Journal of Lie Theory Volume 11 (2001) 257–272 C ◯2001 Heldermann Verlag

Quantification d’orbites coadjointes et théorie des contractions

Benjamin Cahen

Communicated by J. Ludwig

Abstract. P. Cotton et A.H. Dooley have shown by considering the example of the semi-simple Lie group G=SL(2,ℝ) and of its Cartan motion group, the semi-direct product G′=ℝ^{2}×SO(2), how to apply ideas coming from the theory of contractions to the Weyl transform on coadjoint orbits of Lie groups. Our aim is to obtain analogous results in the case of the contraction of the group G=SO_{0}(n+1,1) to the generalized Poincaré group G′=ℝ^{n+1}×SO(n,1). Weyl transforms on the coadjoint orbits associated to the principal series of G=SO_{0}(n+1,1) are constructed as well as on the integral coadjoint orbits of the group G′=ℝ^{n+1}×SO(n,1) admitting SO(n) as small group and it is shown how the notion of contraction allows to relate these two constructions. Since the Weyl transforms are associated to the orbits, an infinitesimal version of classical results of the theory of contractions is obtained.

1. Introduction

Soient G un groupe de Lie connexe, 𝔤 son algèbre de Lie et 𝔤^{∗} le dual de 𝔤. Soit O une orbite coadjointe de G supposée associée par la méthode des orbites à une représentation unitaire irréductible π de G. Si X appartient à 𝔤, on note X̃ la fonction définie sur O par

X̃ (ξ) = ⟨ξ , X⟩ (ξ ∈ O ⊂ 𝔤^{∗}) .

La notion de correspondance de Weyl adaptée a été introduite dans [6]. Une correspondance de Weyl (ou calcul symbolique) sur O est une application linéaire bijective f → W (f) entre une classe de fonctions sur l’orbite O appelées symboles et une classe d’opérateurs de l’espace H de la représentation π [4], [13]. Une correspondance de Weyl est dite adaptée lorsque les fonctions X̃(X ∈ 𝔤) sont des symboles et qu’il existe un sous espace dense D de H formé de vecteurs C^{∞} de la représentation π tel que, pour tout X dans 𝔤 et tout ϕ dans D,

W (iX̃) ϕ = dπ (X) ϕ .

ISSN 0949–5932 / $2.50 ^{_{C} ◯} Heldermann Verlag

Introduire la notion de correspondance de Weyl adaptée est une façon de tenter de généraliser directement les “règles de quantification” usuelles. Suivant [9], on peut dire que “quantifier” l’orbite O, c’est lui associer le couple formé de la représentation π et de la correspondance de Weyl adaptée W. Dire que W est adaptée signifie, en particulier, que les “observables” X̃ associés aux éléments X de 𝔤 correspondent à des opérateurs W (X̃) tels que, selon la prescription de Dirac,

[W (X̃), W (Ỹ)] = −iW ({X̃, Ỹ })

pour X et Y dans 𝔤, { , } désignant le crochet de Poisson associé à la 2-forme de Kirillov de l’orbite O.

Par exemple, supposons que le groupe G soit nilpotent réel et simplement connexe. Soit O une orbite coadjointe de G. Posons n = \frac{1}{2} dim O. Il existe alors une carte globale ψ : ℝ^{2n} → O dans laquelle, si on note (p, q) = (p_{1}, …, p_{n}, q_{1}, …, q_{n}) les coordonnées canoniques sur ℝ^{2n}, la 2-forme de Kirillov de O s’écrit dp ∧ dq = Σ_{1≤i≤n} dp_{i} ∧ dq_{i} , et qui est telle que les fonctions X̃ ∘ ψ (X ∈ 𝔤) soient des polynômes en les variables p, q [3], [15]. Notons W la correspondance de Weyl usuelle qui associe en particulier à tout polynôme f en p, q un opérateur différentiel W (f) sur l’espace de Schwartz S (ℝ^{n}) [12] . Alors l’application X → W (i X̃ ∘ ψ) est une représentation de 𝔤 qui coïncide sur S (ℝ^{n}) avec la différentielle de la représentation unitaire irréductible de G dans L^{2}(ℝ^{n}), associée à O par la méthode des orbites [18].

Un autre exemple important est celui où le groupe G est semi-simple compact connexe et simplement connexe. Soient alors O une orbite coadjointe entière de G et ρ la représentation unitaire irréductible de G associée à O. L’espace E de la représentation ρ est un espace vectoriel complexe de dimension finie et le calcul symbolique de Berezin associe à tout opérateur de E une fonction sur l’orbite O à valeurs complexes appelée symbole de l’opérateur [1], [5]. Pour X élément de 𝔤, la fonction X̃ sur O est alors un symbole du calcul de Berezin, et l’application qui associe à X l’opérateur de E dont le symbole est la fonction i X̃, coïncide avec la différentielle de la représentation ρ [6].

Outre ces deux exemples, des correspondances de Weyl adaptées ont été construites dans le cas des orbites associées aux représentations des séries discrète [2] et principale [7] d’un groupe de Lie connexe, semi-simple non compact et dans le cas des orbites massives (entières) d’un groupe de Poincaré généralisé [8].

Ces constructions ont par ailleurs diverses applications en analyse harmonique et en théorie des déformations: définition de transformations de Fourier généralisées [3], [19], constructions de star-produits covariants sur des orbites coadjointes de groupes de Lie, théorie des star-exponentielles et des star-repré-sentations [6], [13].

Le présent travail est motivé par un article récent de P. Cotton et A.H. Dooley où il est proposé d’utiliser la notion de correspondance de Weyl adaptée dans le cadre de la théorie des contractions des groupes et algèbres de Lie [10].

Les contractions de groupes et d’algèbres de Lie, utilisées en physique théorique, ont été pendant longtemps peu étudiées mathématiquement à cause d’une définition peu commode basée sur les constantes de structure des algèbres de Lie (voir [11] et ses références). Dans les années 1980, A.H. Dooley et J.W. Rice ont en donné une nouvelle présentation et ont étudié notamment les contractions d’un groupe de Lie semi-simple vers son groupe des déplacements [11]. La situation type, qui recouvre une large classe d’exemples, est la suivante: soit G un groupe de Lie d’algèbre de Lie 𝔤 et K un sous groupe réductif de G. L’algèbre de Lie 𝔨 de K admet alors un supplémentaire V dans 𝔤, invariant sous l’action adjointe de K et on forme le produit semi direct V × K . Pour λ > 0, on considère l’application c_{λ} : V × K → G définie par

c_{λ} (v , k) = exp_{G} (λ v) k

pour v ∈ V et k ∈ K, dont la différentielle dc_{λ} : V + 𝔨 → 𝔤 est donnée par

dc_{λ} (v , A) = λ v + A

pour v ∈ V et A ∈ 𝔨. On a

lim_{λ→0} dc_{λ}^{−1} [dc_{λ} (X) , dc_{λ} (Y)]_{𝔤} = [X , Y]_{Lie (V ×K)}

pour X et Y dans 𝔤, et on dit que V ×K est une contraction de G relativement à K.

