end{matrix} \begin{matrix}H^{2}(Γ′ & , F̄^{×}) \\ ↑ \\ H^{2}(Γ & , F̄^{×}) \\ ↑ \\ H^{2}(Γ/Γ′ & , F^{′×}) \\ ↑ \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix}≃ \\ ≃ \\ ≃ \end{matrix} \begin{matrix}ℚ & /ℤ \\ ↑ & d \\ ℚ & /ℤ \\ ↑ & 1/d \\ ℤ & /dℤ \\ ↑ \\ 0 \end{matrix}

Les suites verticales sont exactes ([4] proposition VII.4). Comme Γ′ agit trivialement sur X_{∗}(T̂_{ad}) et X_{∗}(T_{sc}), on a

H^{1}(Γ′, X_{∗}(T̂_{ad})) = Hom_{cont}(Γ′, X_{∗}(T̂_{ad})) = 0,
H^{1}(Γ′, T_{sc}(F̄)) = X_{∗}(T_{sc}) ⊗ H^{1}(Γ′, F̄^{×}) = 0,

(Hilbert 90). Notons que T_{sc}(F̄)^{Γ′} = X_{∗}(T_{sc}) ⊗_{ℤ} F^{′×}. La valuation v : F^{′×} → ℤ définit un diagramme commutatif

\begin{matrix}H^{1}(Γ/Γ′ & , X_{∗}(T_{sc})) \\ ↑ \\ H^{1}(Γ/Γ′ & , T_{sc}(F̄)^{Γ′}) \end{matrix} \begin{matrix}× \\ × \end{matrix} \begin{matrix}H^{1}(Γ/Γ′ & , X_{∗}(T̂_{ad})) \\ ↑ \\ H^{1}(Γ/Γ′ & , X_{∗}(T̂_{ad})) \end{matrix} \overrightarrow{→} \begin{matrix}H^{2}(Γ/Γ′ & , ℤ) \\ ↑ \\ H^{2}(Γ/Γ′ & , F^{′×}) \end{matrix} \begin{matrix}≃ \\ ≃ \end{matrix} \begin{matrix}ℤ/ & dℤ \\ ↑ \\ ℤ/ & dℤ \end{matrix}

Notons i(X) l’image de inv_{T} (X) par la composée des applications

H^{1}(Γ, T_{sc}(F̄)) ≃ H^{1}(Γ/Γ′, T_{sc}(F̄)^{Γ′}) → H^{1}(Γ/Γ′, X_{∗}(T_{sc})),

et S celle de s_{T} par la composée des applications

π_{0}(T̂_{ad}^{Γ}) ≃ H^{1}(Γ, X_{∗}(T̂_{ad})) ≃ H^{1}(Γ/Γ′, X_{∗}(T̂_{ad})).

Alors

(1) Δ(X) = Δ(X_{1})e^{2πi⟨i(X),S⟩d^{−1}}.

Fixons une uniformisante ϖ de F et, pour tout α ∈ Π_{0} , posons

X_{α} = ζ_{α}(ϖ) + ∑_{β∈Π_{0}−{α}} ζ_{β}(1).

Je dis que

(2) i(X) = ∑_{α∈Π_{0}} v(z_{α})i(X_{α}).

Notons {α̌; α ∈ Π} l’ensemble des coracines associé à Π, {ϖ_{α}; α ∈ Π} l’ensemble des copoids et T_{ad} l’image de T dans le groupe adjoint de G. Les ensembles {α̌; α ∈ Π} et {ϖ_{α}; α ∈ Π} sont des bases de X_{∗}(T_{sc}), resp. X_{∗}(T_{ad}). Le cocycle définissant inv_{T} (X) est

σ ↦ tσ(t)^{−1} = tσ.(w_{σ}t^{−1}w_{σ}^{−1})

qui est cohomologue à

(3) σ ↦ σ.(tw_{σ}t^{−1}w_{σ}^{−1}).

On vérifie que ce dernier définit un élément de H^{1}(Γ/Γ′, T_{sc}(F̄)^{Γ′}). D’autre part, pour tout σ ∈ Γ, l’application

T_{sc} → T_{sc}, t′ ↦ t′w_{σ}t^{′−1}w_{σ}^{−1},

se factorise par T_{sc} → T_{ad}. L’image de t dans T_{ad} est

∑_{α∈Π_{0}} ∑_{σ′∈Γ/Γ_{α}} (σ′ϖ_{α}) ⊗ σ′(z_{α}).

Le cocycle (3) s’écrit donc

σ ↦ ∑_{α∈Π_{0}} ∑_{σ′∈Γ/Γ_{α}} σ.(σ′ϖ_{α} − w_{σ}(σ′ϖ_{α})) ⊗ σσ′(z_{α}).

