PUBLICATIONS DE L’INSTITUT MATHÉMATIQUE Nouvelle série, tome 79(93) (2006), 37–49 DOI: 10.2298/PIM0693037K

GITTERPUNKTE IN SUPERKUGELN

Ekkehard Krätzel

Communicated by Aleksandar Ivić

Zusammenfassung. The number of weighted lattice points in a p-dimensional centralsymmetric sphere can be represented by an infinite series over Bessel functions. This is well known. In the present article this result will be generalized to super spheres, which contain points with Gaussian curvature zero at the boundary. In the representation of the number of lattice points in these super spheres the Bessel functions are replaced by convolution products over generalized Bessel functions. These products can be developed into a series over modified generalized Bessel functions. Then one is in the position to prove some new or modified estimates for the number of lattice points inside super spheres.

1. Einführung und Formulierung des Hauptergebnisses

Es seien k, p natürliche Zahlen mit k ⩾ 3, p ⩾ 2 und ν reelle Zahlen mit ν > −1. Weiterhin seien t⃗_{p} = (t_{1}, t_{2}, …, t_{p}) ∈ ℝ^{p} und n⃗_{p} = (n_{1}, n_{2}, …, n_{p}) ∈ ℤ^{p}. Es werden Superkugeln

SS_{k,p} = {t⃗_{p} ∈ ℝ^{p} : F (t⃗_{p}) ⩽ 1}

betrachtet, deren Distanzfunktion F durch

F^{k}(t⃗_{p}) = |t_{1}|^{k} + |t_{2}|^{k} + ⋯ + |t_{p}|^{k}

gegeben ist. Es interessieren die Anzahl der Gitterpunkte

A(x; SS_{k,p}) = #{n⃗_{p} ∈ ℤ^{p} : F (n⃗_{p}) ⩽ x}

in den Superkugeln oder allgemeiner

A_{ν}(x; SS_{k,p}) = \frac{1}{Γ(ν + 1)} ∑_{F (n⃗_{p})⩽x} (x^{k} − F^{k}(n⃗_{p}))^{ν} ,

2000 Mathematics Subject Classification: Primary 11P21. Key words and phrases: Lattice points, convex bodies, super spheres.

wobei im Falle −1 < ν < 0 F (n⃗_{p}) ≠ x sein muß. Wir setzen A_{0}(x; SS_{k,p}) = A(x; SS_{k,p}). Es sind die folgenden asymptotischen Darstellungen bekannt (siehe [3] und [2]):

(1)  A(x; SS_{k,p}) = V_{k,p}x^{p} + O(x^{p−2+ \frac{2}{p+1}} ) für k ⩽ p + 1.

In der Tat liegen schon bessere Abschätzungen als (1) vor, was aber jetzt nicht weiter interessiert. V_{k,p} ist gegeben durch

V_{k,p} = (\frac{2}{k} )^{p} \frac{Γ^{p}(\frac{1}{k})}{Γ(1 + \frac{p}{k})}.

Hier interessieren wir uns hauptsächlich für den Fall k > p + 1. Die bislang besten Ergebnisse sind in [2] aufgelisted. Sie lauten für k > p + 1, p ⩾ 5

(2)  A(x; SS_{k,p}) = V_{k,p}x^{p} + H_{k,p,1}(x) + O (x^{ϑ_{k,p}})

mit

(3)  ϑ_{k,p} = (p − 2)(1 − \frac{2}{5k} ) + \frac{2}{5} + \frac{4}{5k}  für k < \frac{533p − 482}{168},
(4)  = (p − 2)(1 − \frac{165}{146k} ) + \frac{46}{73} + ε  für k ⩾ \frac{533p − 482}{168}.

Dabei sind \frac{533}{168} = 3, 17 …, ε > 0.

Von grundlegender Wichtigkeit ist die in [3] bewiesene Entwicklung

(5)  ∑_{|n|<x}(x^{k} − |n|^{k})^{ν} = V_{k,1}^{(ν)}Γ(ν + 1)x^{kν+1} + ψ_{ν+1/k}^{(k)}(x)

für x > 0, k ⩾ 2, ν > −1. Es werden die Abkürzungen

V_{k,p}^{(ν)} = (\frac{2}{k} )^{p} \frac{Γ^{p}(\frac{1}{k})}{Γ(ν + 1 + \frac{p}{k})}, V_{k,p}^{(0)} = V_{k,p}

benutzt. Es bedeutet

(6)  ψ_{ν+1/k}^{(k)}(x) = 2\sqrt{π} Γ(ν + 1) ∑_{m=1}^{∞} (\frac{x}{πm})^{\frac{kν+1}{2}} J_{ν+1/k}^{(k)}(2πmx)

mit den verallgemeinerten Bessel-Funktionen

J_{ν}^{(k)}(x) = \frac{2}{\sqrt{π} Γ(ν + 1 − \frac{1}{k})} (\frac{x}{2})^{\frac{kν}{2}} ∫_{0}^{1}(1 − t^{k})^{ν− \frac{1}{k}} cos xt dt

für ν > \frac{1}{k} − 1. Auf Grund der asymptotischen Entwicklung der verallgemeinerten Bessel-Funktionen erhält man für (6) die folgende asymptotischen Reihenentwicklung