L’intérêt de la notion de contraction est de relier l’analyse harmonique de V ×K à celle de G. Dans [11] par exemple, A.H. Dooley et J.W. Rice ont étudié le cas où G est semi-simple, connexe non compact et K un sous groupe compact de G, tel que 𝔤 = 𝔨 ⊕ V soit alors une décomposition de Cartan de 𝔤, montrant que les représentations unitaires irréductibles génériques du produit semi direct V × K s’obtiennent comme limites, en un certain sens, de représentations de la série principale de G. De façon analogue, G. Primet s’est intéressé au cas où K n’est pas compact et a montré en particulier que les représentations de masse réelle du groupe de Poincaré généralisé ℝ^{n+1} ×SO_{0} (n , 1) peuvent être obtenues comme limites de représentations de la série principale de SO_{0} (n + 1 , 1) [14].

Dans [10], P. Cotton et A.H. Dooley examinent le cas où G = SL (2 , ℝ) et K = SO (2). Remarquant que les représentations de la série principale de SL (2 , ℝ) se contractent vers les représentations unitaires irréductibles du produit semi direct ℝ^{2} × SO (2), ils construisent des correspondances de Weyl adaptées sur les orbites correspondantes et interprètent les correspondances de Weyl adaptées associées aux représentations de ℝ^{2} × SO (2) comme limites (en un sens précisé dans [10]) de correspondances de Weyl adaptées associées aux représentations de la série principale de SL (2 , ℝ). Cela permet notamment d’obtenir, dans ce cas particulier, une version infinitésimale des résultats de [11].

Toutefois, la construction de [10] est grandement simplifiée par le fait que les orbites coadjointes considérées peuvent être paramétrées par 𝕋 × ℝ (𝕋 désignant le tore) ce qui permet rapidement de définir dans ce cas des correspondances de Weyl adaptées dérivées de la correspondance de Weyl usuelle. Il semblait dès lors intéressant d’appliquer les idées de [10] à un exemple plus compliqué.

Le but du présent travail est d’obtenir des résultats analogues à ceux de [10] dans le cas de la contraction des représentations de la série principale du groupe G = SO_{0} (n + 1 , 1) vers les représentations de masse réelle du groupe de Poincaré généralisé G′ = ℝ^{n+1} × SO_{0} (n , 1).

Pour cela, on commence par rappeler, dans la section 2, les résultats de [8] où l’on a construit une correspondance de Weyl adaptée sur Ω, orbite coadjointe entière de G′ dont le petit groupe est SO(n) (orbite de masse réelle), en utilisant un symplectomorphisme entre Ω (munie de sa 2-forme de Kirillov) et le produit symplectique ℝ^{2n} × Ω′ où Ω′ est une orbite coadjointe entière du groupe compact SO (n) (munie de sa 2-forme de Kirillov), ℝ^{2n} étant muni de sa structure symplectique canonique.

On montre ensuite dans la section 3 que si O est une orbite coadjointe de G associée à une représentation de la série principale de G on peut trouver deux ouverts disjoints O_{+} et O_{−} de O, symplectomorphes aux produits symplectiques respectifs ℝ^{2n} × O′_{+} , ℝ^{2n} × O′_{−}, où O′_{+} et O′_{−} sont deux orbites coadjointes de SO (n), et tels que O_{+} ∪ O_{−} soit un ouvert dense de O. Cela permet de construire une correspondance de Weyl adaptée au dessus de O.

Dans la section 4 enfin, on étudie la contraction des représentations de la série principale de G vers les représentations de masse réelle de G′ au moyen des correspondances de Weyl associées. On montre en particulier que les différentielles des représentations de masse réelle de G′ sont limites, dans un sens qui sera précisé plus loin, de différentielles de représentations de la série principale de G, obtenant ainsi une version infinitésimale du théorème II.5 de [14].

2. Quantification d’une orbite massive du groupe de Poincaré

2.1. Soit K = SO_{0} (n , 1) (n ≥ 2) la composante connexe de l’identité du groupe orthogonal de la forme bilinéaire symétrique définie sur V = ℝ^{n+1} par

⟨p , p′⟩ = −(Σ_{1≤i≤n} p_{i} p′_{i}) + p_{n+1} p′_{n+1} , p ∈ V , p′ ∈ V .

On note G′ le groupe produit semi direct V × K dont la loi est donnée par

(v , k).(v′ , k′) = (v + kv′ , kk′) v , v′ ∈ V k , k′ ∈ K .

Soient 𝔨 l’algèbre de Lie de K et 𝔤′ ≃ V × 𝔨 l’algèbre de Lie de G′. On identifie V^{∗} à V au moyen de la forme ⟨ , ⟩ ; le dual 𝔤^{′∗} de 𝔤′ s’identifie alors à V × 𝔨^{∗}. L’action coadjointe de G′ sur 𝔤^{′∗} est

(v , k).(p , f) = (kp , k.f + v ∧ kp) , (v , k) ∈ G′ , (p , f) ∈ 𝔤^{′∗} ,

où v ∧ p désigne l’élément de 𝔨^{∗} défini par ⟨v ∧ p, A⟩ = ⟨p, Av⟩ pour A ∈ 𝔨 et k.f l’action coadjointe de k ∈ K sur f ∈ 𝔨^{∗}.

Soient (e_{1}, e_{2}, …, e_{n+1}) la base canonique de ℝ^{n+1} , K_{0} ≃ SO (n) le stabilisateur de e_{n+1} dans K , 𝔨_{0} l’algèbre de Lie de K_{0} et P l’orthogonal de 𝔨_{0} dans 𝔨 pour la forme de Killing de 𝔨. Notons (E_{ij})_{1≤i,j≤n+1} la base canonique de l’espace des matrices carrées d’ordre n+1 à coefficients réels. 𝔨_{0} est alors, en tant qu’espace vectoriel, engendré par les matrices A_{ij} = E_{ji} − E_{ij}, (1 ≤ i < j ≤ n) et P est l’espace vectoriel engendré par les matrices T_{k} = E_{kn+1} + E_{n+1k}, (1 ≤ k ≤ n). On notera W_{k} l’élément (e_{k} , 0) de 𝔤′ pour 1 ≤ k ≤ n + 1.

L’orbite de e_{n+1} dans V^{∗} ≃ V sous l’action de K est la nappe d’hyperboloïde H^{+} ensemble des p ∈ V tels que ⟨p , p⟩ = 1 et p_{n+1} > 0. Pour tout p dans H^{+} , il existe un unique élément T_{p} de P tel que si M_{p} = exp T_{p}, alors M_{p} e_{n+1} = p .