Alors i(X) est défini par le cocycle

σ ↦ ∑_{α∈Π_{0}} v(z_{α}) ∑_{σ′∈Γ/Γ_{α}} σ.(σ′ϖ_{α} − w_{σ}(σ′ϖ_{α})).

Pour tout β ∈ Π_{0} , on calcule i(X_{β}) en remplaçant dans l’égalité ci-dessus z_{β} par ϖ et z_{α} par 1 pour α ≠ β. On en déduit alors l’égalité (2).

Des égalités (1) et (2) résulte l’égalité

Δ(X) = Δ(X_{1}) ∏_{α∈Π_{0}}(Δ(X_{α})Δ(X_{1})^{−1})^{v(z_{α})}

d’où le lemme.

III.3. Soient k un corps de nombres, E = (G, G^{∗}, φ, H, s, ξ) ∈ E(k) et u une place finie de k. On note V l’ensemble des places de k et V_{∞} le sous-ensemble des places archimédiennes. On suppose vérifiées les hypothèses (1) à (5) de [5] 10.4. Alors

Proposition. Pour tout w ∈ V −({u}∪V_{∞}), les données E_{w} ∈ E(k_{w}) vérifient la proposition B.

Preuve. On fixe une telle place w. Fixons un caractère continu ψ : 𝔸/k → ℂ^{×} (𝔸 est l’anneau des adèles de k), une forme bilinéaire ⟨·, ·⟩_{𝔤} sur 𝔤(k) symétrique, non dégénérée et invariante par conjugaison par G(k) et deux O-réseaux 𝔞 ⊂ 𝔤(k), 𝔟 ⊂ 𝔥(k) (O est l’anneau des entiers de k ). ll existe un ensemble fini S_{1} ⊂ V tel que:

V_{∞} ∪ {u, w} ⊂ S_{1}, si v ∈ V − S_{1} , φ_{v} est trivial, H_{v} est non ramifié, 𝔞_{v} est autodual pour

le bicaractère ψ_{v}(⟨·, ·⟩_{𝔤_{v}}) et est une sous-O_{v} -algèbre hyperspéciale de 𝔤_{v}(k_{v}), et il en est de même pour 𝔟_{v}.

On fixe un tel ensemble S_{1} . On en déduit comme en [5] 10.5 un ensemble fini S, avec S_{1} ⊆ S ⊂ V .

Fixons Y_{w} ∈ 𝔥_{w,G^{∗}−reg}(k_{w}) et une fonction f_{w} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(k_{w}))^{H_{w}−inst} . Pour toute place v ∈ S − V_{∞}, fixons un sous-ensemble ouvert compact Ω_{v} ⊂ 𝔥_{v,G^{∗}−reg}(k_{v}) de sorte que les conditions (1), (2) et (3) de [5] 10.6 soient vérifiées, ainsi que

(1) Y_{w} ∈ Ω_{w} et la fonction J^{G_{w},H_{w}}(., f̂_{w}) est constante sur Ω_{w}.

Pour toute v ∈ S − V_{∞}, on fixe un voisinage ω_{v} de l’unité dans k_{v}^{×} qui stabilise l’ensemble Ω_{v}.

Fixons Y_{0} ∈ 𝔥(k) tel que pour tout v ∈ S − V_{∞}, Y_{0} ∈ Ω_{v} et, pour tout v ∈ V − S, Y_{0} ∈ 𝔟_{v}. Comme Y_{0} est semi-simple régulier, il existe un ensemble fini S_{3} avec S ⊆ S_{3} ⊂ V tel que pour v ∈ V − S_{3} , le tore T_{Y_{0}} est non ramifié en v et la réduction de Y_{0} dans 𝔟_{v}/P_{v}𝔟_{v} est encore semi-simple régulière (P_{v} est l’idéal maximal de O_{v}). On fixe un tel ensemble S_{3} . Il existe λ ∈ k^{×} tel que:

pour tout v ∈ V − S_{3} , v(λ) = 0, pour tout v ∈ S_{3} − S, v(λ) > 0, pour tout v ∈ S − V_{∞}, λ ∈ ω_{v}. Fixons un tel λ. Grâce à la proposition 3.1, il existe un entier N tel que

pour tout v ∈ S_{3} − S,

J^{G_{v},H_{v}}(λ^{N}Y_{0}, 1_{𝔞_{v}}) ≠ 0.

On fixe un tel entier N. Remplaçons désormais Y_{0} par λ^{N}Y_{0} . Toutes les conditions ci-dessus restent vérifiées et l’on a maintenant:

(2) pour toute place v ∈ V − S, J^{G_{v},H_{v}}(Y_{0}, 1_{𝔞_{v}}) ≠ 0.

