Parlare di architettura e frattali può portare su un terreno ambiguo.[1] Lo scopo di questo articolo è quello di mettere alla prova determinati concetti propri della geometria frattale su degli oggetti architettonici. In questo modo non si dimostrerà che gli ordini architettonici sono dei veri e propri oggetti frattali ma, piuttosto, si vedrà come l'approccio con degli "strumenti" frattali possa essere effettuato, e quali informazioni possiamo ricavare da un simile procedimento.

Possiamo prendere come guida la definizione di insieme frattale dovuta a Falconer, per cui F è frattale se:

(i) F ha una struttura fine, cioè dettagli a scale arbitrariamente piccole.
(ii) F è troppo irregolare per essere descritto in un linguaggio geometrico tradizionale, sia localmente che globalmente.
(iii) Spesso F ha una qualche forma di autosomiglianza, che può anche essere approssimata o statistica.
(iv) Solitamente, la 'dimensione frattale' di F (definita in qualche modo) è più grande della sua dimensione topologica.
(v) Nella maggior parte dei casi di interesse F è definito in modo molto semplice, anche ricorsivamente.[2]

Vale la pena di sottolineare che un oggetto architettonico è solo approssimativamente frattale, poiché non può avere dettagli infinitamente piccoli, perciò, a questo proposito noi preferiamo non parlare di "architettura frattale" ma di architettura "con caratteristiche frattali".

Nel campo dell'architettura già Carl Bovill [3] ha applicato l'analisi frattale per misurare, con il metodo box counting, la dimensione frattale di alcune opere di Wright e di Le Corbusier, in questo testo vorremmo fare delle osservazioni sul significato che può avere un'architettura con caratteristiche frattali e, in particolare, mostrare come un discorso del genere si adatti bene agli ordini architettonici.[4]

Per entrare nel dettaglio dell'analisi frattale gli ordini architettonici possono essere presi come caso di studio molto significativo; i motivi sono più d'uno: in primo luogo si può definire con una certa facilità l'oggetto di studio, inoltre possiamo ridurre l'analisi alla sola successione verticale di elementi chiaramente separati e, attraverso questa focalizzazione su di una sola dimensione, compiere un'analisi in modo sistematico e preciso. Benché molto semplice, o forse proprio per questo, l'esempio degli ordini architettonici riesce a fornire un'immagine molto limpida dell'analisi frattale applicata all'architettura e contribuisce a fugare alcuni equivoci su cosa sia da intendere con il termine frattale in questo campo.

DEFINIZIONE DELL'OGGETTO IN ESAME
Gli ordini architettonici presi in esame sono quelli definiti da Palladio nel suo trattato sull'architettura [5] (vedi fig.1), l'analisi sarà focalizzata sulla successione di elementi verticali, in sostanza si prende l'intersezione tra una retta e i segmenti che separano un elemento dall'altro e si considera questo insieme di punti come l'oggetto da esaminare; se ciò può apparire una semplificazione troppo grande è anche vero che in questo modo si rende possibile un'analisi completa, inoltre, l'errore che da questa astrazione può venire sarebbe, al limite, di de-frattalizzare l'ordine e, quindi, se riusciamo a dimostrare una coerenza con l'ipotesi frattale della nostra astrazione, possiamo ben dire che anche l'ordine reale ha delle caratteristiche frattali, possibilmente più spinte di quelle che abbiamo considerato noi. Per ora, comunque, possiamo accettare l'idea di indagare il modo in cui la superficie è strutturata in una dimensione.

METODOLOGIA
I metodi con cui l'indagine sarà portata avanti sono due. Il primo consiste nella misurazione della dimensione box counting [6] dell'insieme di punti definito sopra, il secondo nell'analisi del rapporto tra numero e dimensione degli intervalli tra i punti (cioè degli elementi che formano l'ordine architettonico).

Con il primo metodo (vedi fig.2) conteremo il numero di quadretti che sono "occupati" da qualche punto dell'insieme considerato e, ad ogni passaggio, divideremo per due il lato del quadretto. Invece di utilizzare il metodo box counting classico impiegheremo una versione leggermente modificata [7], che tiene in considerazione il numero di punti che ricade in ogni quadretto. In seguito si riporta su un grafico sull'asse delle ordinate il valore che deriva dal numero di quadretti occupati e, su quello delle ascisse, il logaritmo dell'inverso del lato del quadretto [8]. Attraverso l'analisi statistica si ricava la retta che approssima in modo migliore questa distribuzione di punti e il coefficiente di correlazione, che indica quanto è buona. L'inclinazione della retta rappresenta la dimensione frattale dell'insieme di punti cui l'ordine architettonico era stato ridotto. Per ottenere la dimensione dell'ordine architettonico (ovvero la dimensione del disegno originario, sempre considerando solamente le righe orizzontali) basterà aggiungere 1 al risultato ottenuto [9].