Si φ_{0} est un élément de 𝔨_{0}^{∗} on note φ̃_{0} ∈ 𝔨^{∗} le prolongement de φ_{0} à 𝔨 tel que φ̃_{0}|_{P} = 0 . On considère l’orbite coadjointe Ω(ξ_{0}) de ξ_{0} = (me_{n+1} , φ̃_{0}) ∈ 𝔤^{∗} où m > 0 et φ_{0} ∈ 𝔨_{0}^{∗}. On note Ω(φ_{0}) l’orbite de φ_{0} ∈ 𝔨_{0}^{∗} sous l’action coadjointe de K_{0} . On munit ℝ^{2n} = ℝ^{n} × ℝ^{n} de la 2-forme symplectique dp̃ ∧ dq̃ = Σ_{1≤i≤n} dp̃_{i} ∧ dq̃_{i} et les orbites coadjointes Ω (ξ_{0}) et Ω (φ_{0}) de leurs 2-formes de Kirillov. On a alors (voir [8]):

Proposition 2.1. L’application ψ: (p̃, q̃, φ) → ψ (p̃, q̃, φ) de ℝ^{2n} × Ω (φ_{0}) dans 𝔤^{′∗} définie par

\begin{aligned}Ã_{ij} (ψ (p̃, q̃, φ)) & = ⟨φ, A_{ij}⟩ + p_{i} q_{j} − p_{j} q_{i} , 1 ≤ i < j ≤ n , \\ T̃_{k} (ψ (p̃, q̃, φ)) & = −⟨φ, th (\frac{1}{2} ad T_{p})T_{k}⟩ + p_{n+1} q_{k} , 1 ≤ k ≤ n , \\ W̃_{k} (ψ (p̃, q̃, φ)) & = −m p_{k} , 1 ≤ k ≤ n , \\ W̃_{n+1} (ψ (p̃, q̃, φ)) & = m p_{n+1} , \end{aligned}

où p = (p̃, p_{n+1}) ∈ H^{+} , est un symplectomorphisme du produit symplectique ℝ^{2n} × Ω(φ_{0}) dans Ω(ξ_{0}).

2.2. L’orbite Ω (ξ_{0}) est entière si et seulement si Ω (φ_{0}) l’est [16]. Dans ce cas, notons ρ la représentation unitaire irréductible de K_{0} ≃ SO (n) associée à Ω (φ_{0}) , E l’espace de ρ. A l’orbite Ω (ξ_{0}) la méthode des orbites associe l’induite unitaire σ = Ind_{V ×K_{0}}^{G′} (e^{i<me_{n+1} , · >} ⊗ ρ) habituellement réalisée dans l’espace de Hilbert complété de l’espace des fonctions ϕ : H^{+} → E de classe C^{∞} à support compact pour la norme définie par

∥ϕ∥^{2} = ∫_{H^{+}}⟨ϕ (p), ϕ(p)⟩_{E} dμ (p)

où ⟨ , ⟩_{E} est le produit hilbertien de E et dμ (p) = (1/p_{n+1}) dp_{1} … dp_{n} la mesure K -invariante de H^{+} , comme suit:

σ (v , k) ϕ (p) = e^{i m⟨p,v⟩} ρ(M_{p}^{−1} k M_{k^{−1} p}) ϕ (k^{−1} p), (v , k) ∈ G′ , p ∈ H^{+} .

Ici, pour utiliser la correspondance de Weyl usuelle sur ℝ^{2n}, on préfère réaliser σ dans le complété H_{σ} de l’espace C_{0}^{∞} (ℝ^{n} , E) des fonctions φ : ℝ^{n} → E de classe C^{∞} à support compact pour la norme définie par

∥φ∥^{2} = ∫_{ℝ^{n}}⟨φ(p̃), φ(p̃)⟩_{E} dp̃

où dp̃ = dp̃_{1} … dp̃_{n} est la mesure de Lebesgue

σ (v , k) φ (p̃) = e^{im⟨p, v⟩} ρ (M_{p}^{−1} k M_{k^{−1} p}) ((k^{−1} p)_{n+1}/p_{n+1})^{1/2} φ (k^{−1}.p̃)

où p = (p̃, p_{n+1}) ∈ H^{+} et k.p̃ désigne l’action de k ∈ K sur p̃ ∈ ℝ^{n} induite par l’action de K sur H^{+} .

Pour calculer la différentielle dσ de la représentation σ, on utilise le lemme suivant (voir [6]).

Lemme 2.2. Pour p ∈ H^{+} et X ∈ 𝔨 on a

\frac{d}{dt}( M_{p}^{−1} exp (t X) M_{exp (−tX)p})|_{t=0} = pr_{𝔨_{0}} (X) − th (\frac{1}{2} ad T_{p}) pr_{P} (X)

où pr_{𝔨_{0}} et pr_{P} désignent les projections respectives sur 𝔨_{0} et P dans la somme directe 𝔨 = 𝔨_{0} ⊕ P .

Un calcul direct (voir [8]) donne alors:

Proposition 2.3. Pour φ ∈ C_{0}^{∞} (ℝ^{n} , E), on a

dσ (A_{ij}) φ(p̃) = dρ (A_{ij}) φ (p̃) + (p_{j} \frac{∂}{∂p_{i}} − p_{i} \frac{∂}{∂p_{j}} ) φ (p̃) , 1 ≤ i < j ≤ n ,

dσ (T_{k}) φ(p̃) = −dρ (th (\frac{1}{2} ad T_{p}) T_{k}) φ (p̃)−p_{n+1} \frac{∂φ}{∂p_{k}} − \frac{p_{k}}{2p_{n+1}} φ (p̃) , 1 ≤ k ≤ n ,

dσ (W_{k}) φ (p̃) = −im p_{k} φ (p̃) , 1 ≤ k ≤ n , dσ (W_{n+1}) φ (p̃) = im p_{n+1} φ (p̃), où p̃ = (p_{1}, p_{2}, …, p_{n}) ∈ ℝ^{n} et p_{n+1} = (1 + Σ_{1≤l≤n} p_{l}^{2})^{1/2} .

2.3. On dira alors qu’une fonction f : Ω (ξ_{0}) → ℂ est un symbole sur Ω (ξ_{0}) si, pour tout (p̃, q̃) dans ℝ^{n} ×ℝ^{n}, la fonction φ → (f ∘ψ) (p̃, q̃, φ) est le symbole, dans le calcul symbolique de Berezin sur l’orbite Ω (φ_{0}) (voir, par exemple, [1], [5]) d’un opérateur de E que l’on notera f̂(p̃, q̃) (on rappelle que E est un espace vectoriel complexe de dimension finie). Etant donné un symbole f sur Ω(ξ_{0}) on définit, lorsque cela a un sens, un opérateur W′ (f) de H_{σ} en formant la transformée de Weyl de la fonction f̂: ℝ^{n} × ℝ^{n} → E au moyen de la formule intégrale suivante

(1)  W′ (f) φ (p̃) = ∫_{ℝ^{n}×ℝ^{n}} e^{i (t,q̃)} f̂(p̃ + \frac{t}{2} , q̃) φ (t + p̃) dt dq̃.

