Istituto Statale d'Arte 1, Via Giovanni Boccaccio -- Villa Reale 20052 Monza (Milano) ITALIA ...Una piccola raccolta di oggetti curiosi, celebrazione di forme naturali e artificiali, decorava una mensola a parete. Qualche ingegnoso puzzle di legno, qualche sasso sagomato e colorato, delle sfere di cristallo di rocca, qualche turbine sagomato e levigato di conchiglia che rappresenta per ogni occhio quasi l'origine naturale dell'architettura come un tempo ogni fossile era considerato uno "scherzo di natura" e come tale testimone inanimato della creazione del mondo... Manlio Brusatin, descrive la casa di Carlo Scarpa nel saggio "la casa dell'architetto" [Brusatin 1984] INTRODUCTION Il percorso didattico di cui tratteremo si propone, in qualche modo, come una riflessione su questi temi. È un viaggio guidato nel mondo della forma delle conchiglie, condotto all'interno della didattica di una scuola di design. La finalità primaria di questo lavoro è quella di proporre agli studenti metodi di lettura a carattere prevalentemente scientifico. Le forme materiali del mondo ci parlano con un linguaggio che è una rete di stimoli simultanei, lontano da quella sequenzialità logica che ci aiuta ad assegnare nomi alle cose e razionalizzare. È un processo in cui le impressioni sensoriali prima vanno estratte dal continuum e poi ordinate in percorsi fatti di domande e tentativi di risposta. Trattenere qualcosa di non occasionale da questo flusso di informazioni è una conquista faticosa ma è uno dei principali obiettivi di una formazione al mondo della visione e del progetto. Svolgendo queste considerazioni in ambito didattico potremmo dire che ogni disciplina possiede filtri di analisi che cercano di tradurre la "continua" realtà in un insieme "discreto" di strutture interpretative. Gli oggetti naturali, data la straordinaria stratificazione di significati che recano, si prestano egregiamente a indagini, come questa, di carattere interdisciplinare. La spontanea bellezza delle forme naturali inoltre è un traguardo cui tendere; tale bellezza nasce da un'intima relazione tra forma, materiali e funzioni dove ogni spessore, ogni colore appaiono necessari, una sobrietà fatta di infinite sottigliezze, ciò che i teorici del design individuano nella fondamentale categoria della coerenza formale. L'osservazione delle forme naturali da sempre ha ispirato le scelte progettuali in architettura; dal tema classico della scala a chiocciola, declinato in innumerevoli esempi antichi e contemporanei -- dalla mirabile scala del castello di Blois attribuita a Leonardo a quelle di Gaudi per la Sagrada Familia fino al recente museo di Pei a Berlino -- a legami più sottili e profondi tra forma architettonica e principio naturale (basti pensare a tutta la tarda produzione di Gaudi fondata su un vocabolario di forme statiche spontanee implicitamente evocanti oggetti naturali). Questo tipo di ricerca, fondendosi sempre più, nel corso del novecento con la cosiddetta architettura degli ingegneri, è stata portata avanti, seppur con linguaggi e approcci molto diversi, da personaggi come Nervi, Musmeci, Le Ricolais, Candela, Buckminster Fuller e Calatrava. Una citazione a parte merita il tedesco Frei Otto fondatore di gruppi interdisciplinari di ricerca ove architetti e ingegneri lavorano a fianco dei biologi.[1] Su un versante di ricerca sicuramente meno ingegneristico sulle forme naturali in architettura -- ma non per questo meno interessante -- ricordiamo il lavoro di Frank O'Gehry o degli svizzeri Herzog e De Meuron con la loro Natural History. STRUTTURA DEL LAVORO La scelta di questo specifico argomento oltre che dal desiderio di creare forme interessanti è stata dettata fondamentalmente dai seguenti motivi:
Va aggiunto che l'approccio di tipo locale che questo lavoro implica avrebbe potuto essere un'introduzione concreta allo studio dei sistemi complessi. Questa visione ribalta il concetto gerarchico di organizzazione della forma, introducendo i concetti di parallelismo e sensibilità che da anni sono patrimonio delle discipline scientifiche più astratte ma che devono ancora essere conosciute e digerite nell'ambito delle scuole di design (a questo saranno dedicati alcuni progetti didattici dei prossimi anni). RAPPORTO FORMA FUNZIONE Schematicamente potremmo osservare che in tutti i casi la conchiglia svolge una funzione di scudo e sostegno delle parti molli anche se i comportamenti delle diverse classi di molluschi sono piuttosto differenziate. Vi sono essenzialmente due tipologie: gusci univalvi e gusci bivalvi. Consideriamo le classi del sottotipo dei molluschi conchiferi:
Ingegnere o bricoleur? La rassegna delle diverse funzioni assegnate alla conchiglia dalle diverse specie di molluschi ci fa pensare a quanto detto da Jacob [4] nel suo "Evoluzione e bricolage". Egli osserva che, dal punto di vista di un progettista umano, la natura sembra adottare a volte un approccio da ingegnere che concepisce strutture razionalmente pensate per rispondere alle richieste anche estreme dell'ecosistema in cui dovranno operare. Ma più spesso la natura sembra agire come farebbe un appassionato di bricolage che si trova a dover riadattare per nuove necessità strutture nate per tutt'altri scopi. Nel caso delle conchiglie potremmo forse dire che i rifugi portatili sembrano pensati dall'ingegnere mentre il bricoleur li ha riadattati a ovopositori, scheletri interni o addirittura paratie di galleggiamento simili a quelle di un sommergibile. Osservazioni e rilievi morfologici. Le conchiglie di quasi tutti i molluschi, inclusi i bivalvi, sono caratterizzate da un disegno elegante e simmetrico basato su un cono avvolto a spirale lungo un asse. Da Thompson [5] prendiamo queste osservazioni:
È noto sin dal 1638 che la forma a spirale di queste conchiglie possiede la proprietà dell'autosomiglianza durante la crescita (vedi crescita isometrica). Questa proprietà implica che la proiezione di qualsiasi spirale generatrice su un piano ortogonale all'asse di simmetria (in realtà -- come verrà spiegato successivamente -- è un asse di rototraslazione) produce una curva studiata per la prima volta da Cartesio e da lui definita spirale equiangolare o logaritmica. Analisi geometrica. Rendiamo più precise le considerazioni sinora svolte citando da Cortie [6] una definizione geometrica dei caratteri morfologici del guscio di una conchiglia. Senza addentrarci nei dettagli del suo modello matematico a 16 variabili ci limiteremo alla sua efficace descrizione dei caratteri fondamentali. Per semplicità immaginiamo la superficie della conchiglia come il risultato della rotazione di una figura piana (una curva direttrice che rappresenta la forma dell'apertura da cui il mollusco fuoriesce) attorno ad un asse secondo le seguenti modalità:
Il rispetto di queste condizioni produce un solido (che da ora in avanti chiameremo guscio) avente come direttrice la forma dell'apertura e come generatrici delle elicospirali che proiettate su di un piano ortogonale all'asse producono, come già accennato, spirali logaritmiche o equiangolari [7] (fig.6). A questo punto l'insegnante di matematica -- che ha già introdotto la misura in radianti degli angoli e la rappresentazione dei punti attraverso le coordinate polari -- completa l'indagine introducendo la descrizione e l'equazione della spirale (sia archimedea sia logaritmica). Dalle descrizioni precedenti prende spunto il nostro lavoro. Le affermazioni appena citate implicano un principio che sarà il cardine della nostra ricerca:
pertanto:
Questa considerazione implica l'assunzione di un approccio
di tipo locale. Come avviene in alcuni ambiti della scienza della
complessità [8],
noi descriveremo la forma globale solo occupandoci delle relazioni
di un modulo con i suoi adiacenti. IL MODELLO 2D Le aggregazioni di quadrilateri. Iniziamo il nostro percorso dall'osservazione che qualsiasi quadrilatero convesso -- se aggregato lato a lato [9] con altre sue copie simili -- produce una copertura [10] del piano in cui tutti i vertici della pavimentazione appartengono a due distinte famiglie di spirali logaritmiche aventi lo stesso polo ma senso rotatorio opposto. È un procedimento di pavimentazione del piano con moduli tutti della stessa forma ma di diverse misure [nella fig. 10 a lato abbiamo esempi di come, da un quadrilatero, dato a piacere, si possa sviluppare una copertura del piano].