En effet, si v ∈ S_{3} − S, cela résulte de la construction ci-dessus. Si v ∈ V − S_{3} , Y_{0} est de réduction semi-simple régulière et l’on peut appliquer le lemme de Kottwitz ([2] corollaire 7.3, repris en [5] 7.2). On construit maintenant pour toute place v ∈ V des fonctions f_{v} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤_{v}(k_{v})) comme en [5] 10.7, la fonction f_{w} étant celle que l’on a fixée. On pose f = ∏_{v∈V} f_{v} et l’on considère

I^{G}(f) = ∫_{G(k)\G(𝔸)^{1}} ∑_{X∈𝔤(k)} f((Ad x^{−1})(X)) dx.

On définit de façon analogue I^{G}(f̂). Ces expressions sont absolument convergentes ([5] 10.9) et on a l’égalité

I^{G}(f) = I^{G}(f̂).

On a des égalités ([5] 10.9 (5) et première égalité de 10.11):

I^{G}(f) = λ_{H}^{−1}τ(G^{∗}) ∑_{X^{∗}∈X^{∗}} ∑_{κ∈K(T_{X^{∗}} /k)} ∑_{Y ∈X_{H,G^{∗}} (X^{∗},κ)} J^{G,H}(Y, f),

I^{G}(f̂) = c(T_{0}^{∗}) ∏_{v∈V} J^{G_{v},H_{v}}(Y_{v}, f̂_{v}).

Comme f_{w} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(k_{w}))^{H_{w}−inst} , il est clair que J^{G,H}(Y, f) = 0 pour tout Y ∈ 𝔥_{G^{∗}−reg}(k). Donc I^{G}(f) = 0 et aussi I^{G}(f̂) = 0. Le terme c(T_{0}^{∗}) est un rapport de mesures, donc non nul. Pour v ∈ S − {w}, J^{G_{v},H_{v}}(Y_{0}, f̂_{v}) ≠ 0 par construction de f_{v} ([5] 8.2 (vi) et 10.8 (ii)). Si v ∈ V − S, f_{v} = f̂_{v} = 1_{𝔞_{v}} et J^{G_{v},H_{v}}(Y_{0}, f̂_{v}) ≠ 0 d’après (2). On obtient alors

J^{G_{w},H_{w}}(Y_{0}, f̂_{w}) = 0.

D’après (1), on a aussi J^{G_{w},H_{w}}(Y_{w}, f̂_{w}) = 0. Ceci étant vrai pour tout Y_{w} ∈ 𝔥_{w,G^{∗}−reg}(k_{w}), on a f̂_{w} ∈ C_{c}^{∞}(𝔤(k_{w}))^{H_{w}−inst} ce qui achève la preuve.

Remarque . L’idée qui vient d’abord à l’esprit est d’élargir l’ensemble S et de le remplacer par S_{3} ci-dessus. Mais elle est incorrecte: S doit être fixé avant Y_{0} car on impose à Y_{0} des conditions qui permettent d’éliminer les données endoscopiques non ramifiées hors de S autres que (H, s, ξ). D’où notre recours à la proposition III.1 et au théorème 5.5.A de [3].

III.4. Preuve de la proposition B. Soit E = (G, G^{∗}, φ, H, s, ξ) ∈ E(F). On a déjà dit que l’on pouvait supposer G_{der}^{∗} simplement connexe et (H, s, ξ) elliptique. Grâce à [5] 11.1, il existe un corps de nombres k, des données globales E_{k} = (G_{k}, G_{k}^{∗}, φ_{k}, H_{k}, s_{k}, ξ_{k}) et des places finies distinctes u et w de k de sorte que ces données vérifient les conditions de III.3 et que l’on ait un isomorphisme k_{w} ≃ F rendant équivalentes les données E et E_{k,w}. Il reste à appliquer la proposition III.3.

References

[1] Kottwitz, R., Stable trace formula: cuspidal tempered terms, Duke Math. J. 51 (1984), 611–650.

[2] Kottwitz, R., Stable trace formula: elliptic singular terms, Math. Ann. 275 (1986), 365–399.

[3] Langlands, R. P., Shelstad, D., On the definition of transfer factors, Math. Ann. 278 (1987), 219–271.

[4]  Serre, J.-P., ”Corps locaux,” Hermann, 1968.

[5] Waldspurger, J.-L., Le lemme fondamental implique le transfert, Compositio Math. 105 (1997), 153–236.

Université de Paris 7 et CNRS Mathématiques F 75 251 Paris Cedex 05 waldspur@math.jussieu.fr

Received December 17, 1998 and in final form May 28, 1999