La formule (1) permet en particulier d’associer à tout symbole f polynomial en la variable q̃, c’est à dire tel que f̂ soit une fonction de classe C^{∞} polynomiale en q_{1}, q_{2}, …, q_{n} un opérateur différentiel W′ (f) agissant sur C_{0}^{∞} (ℝ^{n} , E) [12], [17]. Plus précisément, si f ∘ ψ = u (p̃) q_{1}^{k_{1}} q_{2}^{k_{2}} … q_{n}^{k_{n}} pour k_{1}, k_{2}, …, k_{n} dans ℕ et u ∈ C^{∞} (ℝ^{n}) on obtient à l’aide d’intégrations par parties et du théorème d’inversion de Fourier, pour φ ∈ C_{0}^{∞} (ℝ^{n}):

W′ (f) φ(p̃) = ∫_{ℝ^{2n}} e^{i (t,q̃)} u (p̃ + \frac{t}{2}) q_{1}^{k_{1}} q_{2}^{k_{2}} … q_{n}^{k_{n}} φ (t + p̃) dt dq̃

= ∫_{ℝ^{2n}} (\frac{1}{i} \frac{∂}{∂t_{1}} )^{α_{1}} … (\frac{1}{i} \frac{∂}{∂t_{n}} )^{α_{n}} (e^{i(t,q̃)}) u (p̃ + \frac{t}{2}) φ(t + p̃) dt dq̃

= ∫_{ℝ^{2n}} e^{i (t,q̃)} (−\frac{1}{i} \frac{∂}{∂t_{1}} )^{α_{1}} … (−\frac{1}{i} \frac{∂}{∂t_{n}} )^{α_{n}} (u (p̃ + \frac{t}{2}) φ(t + p̃)) dt dq̃

= [(−\frac{1}{i} \frac{∂}{∂t_{1}} )^{α_{1}} … (−\frac{1}{i} \frac{∂}{∂t_{n}} )^{α_{n}} (u (p̃ + \frac{t}{2}) φ (t + p̃))]_{t=0} .

Par suite, pour f ∘ ψ = u (p̃) on trouve

W′ (f) φ (p̃) = u (p̃) φ (p̃)

et pour f ∘ ψ = u (p̃) q_{k} on trouve

W′ (f) φ (p̃) = −\frac{1}{i} (\frac{1}{2} \frac{∂u}{∂p_{k}} φ (p̃) + u (p̃) \frac{∂φ}{∂p_{k}} ) .

On déduit alors de ces remarques et de la proposition 2.3 le résultat suivant (voir [8]).

Proposition 2.4. Pour tout X de 𝔤′, la fonction X̃ définie sur Ω (ξ_{0}) est un symbole polynomial en la variable q̃ et, pour toute fonction φ ∈ C_{0}^{∞} (ℝ^{n} , E) , on a W′ (i X̃) φ = dσ (X) φ .

3. Quantification d’une orbite principale du groupe SO_{0} (n + 1 , 1)

3.1. Soient G = SO_{0} (n + 1 , 1) et 𝔤 l’algèbre de Lie de G. Pour décrire la série principale de G, on introduit à présent quelques notations. On considère la décomposition d’Iwasawa G = K′A N de G où K′ est le groupe des matrices du type

( \begin{matrix}k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

où k ∈ SO (n + 1) , A le groupe abélien des matrices

ch t 0 sh t
0 I_{n} 0
sh t 0 ch t

pour t ∈ ℝ et N le groupe des matrices

( \begin{matrix}1 − \frac{1}{2}|x|^{2} & x & \frac{1}{2}|x|^{2} \\ −x^{tr} & I_{n} & x^{tr} \\ −\frac{1}{2}|x|^{2} & x & 1 + \frac{1}{2}|x|^{2} \end{matrix} )

où x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} , |x|^{2} = x_{1}^{2} + … + x_{n}^{2} .

Le centralisateur M de A dans K′ est le groupe des matrices

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

où k ∈ SO (n). On note 𝔞 et 𝔪 les algèbres de Lie respectives des groupes A et M .

Le groupe K = SO_{0} (n , 1) sera considéré comme un sous groupe de G à l’aide du plongement

k → ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix} )

et l’algèbre de Lie 𝔨 de K sera alors considérée comme une sous algèbre de 𝔤.

Soit (E_{ij})_{0≤i,j≤n+1} la base canonique de l’espace des matrices carrées d’ordre n + 2 à coefficients réels. On complète la base de 𝔨 de la section 2 formée par les matrices A_{ij} = E_{ji} − E_{ij} (1 ≤ i < j ≤ n) , T_{k} = E_{kn+1} + E_{n+1 k} (1 ≤ k ≤ n) en une base de 𝔤 en lui adjoignant les matrices B_{k} = E_{0 k} − E_{k 0}(1 ≤ k ≤ n) et D = E_{0 n+1} + E_{n+1 0} .

Soient α ∈ ℝ et φ_{0} ∈ 𝔪^{∗}. On note χ_{α} le caractère de A défini par χ_{α} (exp t D) = e^{iαt} pour t ∈ ℝ. On suppose que l’orbite Ω (φ_{0}) de φ_{0} sous l’action coadjointe de M ≃ SO (n) est entière, associée à une représentation unitaire irréductible ρ de M, d’espace E. On note ξ_{0} l’élément de 𝔤^{∗} tel que ζ_{0}|_{𝔪} = φ_{0} , ζ_{0} (D) = α et ζ_{0} (X) = 0 pour tout X appartenant au complémentaire orthogonal de 𝔪 ⊕ 𝔞 dans 𝔤 pour la forme de Killing de 𝔤. La méthode des orbites associe alors à l’orbite coadjointe O (ζ_{0}) ⊂ 𝔤^{∗} de ζ_{0} la représentation induite unitaire π = Ind_{M A N}^{G} (ρ ⊗ χ_{α} ⊗ 1_{N}) [7].

3.2. La représentation π est habituellement réalisée dans un espace de fonctions de carré intégrable de G/MAN dans E. Ici, on va donner une réalisation de π mieux adaptée à notre problème de contractions.

Le groupe G = SO_{0} (n + 1 , 1) agit de façon naturelle sur le cône C de ℝ^{n+2} d’équation x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + … + x_{n}^{2} − x_{n+1}^{2} = 0 donc sur l’espace ℙ (C) ensemble des droites vectorielles ℝ(x_{0}, x_{1}, …, x_{n+1}) où (x_{0}, x_{1}, …, x_{n+1}) ∈ C. Cette action est transitive et le stabilisateur de ℝ (1, 0, ..., 0, 1) pour cette action est le groupe M A N. D’où ℙ (C) ≃ G/MAN. D’autre part, l’application ℝ (x_{0} , x_{1}, …, x_{n+1}) → (x_{1}/x_{0}, …, x_{n}/x_{0} , x_{n+1}/x_{0}) est une bijection continue d’un ouvert dense de ℙ (C) dans l’hyperboloïde H ensemble des p ∈ ℝ^{n+1} tels que −Σ_{1≤i≤n} p_{i}^{2} + p_{n+1}^{2} = 1 et permet de transporter l’action de G sur ℙ (C) en une action de G sur H définie presque partout. On peut remarquer que la restriction de cette dernière action à K = SO_{0} (n , 1) ⊂ G est l’action habituelle de SO_{0} (n , 1) sur H.