(7)  ψ_{ν+1/k}^{(k)}(x) ∼ −2(\frac{k}{2} )^{ν}Γ(ν + 1)x^{ν(k−1)} ∑_{m=1}^{∞} \frac{sin(2πmx − \frac{π}{2} ν)}{(πm)^{ν+1}}

für gerade k und auch für ungerade k > ν. Man erkennt, (6) ist für ν > 0 absolut konvergent und auch konvergent für −1 < ν ⩽ 0 unter der Voraussetzung x ∉ ℤ. Schließlich wird der zweite Hauptterm in (2) durch

(8)  H_{k,p,1}(x) = pV_{k,p−1}ψ_{p/k}^{(k)}(x)

dargestellt.

Das Ziel des Artikels besteht in Folgendem: Im Abschnitt 2 werden Darstellungen für die Anzahlfunktionen A_{ν}(x; SS_{k,p}) auf elementarem Wege hergeleitet, deren einzelnen Terme aus Faltungsprodukten über Reihen verallgemeinerter Bessel-Funktionen bestehen (Satz 1). Ab Abschnitt 4 werden die k auf gerade Zahlen eingeschränkt. Satz 2 gibt die Entwicklung der Restglieder in unendliche Reihen über modifizierte verallgemeinerte Bessel-Funktionen, die im Abschnitt 3 erklärt werden, und asymptotische Entwicklungen. Satz 3 im Abschnitt 5 gibt als Anwendung Abschätzungen der einzelnen Restglieder an. Im Abschnitt 6 werden schließlich neue Abschätzungen im Hauptfall ν = 0 mit Einschränkung auf die Dimension p ⩾ 5 hergeleitet. Für die Dimensionen p = 2, 3, 4 ergibt sich nichts Neues. Satz 4 bildet dann die wesentliche Grundlage für den folgenden Hauptsatz.

Hauptsatz. Es sei k gerade, k > p + 1, p ⩾ 5. Dann ist

A(x; SS_{k,p}) = V_{k,p}x^{p} + pV_{k,p−1}ψ_{p/k}^{(k)}(x) + O (x^{ϑ_{k,p}})

mit

(9)  ϑ_{k,p} = p − 2 + \frac{2}{p + 1}  für k ⩽ \frac{165}{92}(p + \frac{27p − 46}{23p − 50})
(10)  ϑ_{k,p} = (p − 2)(1 − \frac{165}{146k} ) + \frac{46}{73} + ε für k > \frac{165}{92}(p + \frac{27p − 46}{23p − 50}).

Hinweise. (p − 2)(1 − \frac{2}{5k} ) + \frac{2}{5} + \frac{4}{5k} > p − 2 + \frac{2}{p + 1} für k > p + 1. Damit

bedeutet (9) für k > p+1 einen glatten Übergang zu (1) für k ⩽ p+1 im Gegensatz zum Übergang (2) zu (1).

\frac{165}{92} = 1, 79 …, 1, 17 … < \frac{27p − 46}{23p − 50} < 1, 36 …, ε > 0.

Hiermit ist der Gültigkeitsbereich der guten Abschätzung in (3) beziehungsweise in (10) deutlich erweitert worden. □

2. Darstellung der Gitterpunktsanzahlen

In Folgendem bezeichne

f(x) ∗ g(x) = ∫_{0}^{x} f(t)g(x − t) dt,

die Faltung zweier Funktionen und

∏_{r=1}^{p} ∗f_{r}(x) = f_{1}(x) ∗ f_{2}(x) ∗ ⋯ ∗ f_{p}(x)

40 KRÄTZEL

und (f(x))^{∗p} die p-fache Faltung von f(x) mit sich selbst.

Satz 1. Es seien k, p ∈ ℕ, k ⩾ 3, p ⩾ 2 und ν > −1. Dann ist

(11)  A_{ν}(x; SS_{k,p}) = V_{k,p}^{(ν)}x^{kν+p} + ∑_{r=1}^{p−1} H_{k,p,r}^{(ν)}(x) + Δ_{k,p}^{(ν)}(x)

mit

(12)  Δ_{k,p}^{(ν)}(x^{\frac{1}{k}} ) = \frac{1}{Γ^{p}(\frac{ν+1}{p})} (ψ_{(ν+1)/p+1/k−1}^{(k)}(x^{\frac{1}{k}} ))^{∗p} ,
(13)  H_{k,p,1}^{(ν)}(x) = pV_{k,p−1}^{(ν)}ψ_{ν+p/k}^{(k)}(x),
(14)  H_{k,p,r}^{(ν)}(x) = (\frac{2}{k} )^{p−r}({p \atop r})Γ^{p−r}(\frac{1}{k} )Δ_{k,r}^{(ν+(p−r)/k)}(x)

für 1 < r < p.