Il secondo metodo (vedi fig.3) consiste nel contare il numero di spazi con lunghezza superiore ad una lunghezza u che viene fatta variare, dimezzandola; i risultati si riportano su un grafico logaritmico dove, sull'asse delle ordinate si legge il numero di spazi e sull'asse delle ascisse il valore di u. Questo sistema deriva dal tipo di analisi suggerito da Salingaros [10] e, anche in questo caso, occorre determinare l'inclinazione della retta che approssima meglio i dati e il grado di correlazione tra la retta e questi ultimi.

Va osservato che il vantaggio di effettuare l'analisi su una sola dimensione è anche quello di potere visualizzare immediatamente l'andamento dei dati: dato che si parla di un insieme di punti e non di un frattale vero e proprio, noi dobbiamo aspettarci che, affinando l'indagine, il risultato tenda a zero [11], quello che più conta è quanto lentamente lo faccia (cioè quanto più si spinge verso un autentico frattale), e questo è facilmente verificabile dal momento che, quando succede, la curva disegnata dai dati si appiattisce fino a diventare orizzontale. La coerenza frattale è stimabile, allora, anche attraverso il semplice confronto visivo dei dati, cosa che non è tanto automatica se si estende l'indagine al piano, nel qual caso avremo i valori della dimensione che tendono a uno, cosa che è più difficilmente percepibile a occhio nudo [12].

CONFRONTO
L'analisi così condotta porta a dei risultati, ma è importante che essi siano confrontati con un caso costruito appositamente per avere determinate caratteristiche frattali, che quindi noi conosciamo. Analizzando il nostro ordine "artificiale" abbiamo una specie di cartina di tornasole in grado di convalidare il tipo di indagine. La limitazione a trattare solo la successione di elementi in verticale che abbiamo imposto all'inizio torna ancora a nostro vantaggio per potere costruire facilmente un simile termine di paragone. Possiamo immaginare di leggere la successione di elementi tipica degli ordini architettonici come un insieme di Cantor, infatti, come in questo, anche in quella, si ritrovano degli spazi larghi circondati da spazi piccoli i quali, a loro volta, sono circondati da spazi ancora più piccoli. A questo punto possiamo definire un modello basato su una modificazione dell'insieme di Cantor tradizionale e sottoporlo all'analisi (vedi fig.4). Un primo livello di controllo lo possiamo effettuare con il confronto visivo diretto, disegnando un ordine architettonico e mettendolo accanto a quelli veri. Osservata una certa plausibilità dell'ipotesi a fondamento del modello si passa alla stessa indagine di cui si è parlato al punto 2, e si confrontano i risultati.

RISULTATI DELL'INDAGINE
L'analisi frattale condotta su tre ordini di Palladio, il corinzio, il dorico e il composito, e sul modello di controllo mostra una fondamentale coerenza con un'interpretazione frattale.

Il metodo della Dimensione d'Informazione mostra come tutti e tre gli ordini di Palladio mantengono una certa costanza dei dati fino all'ottavo passaggio, questo significa che il valore della dimensione si abbatte solo quando il conteggio si effettua sulla base di quadretti con lato più piccolo di 1/256 dell'altezza dell'intero ordine. Se consideriamo un'altezza complessiva di 10 metri, concludiamo che la coerenza frattale è mantenuta fino ai dettagli di 4 centimetri, ciò non è sorprendente dato che, negli ordini architettonici, ci sono modanature anche piccolissime.

Il secondo metodo convalida i risultati del primo, mostrando come il numero di elementi continua a crescere mano a mano che diminuisce la loro altezza, caratteristica questa essenziale negli oggetti frattali. Anche in questo caso il risultato più importante è l'intervallo molto ampio su cui la lettura frattale è effettuata. L'andamento non perfettamente lineare sembrerebbe negare che ciò sia vero, sebbene il coefficiente di correlazione si mantiene molto alto, ma se si considera con attenzione la forma dei grafici, ci si accorge che l'elemento più importante è la crescita tendenziale dei dettagli con il decrescere della loro altezza.

L'"ordine" di controllo, costruito esplicitamente con una ricorsione frattale, fornisce dei risultati molto simili a quelli ottenuti dagli ordini di Palladio, rafforzando ancora di più questa lettura, e ci aiuta a comprendere che i salti presenti nei grafici relativi al secondo metodo sono inevitabili [13].