L’hyperboloïde H est réunion de ses deux nappes H^{+} = {p ∈ H : p_{n+1} > 0} et H^{−} = {p ∈ H : p_{n+1} < 0}. On pose, pour p ∈ H^{+} , M_{p} = exp T_{p} où T_{p} a été défini dans la section 2 et pour p ∈ H^{−} , M_{p} = w exp T_{w.p} où w = Diag (−1, −1, 1, …, 1) ∈ G. Pour p ∈ H^{−}, T_{p} désignera la matrice T_{p′} où p′ = (p_{1}, …, p_{n}, −p_{n+1}). Notons g.p l’action de g ∈ G sur p ∈ H définie plus haut. On a, pour tout p ∈ H , M_{p}.e_{n+1} = p.

On utilise alors la section p → M_{p} de H dans G ainsi définie pour réaliser la représentation π dans le complété H_{π} de l’espace C_{0}^{∞} (H , E) des fonctions ϕ : H → E de classe C^{∞} à support compact pour la norme définie par ∥ϕ∥^{2} = ∫_{H}⟨ϕ(p), ϕ (p)⟩ dν (p) , ν désignant la mesure quasi invariante sur H définie par

∫_{H} ϕ (p) dν (p) = ∫_{ℝ^{n}} ϕ^{+} (p̃) dp̃ + ∫_{ℝ^{n}} ϕ^{−} (p̃) dp̃

où, pour ϕ ∈ C_{0}^{∞} (H , E), on a posé

\begin{aligned}ϕ^{+} (p_{1}, …, p_{n}) & = ϕ (p_{1}, …, p_{n}, (1 + Σ_{1≤i≤n} p_{i}^{2})^{1/2}) \\ ϕ^{−} (p_{1}, …, p_{n}) & = ϕ (p_{1}, …, p_{n}, −(1 + Σ_{1≤i≤n} p_{i}^{2})^{1/2}) \end{aligned}

et où dp̃ = dp_{1}dp_{2} … dp_{n} est la mesure de Lebesgue de ℝ^{n}. On obtient, par un calcul habituel (voir, par exemple, [14])

π (g) ϕ (p) = δ (g , p) (χ_{α} ⊗ ρ ⊗ 1_{N}) (M_{p}^{−1} g M_{g.p}^{−1}) ϕ (g^{−1}.p)

où δ est le multiplicateur correspondant à la mesure quasi invariante ν sur H. Remarquons que la matrice M_{p}^{−1} g M_{g.p}^{−1} stabilise e_{n+1} (lorsque g.p est défini) donc appartient à MAN.

On a besoin, pour la suite, de calculer la différentielle dπ de la représentation π. Ce calcul se fait de façon analogue à celui de la différentielle dσ de la représentation σ de la section 2 (voir [8]) à l’aide des lemmes suivants.

Lemme 3.1. On pose pour p ∈ H et X ∈ 𝔤

L (p , X) = \frac{d}{dt}( M_{p}^{−1} exp (t X) M_{exp (−t X).p})|_{t=0}.

Alors pour p ∈ H^{+} ,

L (p , X) = pr_{1} (Ad M_{p}^{−1}.X) + th (\frac{1}{2} ad T_{p}) pr_{2} (Ad M_{p}^{−1} X)

où pr_{1} , pr_{2} désignent les projections respectives sur 𝔪 ⊕ 𝔞 ⊕ 𝔫 et P dans la somme directe 𝔤 = 𝔪 ⊕ 𝔞 ⊕ 𝔫 ⊕ P, et pour p ∈ H^{−},

L(p , X) = L(w.p , Ad wX) .

Preuve. La preuve est analogue à celle du lemme 2.2 (voir [6]).

Lemme 3.2. Pour p ∈ H^{+} , on a L(p, X) = X pour X ∈ 𝔪, L(p, X) = − th( \frac{1}{2} ad T_{p})X pour X ∈ P ainsi que L(p, D) = p_{n+1} D et L(p, B_{k}) = −p_{k} D+ th (\frac{1}{2} ad T_{p})T_{k} pour k = 1, ..., n.

Preuve. Ce résultat se déduit immédiatement du lemme 3.1 précédent.

Lemme 3.3. Pour p ∈ H^{+} , on a δ(k , p)^{2} = (k p)_{n+1}/p_{n+1} pour k ∈ K,

δ(exp (t D) , p)^{2} = \frac{p_{n+1} ch t + sh t}{p_{n+1}| ch t + sh t p_{n+1}|^{n+1}} ,

et δ(exp (t B_{l}) , p)^{2} = \frac{1}{| cos t−p_{l} sin t|^{n+1}} pour l = 1, 2, ..., n et t réel assez proche de 0.

Preuve. Pour vérifier la première égalité, on calcule le jacobien de l’application p → k.p en remarquant que k s’écrit (exp T)u où T ∈ P et u ∈ SO(n). Pour les deux suivantes, on calcule de même les jacobiens des applications p → exp (t D).p et p → exp (t B_{k}).p .

Proposition 3.4. Soit ϕ ∈ C_{0}^{∞}(H , E). Pour un élément p ∈ H, posons p̃ = (p_{1}, p_{2}, …, p_{n}). Alors pour p ∈ H^{+} on a

dπ (A_{ij}) ϕ(p) = dρ (A_{ij}) ϕ^{+}(p̃) + (p_{j} \frac{∂}{∂p_{i}} − p_{i} \frac{∂}{∂p_{j}} ) ϕ^{+} (p̃),
dπ (T_{k}) ϕ(p) = −dρ (th (\frac{1}{2} ad T_{p})T_{k}) ϕ^{+} (p̃) − p_{n+1} \frac{∂ϕ^{+}}{∂p_{k}} − \frac{p_{k}}{2p_{n+1}} ϕ^{+} (p̃),
dπ (D) ϕ(p) = (\frac{1}{2} (n + 1) p_{n+1} − \frac{1}{2p_{n+1}} ) ϕ^{+} (p̃) + iα p_{n+1} ϕ^{+} (p̃)

+ p_{n+1} Σ_{1≤l≤n} p_{l} \frac{∂ϕ^{+}}{∂p_{l}} ,

dπ (B_{k}) ϕ(p) = dρ (th (\frac{1}{2} ad T_{p})T_{k}) ϕ^{+} (p̃) − (\frac{n + 1}{2} + iα) p_{k} ϕ^{+} (p̃)