Beweis. Es ist bei Verwendung von (5)

A_{ν}(x^{\frac{1}{k}}; SS_{k,p}) = \frac{1}{Γ(ν + 1)} ∑_{F^{k}(n⃗_{p})⩽x} (x − F^{k}(n⃗_{p}))^{ν}

= \frac{1}{Γ^{p}(\frac{ν+1}{p})}( ∑_{|n|^{k}<x} (x − |n|^{k})^{\frac{ν+1}{p} −1})^{∗p}

= \frac{1}{Γ^{p}(\frac{ν+1}{p})}(\frac{2}{p} \frac{Γ(\frac{1}{k})}{Γ(\frac{ν+1}{p} + \frac{1}{k})} x^{\frac{ν+1}{p} + \frac{1}{k} −1} + ψ_{(ν+1)/p+1/k−1}^{(k)} (x^{\frac{1}{k}} ))^{∗p}.

Entwickelt man jetzt die rechte Seite, so ergibt sich sofort (11), wobei man den Hauptterm und das Restglied (12) sogleich erkennt. Für H_{k,p,r}^{(ν)} hat man zunächst

H_{k,p,r}^{(ν)}(x^{\frac{1}{k}} ) = \frac{(2/k)^{p−r}({p \atop r})Γ^{p−r}(\frac{1}{k})}{Γ^{r}(\frac{ν+1}{p})Γ((p − r)(\frac{ν+1}{p} + \frac{1}{k}))} x^{(p−r)( \frac{ν+1}{p} + \frac{1}{k})−1}
∗ (ψ_{(ν+1)/p+1/k−1}^{(k)}(x^{\frac{1}{k}} ))^{∗r}

= \frac{(2/k)^{p−r}({p \atop r})Γ^{p−r}(\frac{1}{k})}{Γ^{r}(\frac{ν+1}{p})Γ(\frac{p−r}{r} (\frac{ν+1}{p} + \frac{1}{k}))}

· (x^{(p−r)( \frac{ν+1}{p} + \frac{1}{k})−1} ∗ ψ_{(ν+1)/p+1/k−1}^{(k)}(x^{\frac{1}{k}} ))^{∗r} .

Nun ergibt sich über die Reihendarstellung (6) und die Integraldarstellung der verallgemeinerten Bessel-Funktionen leicht das allgemeine Faltungsgesetz

x^{μ} ∗ ψ_{ν}^{(k)}(x^{\frac{1}{k}} ) = \frac{Γ(μ + 1)Γ(ν + 1 − \frac{1}{k})}{Γ(μ + ν + 2 − \frac{1}{k})} ψ_{μ+ν+1}^{(k)}(x^{\frac{1}{k}} )

für μ > −1, ν > \frac{1}{k} − 1. Daraus ergeben sich (13) und (14) sofort. □

Korollar 1. Es ist

A_{k,p}^{(ν)}(x) = ∑_{ϱ=1}^{p}(−1)^{ϱ−1}({p \atop ϱ})(\frac{2}{k} )^{p−ϱ}Γ^{p−ϱ}(\frac{1}{k} )A_{ν+(p−ϱ)/k}(x; SS_{k,ϱ})

= V_{k,p}^{(ν)}x^{kν+p} + (−1)^{p−1}Δ_{k,p}^{(ν)}(x). (15)

Beweis. (11) läßt sich mit Hilfe von (14) folgendermaßen schreiben:

(16) A_{ν}(x; SS_{k,p}) = V_{k,p}^{(ν)}x^{kν+p} + ∑_{r=1}^{p} ({p \atop r})(\frac{2}{k} )^{p−r}Γ^{p−r}(\frac{1}{k} )Δ_{k,r}^{(ν+(p−r)/k)}(x).