Affermiamo pertanto che:
Nel prossimo paragrafo tratteremo in modo sintetico la classificazione di tutti i quadrilateri, per analizzare poi le relazioni che ogni quadrilatero stabilisce con le famiglie di spirali che produce. La classificazione dei quadrilateri. Abbiamo individuato 4 parametri a, b, d, e j e espressi in forma di grandezze angolari, le cui variazioni ci permettono di individuare qualsiasi famiglia di quadrilateri -- ottenuti come intersezione di due triangoli -- e di distinguere ogni singolo caso possibile (si veda fig.11 per una descrizione in termini intuitivi). In particolare consideriamo come le variazioni dei 4 parametri caratterizzano le categorie dei quadrilateri convessi (ricordiamo, che in questa descrizione, quando un angolo è uguale a 0 le due rette che vi concorrono sono parallele):
Quadrilateri e pavimentazioni. Alla luce dei parametri per la classificazione dei quadrilateri riprendiamo il discorso sulle relazioni tra di essi e le coperture che producono. Considerando che "ad ogni quadrilatero corrisponde una copertura" vediamo le due relazioni fondamentali tra un quadrilatero e la coperture da questo generato:
Rivolgendo le considerazioni sinora svolte alle classi di quadrilateri osserviamo quanto segue (vedi tabella riassuntiva nella fig. 14). I parallelogrammi, presentando valori a e b uguali a 0, producono sistemi di spirali che sono rette e quindi la copertura corrisponde a una pavimentazione del piano di moduli tra loro congruenti. In questo caso il polo del sistema è da considerarsi infinitamente lontano (un punto all'infinito). I trapezi, presentando il valore di a (o di b) uguale a 0, producono sistemi di spirali in cui i lati non paralleli di un modulo sono allineati con il polo. Nel caso di trapezi isosceli il sistema di spirali collassa in un sistema di cerchi concentrici e rette radiali passanti per il polo. I quadrilateri generici, presentando valori a e b diversi da 0, producono -- in genere -- sistemi di spirali in cui i lati di un modulo non sono mai allineati con il polo. Pavimentazioni di quadrilateri e conchiglie 2D. Da questa panoramica sulle coperture prodotte da quadrilateri simili veniamo allo scopo di questa sezione che è quello di produrre forme che siano modelli 2D di ipotetiche conchiglie dello spazio a due dimensioni. Da una conchiglia, anche se in 2D, ci aspettiamo, per prima cosa, un avvolgimento serrato cioè che tra una spira e la successiva non vi siano spazi residui o sovrapposizioni. Notiamo che l'avvolgimento serrato è un elemento primario di identità visiva di una conchiglia.
Per produrre un modello di conchiglia 2D un quadrilatero deve pavimentare in modo tale che tutta la tassellatura sia il risultato dell'avvolgimento di una sola striscia come vediamo in fig. 15 (1,11). L'immagine nella fig. 10b ad esempio, presenta 12 strisce in un senso e 9 nell'altra, la fig. 14c inferiore 6 e12, mentre quella della fig. 15 a sinistra (5,5). Ora descriveremo una costruzione geometrica che ci permetterà di ricavare da quadrilateri, dati a piacere, moduli in grado di costruire pavimentazioni come quella della fig. 15b caratterizzate dalla presenza di una sola striscia in uno dei due sensi. Non tratteremo più a fondo un argomento che per essere sviluppato richiederebbe l'uso di strumenti che esulano dalla semplice geometria di base utilizzata in questo lavoro. È interessante notare come questo aspetto del modello 2D ci induca a riflettere sui problemi geometrici legati alla fillotassi aprendo gli orizzonti alla quasicristallografia delle infiorescenze. Costruzione geometrica di un avvolgimento serrato. Immaginiamo di voler produrre una conchiglia, cioè un avvolgimento serrato di moduli a partire da un quadrilatero convesso qualsiasi che come vediamo nell'immagine 16a produce un avvolgimento aperto. Troviamo per ogni quadrilatero della fila il punto di intersezione delle diagonali e quindi uniamo tra loro i centri dei moduli adiacenti e quelli dei moduli che si trovano l'uno di fronte all'altro nelle spire successive della striscia fig. 16b. Una volta individuato un quadrilatero potremo svilupparne una striscia che sicuramente produrrà un avvolgimento serrato o trarne una pavimentazione del piano. Nella fig. 17 osserviamo una collezione di conchiglie 2D così prodotte e vediamo che possono essere interpretate come una proiezione su di un piano di conchiglie 3D.
Nel prossimo paragrafo potremo verificare una strettissima analogia di caratteri tra i due sistemi in due e tre dimensioni, quasi una semplice traduzione da 2D a 3D. Ci sembrano particolarmente significative, queste corrispondenze:
Questa parte del lavoro è stata resa possibile grazie all'uso di un supporto informatico interattivo come Cabri II. Attraverso la creazione di una macrocostruzione si possono aggregare velocemente i quadrilateri simili di dimensioni opportune. Senza l'uso del computer questo lavoro sarebbe quasi impossibile da gestire graficamente.[11] IL MODELLO 3D Come abbiamo visto, nel piano è sufficiente assemblare
copie simili di un quadrilatero per produrre una spirale logaritmica,
altrettanto nello spazio è possibile individuare una forma
base che aggregata in copie simili produce una elicospirale.