− p_{k} (Σ_{1≤l≤n} p_{l} \frac{∂ϕ^{+}}{∂p_{l}}) − \frac{∂ϕ^{+}}{∂p_{k}}

et pour p ∈ H^{−},

dπ (A_{ij}) ϕ (p) = dρ (Ad w.A_{ij}) ϕ^{−}(p̃) + (p_{j} \frac{∂}{∂p_{i}} − p_{i} \frac{∂}{∂p_{j}} ) ϕ^{−} (p̃),
dπ (T_{k}) ϕ (p) = dρ (Ad w (th (\frac{1}{2} ad T_{p})T_{k})) ϕ^{−} (p̃) − p_{n+1} \frac{∂ϕ^{−}}{∂p_{k}}

− \frac{p_{k}}{2p_{n+1}} ϕ^{−} (p̃),

dπ (D) ϕ (p) = (\frac{1}{2} (n + 1) p_{n+1} − \frac{1}{2p_{n+1}} ) ϕ^{−} (p̃) + iα p_{n+1} ϕ^{−} (p̃),

+ p_{n+1} Σ_{1≤l≤n} p_{l} \frac{∂ϕ^{−}}{∂p_{l}}

dπ (B_{k}) ϕ (p) = dρ (Ad w (th (\frac{1}{2} ad T_{p})T_{k})) ϕ^{−} (p̃)

− (\frac{n + 1}{2} + iα) p_{k} ϕ^{−} (p̃) − p_{k} (Σ_{1≤l≤n} p_{l} \frac{∂ϕ^{−}}{∂p_{l}}) − \frac{∂ϕ^{−}}{∂p_{k}} .

3.3. Dans le but de définir une correspondance de Weyl adaptée sur l’orbite O (ζ_{0}), on va introduire à présent un paramétrage de cette orbite.

Lemme 3.5. L’application ε : g.ζ_{0} → g.e_{n+1} est définie sur un ouvert dense de O (ζ_{0}) qui s’écrit O^{+} ∪ O^{−} où O^{+} = exp (P) M A N .ζ_{0} et O^{−} = w.O^{+} . On a alors O^{+} = ε^{−1} (H^{+}) et O^{−} = ε^{−1} (H^{−}) . Preuve. Le stabilisateur de ζ_{0} dans G est, d’après [6] , lemme 1, le groupe M′A où M′ est le stabilisateur de φ_{0} dans M donc est inclus dans M A N ce qui montre que ε est bien définie sur l’ouvert dense de O (ζ_{0}) formé des points g.ζ_{0} tels que g.e_{n+1} soit défini i.e. g_{00} + g_{0 n+1} ≠ 0. Lorsque g.e_{n+1} est défini dans H, on a ou bien g.e_{n+1} = p ∈ H^{+} ce qui implique (M_{p}^{−1} g).e_{n+1} = e_{n+1} et M_{p}^{−1} g ∈ M A N donc g ∈ exp (P)M A N ou bien g.e_{n+1} ∈ H^{−} ce qui implique (wg).e_{n+1} ∈ H^{+} donc g ∈ w exp (P) M A N .

Proposition 3.6. 1) L’application γ^{+} : (p̃, q̃, φ) → γ^{+} (p̃, q̃, φ) de ℝ^{2n} × Ω(φ_{0}) dans 𝔤^{∗} définie par

(1) Ã_{ij} (γ^{+}(p̃, q̃, φ)) = ⟨φ, A_{ij}⟩ + p_{i} q_{j} − p_{j} q_{i}, 1 ≤ i < j ≤ n ,

(2) T̃_{k} (γ^{+}(p̃, q̃, φ)) = −⟨φ, th (\frac{1}{2} ad T_{p})T_{k}⟩ + p_{n+1} q_{k}, 1 ≤ k ≤ n,

(3) D̃ (γ^{+}(p̃, q̃, φ)) = (α − Σ_{1≤l≤n} p_{l} q_{l}) p_{n+1},

(4) B̃_{k} (γ^{+}(p̃, q̃, φ)) = − (α − Σ_{1≤l≤n} p_{l} q_{l}) p_{k} + q_{k} + ⟨φ, th (\frac{1}{2} ad T_{p})T_{k}⟩,

1 ≤ k ≤ n,

où p = (p̃, p_{n+1}) ∈ H^{+} , est un symplectomorphisme du produit symplectique ℝ^{2n}×Ω (φ_{0}) dans O^{+} muni de la restriction de la 2-forme de Kirillov de O (ζ_{0}).

2) Pour p̃ = (p̃_{1} , p̃_{2}, …, p̃_{n}) on pose w.p̃ = (p̃_{1} , −p̃_{2}, …, −p̃_{n}) et pour φ ∈ 𝔪^{∗} on note w.φ l’élément de 𝔪^{∗} défini par ⟨w.φ , X⟩ = ⟨φ , Ad w^{−1}.X⟩ pour X ∈ 𝔪 (remarquons que Ad w (𝔪) ⊂ 𝔪). L’application γ^{−} : (p̃, q̃, φ) → w.γ^{+} (w.p̃, w.q̃, w.φ) est un symplectomorphisme du produit symplectique ℝ^{2n} × Ω (w.φ_{0}) dans O^{−} muni de la restriction de la 2-forme de Kirillov de O (ζ_{0}) .

Preuve. Le calcul direct de ζ = M_{p} man ζ_{0} où p ∈ H^{+} , m ∈ M , a ∈ A , n ∈ N montre que (p , ζ|_{𝔨}) appartient à l’orbite de (e_{n+1} , φ̃_{0}) sous l’action coadjointe de G′ = ℝ^{n+1} × SO_{0} (n, 1) (voir la section 2). D’après la proposition 2.1, il existe p̃ ∈ ℝ^{n} , q̃ ∈ ℝ^{n} , φ ∈ Ω (φ_{0}) tels que ζ|_{𝔨} (A_{ij}) = Ã_{ij} (ζ) , ζ|_{𝔨} (T_{k}) = T̃_{k} (ζ) soient donnés pour 1 ≤ i < j ≤ n , 1 ≤ k ≤ n par les expressions (1) et (2). On revient alors au calcul de M_{p} man ζ_{0} pour obtenir, en utilisant (1) et (2), les expressions (3) et (4). Ceci montre que l’image de γ^{+} est O^{+} . L’injectivité de γ^{+} se déduit également de la proposition 2.1. On montre ensuite que γ^{+} est un symplectomorphisme par un calcul analogue à celui de la preuve de la proposition 2.1. (voir [8]). D’où 1). Enfin, 2) se déduit de 1).

Remarquons qu’à l’orbite coadjointe Ω (w.φ_{0}) est associée la représentation ρ′ de M ≃ SO (n) définie par ρ′ (m) = ρ (w m w^{−1}) pour m ∈ M, réalisée dans le même espace E que la représentation ρ.