Diese Darstellung läßt sich auch für p = 1 verwenden, wenn man (5) in der Form

A_{ν}(x; SS_{k,1}) = \frac{1}{Γ(ν + 1)} ∑_{|n|<x} (x^{k} − |n|^{k})^{ν} = V_{k,1}^{(ν)}x^{kν+1} + Δ_{k,1}^{(ν)}(x)

mit

Δ_{k,1}^{(ν)}(x) = \frac{1}{Γ(ν + 1)}ψ_{ν+1/k}^{(k)}(x)

schreibt. Wendet man die Bildung der linken Seite von (15) auf (16) an, so erhält man für die rechte Seite von (16)

∑_{ϱ=1}^{p}(−1)^{ϱ−1}({p \atop ϱ})(\frac{2}{k} )^{p−ϱ}Γ^{p−ϱ}(\frac{1}{k} )V_{k,ϱ}^{(ν+(p−ϱ)/k)}x^{kν+p}

+ ∑_{ϱ=1}^{p} ∑_{r=1}^{ϱ}(−1)^{ϱ−1}({p \atop ϱ})({ϱ \atop r})(\frac{2}{k} )^{p−r}Γ^{p−r}(\frac{1}{k} )Δ_{k,r}^{(ν+(p−r)/k)}(x)

= ∑_{ϱ=1}^{p}(−1)^{ϱ−1}({p \atop ϱ})V_{k,p}^{(ν)}x^{kν+p}

+ ∑_{ϱ=1}^{p} ∑_{r=1}^{ϱ}(−1)^{ϱ−1}({p \atop ϱ})({ϱ \atop r})(\frac{2}{k} )^{p−r}Γ^{p−r}(\frac{1}{k} )Δ_{k,r}^{(ν+(p−r)/k)}(x)

= V_{k,p}^{(ν)}x^{kν+p} + (−1)^{p−1}Δ_{k,p}^{(ν)}(x).

□

3. Verallgemeinerte Bessel-Funktionen

Es ist zweckmäßig, neben den in der Einführung erklärten verallgemeinerten Bessel-Funktionen noch sogenannte modifizierte verallgemeinerte Bessel-Funktionen einzubeziehen. Es bezeichne k natürliche Zahlen, ν und q_{r}(r = 1, 2, …, p) beliebige reelle Zahlen mit k ⩾ 2, ν > −1, q_{r} > 0 und q⃗_{p} = (q_{1}, q_{2}, …, q_{p}). Weiter wird festgelegt

F_{p} = F_{p}(t⃗_{p}) = (t_{1}^{k} + t_{2}^{k} + ⋯ + t_{p}^{k})^{\frac{1}{k}} ,  t_{1}, t_{2}, …, t_{p} ⩾ 0,
Q_{p} = Q_{p}(q⃗_{p}) = (q1^{\frac{k}{k−1}} + q2^{\frac{k}{k−1}} + ⋯ + qp^{\frac{k}{k−1}} )^{1− \frac{1}{k}} .

Definition 1. Als modifizierte verallgemeinerte Bessel-Funktion werde bezeichnet

(17) J_{p,ν}^{(k)}(q⃗_{p}, x) = (\frac{4}{π} )^{\frac{p}{2}} \frac{1}{Γ(ν + 1)} ∫ ⋯ ∫_{F_{p}⩽x} (x^{k} − F_{p}^{k})^{ν} ∏_{r=1}^{p}(cos(q_{r}t_{r}) dt_{r}).

Man erkennt unmittelbar

(18)  J_{1,ν}^{(k)}(q⃗_{1}, x) = (\frac{2x}{q_{1}})^{\frac{kν+1}{2}} J_{ν+1/k}^{(k)}(q_{1}x)

und

J_{1,ν}^{(k)}(q⃗_{1}, x^{\frac{1}{k}} ) = \frac{2}{k\sqrt{π}} \frac{1}{Γ(ν + 1)}x^{ν} ∗ x^{\frac{1}{k} −1} cos (q_{1}x^{\frac{1}{k}} ).

Durch fortgesetztes Falten erhält man leicht

(19)  J_{p,ν}^{(k)}(q⃗_{p}, x^{\frac{1}{k}} ) = ∏_{r=1}^{p} ∗J_{1,ν_{r}}^{(k)}(q_{r}, x^{\frac{1}{k}} )

mit ν = ν_{1} + ν_{2} + ⋯ + ν_{p} − 1. Schließlich ist noch

J_{p,ν}^{(k)}(q⃗_{p}, x^{\frac{1}{k}} ) = (\frac{4}{πk^{2}} )^{\frac{p}{2}} \frac{1}{Γ(ν + 1)} x^{ν} ∗ ∏_{r=1}^{p} ∗ (x^{\frac{1}{k} −1} cos (q_{r}x^{\frac{1}{k}} )) .