La dimensione frattale misurata non è precisa, come si può facilmente vedere nei grafici, ma oscilla. Il fatto importante è notare che essa oscilla anche per il modello di controllo, ed è superiore a quella teorica che, in questo caso, conosciamo. Il problema è quindi da ricondurre a due fatti: il primo è che il metodo stesso ha dei limiti, come si ricordava sopra, il secondo è che non dovremmo considerare gli ordini come dei frattali "semplici", piuttosto andrebbero visti come esempi di multifrattali in cui convivono dimensioni diverse [14]. Anche considerando questi limiti, si può mettere in risalto che la dimensione si aggira comunque tra 0,6 e 0,7 [15]: sapendo che questi valori sono approssimati per eccesso, possiamo lo stesso affermare che la dimensione si colloca in una posizione tendenzialmente intermedia tra 0 e 1, dove zero rappresenta l'insieme vuoto (assenza totale di ogni elemento di interesse) e uno l'insieme completamente pieno (caos visivo dove ogni parte è riempita) (vedi fig. 5). La geometria di questi oggetti architettonici bilancia quindi tra i due estremi e questo fatto è ritenuto di estrema importanza sia da Mandelbrot sia da Eglash [16].

Vedere gli ordini, che per secoli sono stati alla base dell'architettura occidentale, in questo modo ci può portare a fare alcune considerazioni. La prima è che si osserva come, nell'analisi dei dati numerici, la presenza di piccoli elementi, sia inserita in un insieme continuo e coerente di parti; se leggiamo in modo frattale questa struttura non distinguiamo più tra essenziale e inessenziale, tutto è essenziale e fa sì che le cose stiano insieme in questo modo (frattale). Si può dire, sempre assumendo quest'ottica, che la forma generale non è quello che conta di più, perché quello che conta davvero è il modo in cui tutte le cose sono tenute insieme. Per fare un esempio, attraverso questa analisi si può dire che le "astrazioni" che hanno ridotto agli elementi principali gli ordini architettonici (come in certe architetture dei regimi totalitari della prima metà del secolo scorso) non hanno colto questo fatto, mentre un architetto come Wright [17], anche non riproducendo affatto queste forme, ha realizzato delle architetture che, dal punto di vista frattale, vi si avvicinano molto. La seconda osservazione può essere fatta sulla genesi degli ordini stessi. Abbiamo già osservato come l'ordine di Cantor costituisca un modello approssimato, ma realistico, del tipo di geometria frattale degli ordini architettonici. Si può andare avanti con questa idea e ipotizzare un semplice processo di "gemmazione" che dia luogo a dei sistemi architettonici strutturati in modo simile (vedi fig.6). Partendo da pochi elementi, un piedritto su di un basamento che regge qualcosa, si può vedere cosa succede se si decide di distinguere gli elementi introducendone altri, sopra e sotto, e si continua con questa operazione per un certo numero di volte. Si può facilmente osservare che questo modo di procedere, basato su una logica semplice, è in grado di generare un livello di differenziazione molto alto, fino a dar vita a qualcosa che si avvicina molto alla forma reale che gli ordini architettonici hanno assunto nella storia. Questo tipo di strutturazione che abbiamo visto presenta poi una peculiarità dal punto di vista percettivo, infatti possiamo affermare che il tipo di struttura con caratteristiche frattali è molto più robusta visivamente. Possiamo osservare questo fenomeno mettendo a confronto due disegni, uno rappresenta un tappeto di Sierpinski, l'altro un quadrato suddiviso in quadretti (vedi fig. 7); sottoponendo i due disegni a delle leggere modifiche si può osservare che il secondo risente in modo molto accentuato di qualsiasi variazione, mentre il primo sembra variare di meno. Questa caratteristica delle figure frattali potrebbe spiegare il fatto che gli ordini architettonici, anche sottoposti a delle modifiche nelle loro parti costituenti mantengono un loro "ordine" che non viene meno come succederebbe se la loro geometria non possedesse le caratteristiche frattali di cui abbiamo parlato in questo articolo.