3.4. On peut à présent définir une correspondance de Weyl adaptée sur l’orbite O (ζ_{0}). On dira qu’une fonction f : O (ζ_{0}) → ℂ est un symbole sur O (ζ_{0}) si pour tout (p̃, q̃) ∈ ℝ^{n} × ℝ^{n} la fonction φ → f ∘ γ^{+} (p̃, q̃, φ) est le symbole, dans le calcul symbolique de Berezin sur l’orbite Ω (φ_{0}), d’un opérateur de E noté f̂^{+} (p̃, q̃) et la fonction φ → f ∘ γ^{−} (p̃, q̃, φ) est le symbole, dans le calcul de Berezin sur l’orbite Ω (w.φ_{0}), d’un opérateur de E noté f̂^{−} (p̃, q̃). Pour un tel symbole f sur O (ζ_{0}), on définit lorsque cela a un sens les transformées de Weyl W (f̂^{+}) et W (f̂^{−}) des fonctions f̂^{+} et f̂^{−} de ℝ^{n} × ℝ^{n} dans E au moyen de la formule intégrale (1) de la section 2 puis l’opérateur W (f) de H_{π} par

\begin{aligned}W (f) ϕ(p) & = W (f̂^{+}) ϕ^{+} (p̃) si p ∈ H^{+} \\ W (f) ϕ(p) & = W (f̂^{−}) ϕ^{−} (p̃) si p ∈ H^{−} \end{aligned}

où p = (p̃, p_{n+1}) ∈ H et ϕ ∈ C_{0}^{∞} (H , E) . En particulier, on dira que le symbole f sur O (ζ_{0}) est polynomial en la variable q̃ lorsque les fonctions f̂^{+} et f̂^{−} sont des fonctions de classe C^{∞} polynomiales en q_{1} , q_{2}, …, q_{n} .

Proposition 3.7. Pour X ∈ 𝔤, la fonction X̃ sur O (ζ_{0}) est un symbole polynomial en la variable q̃ et W (iX̃) ϕ = dπ (X) ϕ pour toute fonction ϕ ∈ C_{0}^{∞} (H , E).

Preuve. Cette proposition se vérifie de façon analogue à la proposition 2.4 par un calcul direct utilisant la proposition 3.4 (calcul de dπ) et les remarques sur la correspondance de Weyl de la fin de section 2.

4. Contraction de correspondances de Weyl adaptées

4.1. On rappelle que le groupe K = SO_{0} (n , 1) est considéré comme un sous groupe de G = SO_{0} (n + 1 , 1) (voir section 3). L’algèbre de Lie 𝔨 de K est alors une sous algèbre de 𝔤 qui admet comme sous espace supplémentaire Ad K - invariant le sous espace V de 𝔤 engendré par les B_{k} (1 ≤ k ≤ n) et D. On identifie V à ℝ^{n+1} au moyen de l’application qui à x = (x_{1} , x_{2}, …, x_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1} associe x̃ = (∑_{1≤k≤n} x_{k} B_{k}) + x_{n+1} D . L’action adjointe de K sur V correspond alors à l’action usuelle de K sur ℝ^{n+1} . Par suite, le groupe de Poincaré G′ = ℝ^{n+1} × SO_{0} (n , 1) est une contraction de G relativement à K. Les “applications contraction” c_{λ}, (λ > 0) de G′ dans G sont données par

c_{λ} (x , k) = exp_{G} (λ x̃) k

pour x ∈ ℝ^{n+1}, k ∈ K et admettent pour différentielles les applications dc_{λ}, λ > 0, définies par

dc_{λ} (x , A) = λ x̃ + A

pour x ∈ ℝ^{n+1} et A ∈ 𝔨 (voir section 1).

4.2. On reprend ici les notations des sections 2 et 3 en les allégeant quelque peu. Soit φ_{0} ∈ 𝔪^{∗} tel que l’orbite Ω (φ_{0}) soit entière, associée à une représentation unitaire irréductible ρ de M ≃ SO (n). Soit m > 0. On note Ω^{+} = Ω (ξ_{0}) l’orbite de ξ_{0} = (m e_{n+1} , φ̃_{0}) ∈ 𝔤^{∗} sous l’action coadjointe du groupe de Poincaré G′ et Ω^{−} = Ω (ξ′_{0}) l’orbite de ξ′_{0} = (−m e_{n+1} , w̃.φ_{0}) ∈ 𝔤^{′∗} sous l’action coadjointe de G′. Pour λ > 0, on note O_{λ} l’orbite sous l’action coadjointe de G de l’élément ζ_{0} de 𝔤^{∗} défini comme dans la section 3 par la donnée de φ_{0} et par α = m/λ . Soient O_{λ}^{+} et O_{λ}^{−} les ouverts de O_{λ} définis dans le lemme 3.5, γ_{λ}^{+} : ℝ^{2n} × Ω (φ_{0}) → O_{λ}^{+} et γ_{λ}^{−} : ℝ^{2n} × Ω (w.φ_{0}) → O_{λ}^{−} les applications définies dans la proposition 3.6. A l’orbite O_{λ} est associée comme dans la section 3 une représentation π_{λ} de la série principale de G et une correspondance de Weyl adaptée W_{λ}.

4.3. On rappelle qu’à l’orbite Ω (w.φ_{0}) ⊂ 𝔪^{∗} est associée la représentation unitaire irréductible ρ′ de M ≃ SO (n) définie par ρ′ (m) = ρ (w m w^{−1}) pour m ∈ M, réalisée dans l’espace E de la représentation ρ.

A l’orbite coadjointe Ω^{+} de G′ la méthode des orbites associe la représentation unitaire irréductible σ de G′ définie dans la section 2. De même, à l’orbite coadjointe Ω^{−} est associée l’induite unitaire

σ^{−} = Ind_{ℝ^{n+1}×SO (n)}^{G′} (e^{i<−m e_{n+1} , · >} ⊗ ρ′)

réalisée dans l’espace H_{σ} de σ par

σ^{−} (v , k) φ (p̃) = e^{im⟨p, v⟩} ρ′ (N_{p}^{−1} k N_{k^{−1}p}) ((k^{−1}p)_{n+1}/p_{n+1})^{1/2} φ (k̃^{−1}p)

où on a posé p = (p̃, p_{n+1}) ∈ H^{−} et N_{p} = w_{0} M_{w_{0}p} w_{0} , w_{0} étant l’automorphisme de ℝ^{n+1} de matrice Diag (+1, −1, …, −1) (remarquons que l’action de w_{0} sur H coïncide avec l’action de w sur H).

On obtient alors, de la même façon que dans la section 2, les propositions suivantes analogues des propositions 2.1 et 2.3 .

Proposition 4.1. L’application ψ^{−} : (p̃, q̃, φ) → ψ^{−} (p̃, q̃, φ) de ℝ^{2n} × Ω (w.φ_{0}) dans 𝔤^{′∗} définie par

Ã_{ij} (ψ^{−}(p̃, q̃, φ)) = ⟨φ, A_{ij}⟩ + p_{i} q_{j} − p_{j} q_{i} , 1 ≤ i < j ≤ n ,

T̃_{k} (ψ^{−}(p̃, q̃, φ)) = ⟨φ, th (\frac{1}{2} ad T_{p})T_{k}⟩ + p_{n+1} q_{k} , 1 ≤ k ≤ n ,

W̃_{k} (ψ^{−}(p̃, q̃, φ)) = −m p_{k} , 1 ≤ k ≤ n ,

W̃_{n+1} (ψ^{−}(p̃, q̃, φ)) = m p_{n+1}

où p = (p̃, p_{n+1}) ∈ H^{−} est un symplectomorphisme du produit symplectique ℝ^{2n} × Ω (w.φ_{0}) dans l’orbite Ω^{−}.