Von nun an werde stets k als gerade Zahl vorausgesetzt. Dann braucht man in (17) die Integration nicht mehr auf t_{r} ⩾ 0 einschränken, sondern auch t_{r} < 0 ist zulässig. Damit ergibt sich für gerade k die Integraldarstellung

J_{p,ν}^{(k)}(q⃗_{p}, x) = π^{− \frac{p}{2}} \frac{x^{kν+p}}{Γ(ν + 1)} ∫ … ∫_{F_{p}⩽1} (1 − F_{p}^{k})^{ν} cos(q⃗_{p}t⃗_{p}x) dt_{1} ⋯ dt_{p}

mit q⃗_{p}t⃗_{p} = q_{1}t_{1} + q_{2}t_{2} + ⋯ + q_{p}t_{p}. Mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung erkennt man

q⃗_{p}t⃗_{p} ⩽ ∑_{r=1}^{p} q_{r}|t_{r}| ⩽ Q_{p}F_{p} ⩽ Q_{p}.

Dies legt die Substitution

t_{r} ⟶ (\frac{q_{r}}{Q_{p}} )^{\frac{1}{k−1}} t_{r}, r = 1, 2, …, p,

nahe. Eine anschließende Substitution

∑_{r=1}^{p} qr^{\frac{k}{k−1}} t_{r} = Qp^{\frac{k}{k−1}} v,

mit der eine der Variablen t_{r} durch v ersetzt wird, führt für gerade k zu der weiteren Integraldarstellung

(20) J_{p,ν}^{(k)}(q⃗_{p}, x) = π^{− \frac{p}{2}} \frac{x^{kν+p}}{Γ(ν + 1)}(\frac{q_{1}q_{2} ⋯ q_{p}}{Q_{p}^{p}} )^{\frac{1}{k−1}} (Q_{p}^{p})^{\frac{k}{k−1}} ∫_{−1}^{+1}f(v) cos(Q_{p}xv) dv

mit

(21)  f(v) = ∫ ⋯ ∫_{v^{k}⩽P ⩽1}(1 − P)^{ν}dt_{1}dt_{2} ⋯ dt_{p−1}.

P bedeutet das Polynom

P = P (t⃗_{p−1}) = ∑_{r=1}^{p−1} (\frac{q_{r}}{Q_{p}} )^{\frac{k}{k−1}} t_{r}^{k} + (\frac{q_{p}}{Q_{p}} )^{\frac{k}{k−1}} t_{p}^{k},

t_{p} = (\frac{Q_{p}}{q_{p}} )^{\frac{k}{k−1}} v − ∑_{r=1}^{p−1} (\frac{q_{r}}{Q_{p}} )^{\frac{k}{k−1}} t_{r}.

Dies ist Lemma 2 aus [4] in anderer Schreibweise.

Die asymptotische Entwicklung der modifizierten verallgemeinerten Bessel- -Funktion für x → ∞ kann gewonnen werden, indem man das Verhalten von f(v) für v → ±1 beurteilt. Dies erfolgte in Lemma 3 aus [4]. Die dortige Voraussetzung, daß die q_{r} natürliche Zahlen bedeuten sollen, ist überflüssig. Schließlich folgt aus (14), Theorem 2, von [4]

J_{p,ν}^{(k)}(q⃗_{p}, x) = \frac{2}{\sqrt{π}} k^{ν}(\frac{2}{k − 1})^{\frac{p−1}{2}} (\frac{Q_{p}^{p}}{q_{1}q_{2} ⋯ q_{p}} )^{\frac{k−2}{2k−2}} Q_{p}^{−ν− \frac{p+1}{2}}

· x^{ν(k−1)+ \frac{p−1}{2}} sin (Q_{p}x − \frac{π}{2} (ν + \frac{p − 1}{2}))\{1 + O(\frac{1}{\sqrt{x}})\}. (22)

4. Reihenentwicklungen für die Restglieder im Fall gerader k

Satz 2. Es bezeichne m⃗_{p} = (m_{1}, m_{2}, …, m_{p}) und

M_{p} = (m1^{\frac{k}{k−1}} + m2^{\frac{k}{k−1}} + ⋯ + mp^{\frac{k}{k−1}} )^{1− \frac{1}{k}} .

Dann besteht für das Restglied in (11) im Fall gerader k die Reihenentwicklung

(23)  Δ_{k,p}^{(ν)}(x) = ∑_{m_{1}=1}^{∞} … ∑_{m_{p}=1}^{∞} J_{p,ν}^{(k)}(2πm⃗_{p}x).

Die Reihe ist absolut konvergent für ν > \frac{p−1}{2}, und sie besitzt die asymptotische Darstellung

Δ_{k,p}^{(ν)}(x) = π^{− \frac{3}{2}} (\frac{k}{2π} )^{ν}(\frac{1}{π(k − 1)})^{\frac{p−1}{2}} x^{ν(k−1)+ \frac{p−1}{2}}

· ∑_{m_{1}=1}^{∞} … ∑_{m_{p}=1}^{∞} (\frac{M_{p}^{p}}{m_{1}m_{2} ⋯ m_{p}} )^{\frac{k−2}{2k−2}}

· \frac{sin(2πM_{p}x − \frac{π}{2} (ν + \frac{p−1}{2}))}{M_{p}^{ν+ \frac{p+1}{2}}} \{1 + O(\frac{1}{\sqrt{x}})\}. (24)

Die Reihenentwicklungen der Terme von H_{k,p,r}^{(ν)}(x) in (11) ergeben sich für 1 ⩽ r < p auf Grund von (13), (14) und (23) und sind absolut konvergent für ν + \frac{p−r}{k} > \frac{r−1}{2}.