NOTE
[1] Si veda su questo argomento l'articolo: Ostwald M.J., "Fractal Architecture": Late Twentieth Century Connections Between Architecture and Fractal Geometry, Nexus Network Journal, vol.3, n.1 (Winter 2001), http://www.nexusjournal.com/Ostwald-Fractal.html. Per un ulteriore approfondimento a proposito dell'ambiguità del tema si vedano anche: Balmond C., New Structure and the Informal, Architectural Design, Vol. 67, n. 9/10, 1997; Jencks C., The Architecture of the Jumping Universe, Academy Editions, London, 1997; Jencks C., New Science=New Architecture, Architectural Design, Vol. 67, n. 9/10, 1997; Eisenman P., L'inizio, la fine e ancora l'inizio, Casabella, n. 520-521, 1986. ritornare al testo

[2] Falconer K., Fractal Geometry: Mathematical Foundation and Application, Wiley, Chichester, 1990, pagg. xx-xxi. ritornare al testo

[3] Bovill C., Fractal Geometry in Architecture and Design, Birkhauser, Boston, 1996. ritornare al testo

[4] Non ci risulta che, fino ad ora, sia già stata data una interpretazione frattale degli ordini architettonici. ritornare al testo

[5] Palladio A., I Quattro Libri dell'Architettura, Studio Tesi, Pordenone, 1992, pagg. 30-67. ritornare al testo

[6] Per una discussione approfondita sulla dimensione frattale si veda Falconer K., Fractal Geometry: Mathematical Foundation and Application, Wiley, Chichester, 1990. ritornare al testo

[7] La Dimensione di Informazione (per una definizione si veda in Peitgen H.O., Jurgens, Saupe, Chaos and Fractals: new frontiers of Science, Springer Verlag, New York, 1998) consente di tenere conto della maggiore o minore probabilità che un quadretto sia "riempito" da qualche parte della figura. ritornare al testo

[8] Si considera l'altezza dell'intero ordine architettonico, da terra fino all'ultima modanatura, come unitaria. ritornare al testo

[9] Il problema può essere ricondotto a quello della moltiplicazione di due insiemi con diverse dimensioni frattali, la cui dimensione è uguale alla somma delle dimensioni (cfr. Falconer K., Fractal Geometry: Mathematical Foundation and Application, Wiley, Chichester, 1990). ritornare al testo

[10] Per una esposizione della posizione di Salingaros sull'architettura "frattale" si veda in particolare Salingaros N.A., A universal rule for the distribution of sizes, http://www.math.utsa.edu/sphere/salingar/Universal.html. Il metodo che suggeriamo può anche essere desunto dall'analisi di Mandelbrot dell'insieme di Cantor (Mandelbrot B.B., Gli oggetti frattali. Forma, caso e dimensione, Einaudi, Torino, 1987). I legami tra ordini architettonici e insieme di Cantor saranno evidenti nel resto del testo. ritornare al testo

[11] Un oggetto frattale come l'insieme di Cantor non tenderebbe mai a zero ma, nel caso di oggetti reali, non possiamo arrivare mai a questo livello di astrazione, proprio per questa ragione abbiamo introdotto la definizione di architettura "con caratteristiche frattali" per indicare quelle architetture che entro determinati limiti si comportano in modo simile a un frattale. ritornare al testo

[12] Si potrebbe avanzare la proposta di impiegare un modo di rappresentazione differente che presenti sempre i vantaggi di cui si è detto. ritornare al testo

[13] In effetti la forma del grafico risente del fatto che la lunghezza u è stata dimezzata ogni volta; i salti rappresentano il fatto che, in quei punti l'altezza degli elementi "saltava" in modo più rapido. ritornare al testo

[14] Non ci risultano, allo stato attuale, esempi di applicazione di metodi di analisi multifrattale all'architettura. In questo breve testo possiamo solo avanzare l'idea che un simile approccio possa fornire delle nuove informazioni sulla geometria delle architetture. ritornare al testo

[15] 0,6 e 0,7 è la dimensione dell'insieme di punti a cui è stata ricondotta la nostra analisi, la dimensione della successione di modanature varia quindi tra 1,6 e 1,7. ritornare al testo

[16] Mandelbrot B.B., Scalebound or Scaling Shapes. A Useful Distinction in the Visual Arts and in the Natural Sciences, Leonardo, n. 14, 1981, pagg. 45-47; Eglash R., African Fractals, Rutgers University Press, New Brunwick, New Jersey, London, 1999, pag. 171. ritornare al testo

[17] Si veda a proposito di Wright le analisi del già citato Carl Bovill ( Bovill C., Fractal Geometry in Architecture and Design, Birkhauser, Boston, 1996) e Eaton L.K., Fractal Geometry in the Late Work of Frank Lloyd Wright: The Palmer House, Nexus II: Architecture and Mathematics, 1998 (ed. by Kim Williams). ritornare al testo

L'AUTORE
Daniele Capo, nato nel 1972, si è laureato nel 2002 in Architettura all'Università di Firenze con una tesi su "Architettura e Geometria Frattale" (relatore, Prof. R. Corazzi, correlatore Prof. G. Conti). Attualmente vive a Viterbo dove lavora come architetto e come grafico e segue un master in "Interior Yacht Design". Il suo curriculum è sul sito http://digilander.libero.it/daniele_capo.

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