La figura generata da questa semplice operazione è il modulo (per una descrizione più precisa della sua costruzione vedi il tabella qui sotto).
Aggregazione. Procediamo nella costruzione del nostro modello 3D eseguendo, attraverso una similitudine, alcune copie del modulo. Il rapporto di questa similitudine sarà quello che intercorre tra le dimensioni delle due basi del modulo. Procedendo in tal modo produrremo una serie di moduli di grandezze decrescenti. I moduli saranno aggregati (uno sopra l'altro) in modo da far coincidere le coppie di basi aventi le stesse dimensioni, avendo cura di far coincidere i vertici corrispondenti.[13] Con questo procedimento di aggregazione otterremo una struttura spaziale dall'andamento spiraliforme le cui caratteristiche dipenderanno in tutto dai parametri che controllano la forma del modulo. Parametri del modulo. A questo punto del lavoro, dopo
avere esposto le operazioni base di costruzione e aggregazione
vediamo in modo essenziale come -- modificando i fattori critici
della forma del modulo -- si possono riprodurre, in forma essenziale
[14], le
dinamiche osservabili in natura.
Il parametro A influenza direttamente la velocità con la quale il nostro guscio si avvolge attorno all'asse. È il parametro tradizionalmente indicato dai biologi (vedi fig. 6). Il parametro B influenza l'ampiezza del cono che avvolto genera il guscio (immaginando di azzerare il parametro A il nostro guscio sarebbe una cono più o meno appuntito, secondo il valore del parametro B). Il parametro C invece influenza l'inclinazione delle basi, rispetto all'asse, durante la rototraslazione. Il parametro D è il vettore che controlla lo spostamento delle due basi in direzione parallela alla cerniera del modulo e quindi all'asse di rototraslazione della struttura. Questo parametro è quello che nella realtà distingue le conchiglie "appuntite", come quella della Turritella, da quelle "piatte" come il Nautilus o le Ammoniti. Come è facilmente intuibile la differenza è data dalla presenza della traslazione lungo l'asse (molto evidente nel primo caso, praticamente assente nel secondo). Alcuni esempi grafici. Nelle figure 18, 19 e 20 possiamo osservare alcune "conchiglie" affiancate dai moduli che le producono. Possiamo apprezzare l'efficacia di queste riproduzioni che ci permettono di intuire come modificando la figura base si riescano a simulare molte dinamiche delle forme naturali e oltre. Uno degli aspetti più stimolanti di questo lavoro è che la notevole somiglianza tra le immagini prodotte e gli oggetti naturali sta in una stretta analogia dei principi costruttivi e non in un tentativo di imitazione, alcune di queste immagini propongono infatti figure che pur seguendo correttamente le procedure indicate generano forme piuttosto improbabili per una conchiglia vera.
I modelli costruiti. In seguito allo studio effettuato abbiamo realizzato una serie di modelli in metallo e plexiglass che vediamo nelle figure 21 e 22 di questo paragrafo. L'intento era quello di rappresentare alcune delle categorie più significative del mondo delle conchiglie dei molluschi marini.