Beweis. Aus (12), (6) und (18) folgt

Δ_{k,p}^{(ν)}(x^{\frac{1}{k}} ) = ∑_{m_{1}=1}^{∞} … ∑_{m_{p}=1}^{∞} ∏_{r=1}^{p} ∗ (J_{1,(ν+1)/p−1}^{(k)}(2πm_{r}x^{\frac{1}{k}} )) .

Unter Verwendung von (19) ergibt sich nun sofort (23). (24) folgt dann aus (22). □

5. Abschätzungen der Restglieder im Fall gerader k

Satz 3. Für gerade k gilt

(25)  Δ_{k,p}^{(ν)}(x) ≪ x^{kν+ \frac{p−1−2ν}{p+1−2ν} p}  für 0 ⩽ ν < \frac{p − 1}{2},
(26)  ≪ x^{k \frac{p−1}{2}} log x  für  ν = \frac{p − 1}{2},
(27)  ≪ x^{(k−1)ν+ \frac{p−1}{2}}  für  ν > \frac{p − 1}{2}.

Beweis. Die Abschätzung (27) ist auf Grund von (24) klar. Im Fall 0 ⩽ ν ⩽ \frac{p−1}{2} wird die Darstellung (15) benutzt. Sei d = [\frac{p+1}{2}] und mit einem später zu bestimmenden y mit 0 < y < x

D_{y}^{(d)} (A_{k,p}^{(ν+d)}(x^{\frac{1}{k}} )) = ∑_{j=0}^{d}(−1)^{d−j}({d \atop j})A_{k,p}^{(ν+d)}((x + jy)^{\frac{1}{k}} )

= ∫_{x}^{x+y}dt_{1} ∫_{t_{1}}^{t_{1}+y}dt_{2} … ∫_{t_{d−1}}^{t_{d−1}+y}A_{k,p}^{(ν)}(td^{\frac{1}{k}} ) dt_{d}.

A_{k,p}^{(ν)}(x) ist für hinreichend großes x wachsend. Deswegen ist

D_{y}^{(d)} (A_{k,p}^{(ν+d)}(x^{\frac{1}{k}} )) ⩾ y^{d}A_{k,p}^{ν}(x^{\frac{1}{k}} ),
(−1)^{d}D_{−y}^{(d)} (A_{k,p}^{(ν+d)}(x^{\frac{1}{k}} )) ⩽ y^{d}A_{k,p}^{ν}(x^{\frac{1}{k}} ).

Es wird nur die erste Ungleichung behandelt. Die Entwicklungen für die zweite Ungleichung sind analog. Mit (15) ist dann

(28)  A_{k,p}^{(ν)}(x^{\frac{1}{k}} ) ⩽ y^{−d}D_{y}^{(d)} \{V_{k,p}^{(ν+d)}x^{ν+d+ \frac{p}{k}} + (−1)^{p−1}Δ_{k,p}^{(ν+d)}(x^{\frac{1}{k}} )\} .

Zunächst ist selbstverständlich

(29)  y^{−d}D_{y}^{(d)} (V_{k,p}^{(ν+d)}x^{ν+d+ \frac{p}{k}} ) = V_{k,p}^{(ν)}x^{ν+ \frac{p}{k}} + O (x^{ν−1+ \frac{p}{k}} y) .

Die Abschätzung des verbleibenden Restes in (28) erfolgt ganz im Landauschen Stil. Es wird die asymptotische Darstellung (24) verwendet. Dann ergibt sich mit einem später zu bestimmenden z

y^{−d}D_{y}^{(d)} (Δ_{k,p}^{(ν+d)}(x^{\frac{1}{k}} ))

≪ x^{ν(1− \frac{1}{k})+ \frac{p−1}{2k}} ∑_{M_{p}⩽z} (\frac{M_{p}^{p}}{m_{1}m_{2} ⋯ m_{p}} )^{\frac{k−2}{2k−2}} M_{p}^{−ν− \frac{p+1}{2}}

+ x^{(ν+d)(1− \frac{1}{k})+ \frac{p−1}{2k}} y^{−d} ∑_{M_{p}>z} (\frac{M_{p}^{p}}{m_{1}m_{2} ⋯ m_{p}} )^{\frac{k−2}{2k−2}} M_{p}^{−ν−d− \frac{p+1}{2}}