Proposition 4.2. Pour φ ∈ C_{0}^{∞} (ℝ^{n} , E) on a

dσ^{−} (A_{ij}) φ (p̃) = dρ′ (A_{ij}) φ (p̃) + (p_{j} \frac{∂}{∂p_{i}} − p_{i} \frac{∂}{∂p_{j}} ) φ (p̃) , 1 ≤ i < j ≤ n ,
dσ^{−} (T_{k}) φ (p̃) = dρ′ (th (\frac{1}{2} ad T_{p})T_{k}) φ (p̃) − p_{n+1} \frac{∂φ}{∂p_{k}}

− \frac{p_{k}}{2p_{n+1}} φ (p̃) , 1 ≤ k ≤ n ,

dσ^{−} (W_{k}) φ (p̃) = −im p_{k} , 1 ≤ k ≤ n , dσ^{−} (W_{n+1}) φ (p̃) = im p_{n+1} ,

où p_{n+1} = − (1 + Σ_{1≤k≤n} p_{k}^{2})^{1/2} .

On définit, de la même façon que dans la section 2, à l’aide de la proposition 4.1 et du calcul de Berezin sur l’orbite Ω (w.φ_{0}) la classe des symboles polynomiaux dans la variable q̃ sur l’orbite Ω^{−} et la correspondance de Weyl W′′ qui associe à un tel symbole un opérateur de l’espace H_{σ}. On obtient alors la proposition suivante, analogue à la proposition 2.4:

Proposition 4.3. Pour X ∈ 𝔤′, la fonction X̃ définie sur Ω^{−} est un symbole polynomial en la variable q̃ et W′′ (i X̃) φ = dσ^{−} (X) φ pour φ ∈ C_{0}^{∞} (ℝ^{n} , E).

4.4. Soient f_{λ} : O_{λ} → ℂ (λ > 0) , g : Ω^{+} → ℂ et h : Ω^{−} → ℂ des symboles polynomiaux en la variable q̃ de même degré c’est à dire tels qu’il existe un entier r tel que, avec les notations des sections 2 et 3:

\begin{aligned}f̂_{λ}^{+} (p̃, q̃) & = Σ_{|α|≤r} u_{α}^{λ} (p̃) q̃^{α} , f̂_{λ}^{−} (p̃, q̃) = Σ_{|α|≤r} v_{α}^{λ} (p̃) q̃^{α} , \\ ĝ (p̃, q̃) & = Σ_{|α|≤r} u_{α} (p̃) q̃^{α} , ĥ (p̃, q̃) = Σ_{|α|≤r} v_{α} (p̃) q̃^{α} , \end{aligned}

où u_{α}^{λ} , v_{α}^{λ} , u_{α} , v_{α} ∈ C^{∞} (ℝ^{n}) et où on a posé

α = (α_{1} , α_{2}, …, α_{n}) ∈ ℕ^{n} , |α| = α_{1} + α_{2} + … + α_{n} , q̃^{α} = q_{1}^{α_{1}} q_{2}^{α_{2}} … q_{n}^{α_{n}} .

On dira alors, suivant [10], que la famille (f_{λ})_{λ>0} est une approximation de (h , g) si , pour tout α tel que |α| ≤ r , (u_{α}^{λ} − u_{α}) et (v_{α}^{λ} − v_{α}) convergent uniformément vers 0 sur les compacts de ℝ^{n}, ainsi que leurs dérivées d’ordre inférieur ou égal à r, lorsque λ tend vers 0.

En utilisant les propriétés de la correspondance de Weyl détaillées à la fin de la section 2, on obtient immédiatement:

Proposition 4.4. Soient g : Ω^{+} → ℂ et h : Ω^{−} → ℂ des symboles polynomiaux en la variable q̃ et (f_{λ})_{λ>0} une approximation de (g , h). Alors, pour ϕ ∈ C_{0}^{∞} (H , E),

lim_{λ→0} W_{λ} (f_{λ}) ϕ (p) = W′ (g) ϕ^{+} (p̃) + W′′ (h) ϕ^{−} (p̃)

uniformément sur les compacts de H.

On peut alors conclure en rappelant un résultat de [14] et en donnant la version infinitésimale:

Proposition 4.5. 1) Pour (v , k) ∈ G′, ϕ ∈ C_{0}^{∞} (H , E) et p ∈ H ,

lim_{λ→0} π_{λ} (c_{λ} (v , k)) ϕ (p) = σ (v , k) ϕ^{+} (p̃) + σ^{−} (v , k) ϕ^{−} (p̃) .

2) Pour X ∈ 𝔤′, ϕ ∈ C_{0}^{∞} (H , E) ,

lim_{λ→0} dπ_{λ} (dc_{λ} (X)) ϕ (p) = dσ (X) ϕ^{+} (p̃) + dσ^{−} (X) ϕ^{−} (p̃)

uniformément sur les compacts de H.

Preuve. 1) est le théorème II 5 de [14]. Pour 2) , on vérifie, en utilisant les propositions 2.1, 3.6 et 4.1, que si X ∈ 𝔤′, alors la famille (d̃c_{λ} (X))_{λ>0} est une approximation de (X̃|_{Ω^{+}} , X̃|_{Ω^{−}}) et on applique la proposition 4.4 précédente. Les propositions 2.4, 3.7 et 4.3 donnent alors le résultat.

4.5. Remarques. On reprend ici les notations de l’introduction. Pour pouvoir étudier de la même façon que ci-dessus le cas général de la contraction des représentations de la série principale d’un groupe de Lie semi simple non compact G vers des représentations du produit semi direct V × K, il faudrait disposer de transformations de Weyl sur les orbites principales de G qui soient appropriées à ce problème de contractions, ce qui ne semble pas être le cas pour les transformations de Weyl introduites dans [6] (voir [10]). D’autre part, on ne dispose pas non plus, en dehors de quelques cas particuliers, de transformations de Weyl sur les orbites entières de V × K. Par conséquent, toute généralisation des résultats précédents semble difficile même si, selon une remarque de [10], une fois construites des transformations de Weyl adéquates, la contraction des transformations de Weyl sur les orbites principales de G vers les transformations de Weyl sur des orbites entières de V × K doit pouvoir s’étudier de manière analogue à celle des exemples considérés dans [10] et dans le présent travail.

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Benjamin Cahen Université de Metz Département de Mathématiques Ile du Saulcy, 57045 METZ Cedex 01 France cahen@poncelet.sciences.univ-metz.fr

Received June 21, 1998 and in final form September 20, 2000