Figura 23. Conchiglia simile a quella di alcuni Gasteropodi caratterizzata da un elevata traslazione delle basi lungo l'asse, una marcata inclinazione e un elevato rapporto di riduzione tra le basi. Figura 24 conchiglia che presenta basi del modulo triangolari, marcata traslazione lungo l'asse , forte inclinazione tra le basi e come tutti i modelli realizzati assenza di inclinazione delle basi rispetto all'asse. Figura 25 Tatcheria mirabilis Tutti i modelli sono costruiti su di un modulo con basi ottagonali. Allo scopo di ovviare al problema delle facce laterali dei moduli che, come accennato, si presenterebbero curve abbiamo scelto di evitare di realizzarle collegando le basi ottagonali con una struttura continua in metallo. Questa scelta evidenzia la forma della struttura portante basata su una spirale logaritmica piana e consente di sottolineare il ruolo fondamentale di questa forma che detta i ritmi di crescita anche nello spazio. Questi in realtà sono da considerare modelli di studio in cui abbiamo scelto di affrontare situazioni particolarmente adatte a una rappresentazione schematica. Il lavoro didattico in futuro potrà svilupparsi almeno in due direzioni:
Questo rapporto possibile-impossibile è un tema particolarmente stimolante per una ricerca sui fondamenti linguistici come questa ed è uno dei temi specifici di una ricerca condotta con criteri scientifici. NOTES [2] Quella che Peter Stevens in "Les formes dans la nature" [1978] , definisce con efficace espressione tirannia dello spazio, quei casi cioè in cui imperativi spaziali, per lo più di natura topologica, impongono la scelta di alcune forme.return to text [3] Effettivamente sostituendo, all'interno della teoria delle pavimentazioni del piano, la congruenza con altre trasformazioni geometriche come le affinità o le omologie si innescano curiosi fenomeni di illusione visiva di cui le "false assonometrie" di cui accenneremo nel paragrafo "alcuni esempi grafici" sono un esempio.return to text [4] Francois Jacob [1978] insignito nel 1965 del Nobel per la medicina con Jacques Monod anch'esso autore di " Il caso e la necessità" un fondamentale testo sulla filosofia naturale della biologia contemporanea.return to text [5] Darcy W. Thompson "Crescita e Forma" (1917) [1961] autentica bibbia degli studi a carattere morfologico sulla natura ripubblicato in tutto il mondo numerose volte ha influenzato generazioni di naturalisti, architetti, ingegneri e studiosi della forma in senso più ampio.return to text [6] Michael Cortie in [Stevens 1978] presenta un modello matematico, visualizzato in computer grafica, della crescita dei gusci dei molluschi.return to text [7] Il valore a dell'angolo caratteristico di queste spirali riveste un particolare valore tassonomico tendendo a rimanere costante nel corso della storia evolutiva di molte specie ( vedi [Meinhardt 1995]).return to text [8] Ad esempio lo studio degli automi cellulari.return to text [9] Lato a lato indica che il lato di un modulo deve coincidere interamente con quello dei moduli ad esso adiacenti. Se immaginiamo di pavimentare con rettangoli la pav lato a lato è quella, ad es., di una griglia fatta di rette incrociate, mentre una pav. non lato a lato è, ad es., quella in cui i rettangoli sono disposti come i mattoni su un muro.return to text [10] Per copertura si intende una tassellatura del piano in cui un punto del piano può appartenere a più di un modulo, con pavimentazione si intende invece una tassellatura in cui un punto del piano può appartenere ad un solo modulo, completa le possibilità la partitura (o packing) in cui un punto del piano può anche non appartenere ad un modulo.return to text [11] Come tutte le costruzioni che per loro natura si sviluppano in una catena di passaggi locali si pone il problema del moltiplicarsi del margine d'errore ad ogni operazione successiva.return to text [12] La presenza di una rotazione tra le basi va esclusa poiché indurrebbe nella struttura finale una torsione elicoidale che nelle conchiglie vere non è mai presente.return to text [13] Anche questa restrizione tende ad evitare nella struttura aggregata una torsione elicoidale.return to text [14] Chi intendesse approfondire questa parte del lavoro può rivolgersi agli autori.return to text BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE Institute for Lightweight Structures. 1977. Pneus in Natur und Technik / Pneus In Nature and Technics, AA.VV., Band 9 der "Mitteilungsreihe des Instituts für leichte Flächentragwerke", Institute for Lightweight Structures, Stuttgart 1977. (In particolare citiamo il paragrafo dedicato alle conchiglie Growth despite hardening). Stevens, Peter S. 1978. "Les formes dans la nature". Seuil Evreux. Cortie, M. 1990. The Form, Function, and Synthesis of the Molluscan Shell da: "Spiral Symmetry" a cura di Istvan Hargittai. World Scientific. Mezzetti, G. 1987. "L'uomo. Dalla natura alla scienza." La Nuova Italia. Jacob, Francois. 1978. "Evoluzione e bricolage". Einaudi Torino 1978. D'Arcy W. Thompson. 1961. "Crescita e forma". Boringhieri Torino. [prima ed.1917]. H. Meinhardt. 1995. "The Algoritmic Beauty of Sea Shells". Springer Verlag Berlin 1995. Theodore Andrea Cook. 1978. "The Curves of life". Dover Publications Inc., New York. [prima ed. 1914]. Richard Dawkins. 1997. "Alla conquista del monte improbabile". A. Mondadori Milano 1997. (Traduzione in italiana di "Climbing mount improbable"). Robert D. Barnes. 1985. "Zoologia: gli invertebrati". Piccin Padova 1985. ABOUT THE AUTHORS
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