≪ x^{ν(1− \frac{1}{k})+ \frac{p−1}{2k}} ∑_{m⩽z} m^{\frac{p−3}{2} −ν} + x^{(ν+d)(1− \frac{1}{k})+ \frac{p−1}{2k}} y^{−d} ∑_{m>z} m^{\frac{p−3}{2} −ν−d}

≪ x^{ν(1− \frac{1}{k})+ \frac{p−1}{2k}} z^{\frac{p−1}{2} −ν} + x^{(ν+d)(1− \frac{1}{k})+ \frac{p−1}{2k}} y^{−d}z^{\frac{p−1}{2} −ν−d}

für 0 ⩽ ν < \frac{p−1}{2}. Im Fall ν = \frac{p−1}{2} erhält der erste Term den Faktor log z. Mit z = x^{1−1/k} \frac{1}{y} erhält man hieraus

y^{−d}D_{y}^{(d)} (Δ_{k,p}^{(ν+d)}(x^{\frac{1}{k}} )) ≪ x^{\frac{p−1}{2}} y^{ν− \frac{p−1}{2}} für 0 ⩽ ν < \frac{p − 1}{2},
≪ x^{\frac{p−1}{2}} log x  für  ν = \frac{p − 1}{2}.

Der Abgleich mit dem O-Term in (29) erfolgt mit der Festlegung

y = x^{1− \frac{2p}{p+1−2ν} \frac{1}{k}} .

Dann folgt für (28)

A_{k,p}^{(ν)}(x^{\frac{1}{k}} ) ⩽ V_{k,p}^{(ν)}x^{ν+ \frac{p}{k}} + O (x^{ν+ \frac{p−1−2ν}{p+1−2ν} \frac{p}{k}} )

für 0 ⩽ ν < \frac{p−1}{2}. Im Fall von ν = \frac{p−1}{2} erhält die x-Potenz im O-Term den zusätzlichen Faktor log x. Da in gleicher Weise die Ungleichung in entgegengesetzter Richtung aufgestellt werden kann, erhält man

A_{k,p}^{(ν)}(x^{\frac{1}{k}} ) = V_{k,p}^{(ν)}x^{ν+ \frac{p}{k}} + O (x^{ν+ \frac{p−1−2ν}{p+1−2ν} \frac{p}{k}} ) .

Mit (15) folgert man hieraus (25) und den Grenzfall (26). □

Korollar 2. Über die Zusammenhänge (7), (8), (13), (14) ergeben sich sofort die Abschätzungen

H_{k,p,r}^{(ν)}(x) ≪ x^{kν+p−r+ \frac{r−1−2(ν+ \frac{p−r}{k} )}{r+1−2(ν+ \frac{p−r}{k} )} r} für 0 < ν + \frac{p − r}{k} < \frac{r − 1}{2},
≪ x^{k \frac{r−1}{2}} log x  für  ν + \frac{p − r}{k} = \frac{r − 1}{2},
≪ x^{(k−1)(ν+ \frac{p−r}{2} )+ \frac{r−1}{2}}  für  ν + \frac{p − r}{k} > \frac{r − 1}{2}

für gerade k und 1 ⩽ r ⩽ p − 1.

Der Spezialfall ν = 1. Es ist

Δ_{k,p}^{(1)}(x^{\frac{1}{k}} ) = ∫_{0}^{x} Δ_{k,p}(t^{\frac{1}{k}} ) dt

mit Δ_{k,p}(x) = Δ_{k,p}^{(0)}(x). Hierfür ergibt sich aus Satz 3

(30)  Δ_{k,2}^{(1)}(x) ≪ x^{k− \frac{1}{2}} ,
(31)  Δ_{k,3}^{(1)}(x) ≪ x^{k} log x,
(32)  Δ_{k,p}^{(1)}(x) ≪ x^{k+ \frac{(p−3)p}{p−1}} für p ⩾ 4.

(30) wurde bereits in [3] und (31) in [1] bewiesen (siehe auch [2]). (32) bedeutet eine Verbesserung gegenüber Lemma 4.6 in [3], wo das Restglied nur mit dem größeren Exponenten k + p − 2 abgeschätzt wurde. Es ist

k + \frac{(p − 3)p}{p − 1} = k + p − 2 − \frac{2}{p − 1}.

6. Asymptotische Darstellung der Gitterpunktsanzahl im Hauptfall

Der Hauptfall ist durch ν = 0 gekennzeichnet. Der Index ν = 0 in der Darstellung (11) werde jetzt weggelassen. Damit wird für (11)

A(x; SS_{k,p}) = V_{k,p}x^{p} + H_{k,p,1}(x) + ∑_{r=2}^{p−1} H_{k,p,r}(x) + Δ_{k,p}(x)

geschrieben. Der Term H_{k,p,1}(x) läßt sich vermöge (6) und (8)in eine absolut konvergente Reihe verallgemeinerter Bessel-Funktionen entwickeln und erweist sich mit Hilfe von (7) von der präzisen Größenordnung x^{(p−1)(1−1/k)}. Reihenentwicklungen für H_{k,p,r}(x) mit r ⩾ 2 würden sich als divergent erweisen. Neben Abschätzungen für Δ_{k,p}(x) benötigt man also auch hinreichend gute Abschätzungen für H_{k,p,r}(x) mit r ⩾ 2. In [2] wurde

(33)  H_{k,p,r}(x) ≪ x^{(p−1)(1+ \frac{r−3}{2k})} (Δ_{k,r}^{∗}(x))^{1− \frac{p−r}{k}} (log x)^{r−2},

sogar mit Einschluß der ungeraden k, angegeben. Hierin ist Δ_{k,r}(t) ≪ Δ_{k,r}^{∗}(x) für 1 ⩽ t ⩽ x zu verstehen, und es sei k ⩾ p − r vorausgesetzt. Diese Abschätzung wurde für r = 2 in [3] und für r = 3 in [1] auch tatsächlich bewiesen. Für r > 3 ist sie lediglich eine Vermutung. Aus den Untersuchungen in Chapter 4.2 von [3] geht für r > 3 nur

(34)  H_{k,p,r}(x) ≪ x^{(p−r)(1+ \frac{r−2}{k})} (Δ_{k,r}^{∗}(x))^{1− \frac{p−r}{k}}

hervor. Die Vermutung (33) für r > 3 liegt sehr tief, aber wir befinden uns in der Lage, (34) zumindest für gerade k zu verbessern. Das geschieht mit folgendem Satz, der den Hauptsatz entscheidend vorbereitet.

Satz 4. Es sei k > 2 gerade und

Δ_{k,r}(t) ≪ Δ_{k,r}^{∗}(x), Δ_{k,r}^{(1)}(t) ≪ Δ_{k,r}^{(1)∗}(x)

für 1 ⩽ t ⩽ x. Dann ist

(35)  H_{k,p,r}(x) ≪ (Δ_{k,r}^{(1)∗}(x))^{\frac{p−r}{k}} (Δ_{k,r}^{∗}(x))^{1− \frac{p−r}{k}}

für 2 ⩽ r ⩽ p − 1 und k ⩾ p − r. Insbesondere ergibt sich

(36)  H_{k,p,2}(x) ≪ x^{(p−2)(1− \frac{1}{2k})} (Δ_{k,2}^{∗}(x))^{1− \frac{p−2}{k}} ,
(37)  H_{k,p,3}(x) ≪ x^{p−3} (Δ_{k,3}^{∗}(x))^{1− \frac{p−3}{k}} (log x)^{\frac{p−3}{k}} ,
(38)  H_{k,p,r}(x) ≪ x^{(p−r)(1+ \frac{(r−3)r}{r−1} \frac{1}{k})} (Δ_{k,r}^{∗}(x))^{1− \frac{p−r}{k}} für r ⩾ 4.

Beweis. Nach (14) ist mit einem noch zu bestimmenden y, 0 < y < x,

H_{k,p,r}(x^{\frac{1}{k}} ) ≪ |Δ_{k,r}^{((p−r)/k)}(x^{\frac{1}{k}} )|

≪ |∫_{0}^{x}(x − t)^{\frac{p−r}{k} −1}Δ_{k,r}(t^{\frac{1}{k}} ) dt|

≪ |\{ ∫_{0}^{x−y}+ ∫_{x−y}^{x} \}(x − t)^{\frac{p−r}{k} −1}Δ_{k,r}(t^{\frac{1}{k}} ) dt|

≪ |y^{\frac{p−r}{k} −1} ∫_{0}^{x−y}Δ_{k,r}(t^{\frac{1}{k}} ) dt| + y^{\frac{p−r}{k}} Δ_{k,r}^{∗}(x^{\frac{1}{k}} )

≪ y^{\frac{p−r}{k} −1}Δ_{k,r}^{(1)∗}(x^{\frac{1}{k}} ) + y^{\frac{p−r}{k}} Δ_{k,r}^{∗}(x^{\frac{1}{k}} ).

Wählt man jetzt

y = Δ_{k,r}^{(1)∗}(x^{\frac{1}{k}} )(Δ_{k,r}^{∗}(x^{\frac{1}{k}} ))^{−1},

so ergibt sich sofort (35). Aus (35) und (30) folgert man (36). Aus (35) und (31) erhält man (37), was gegenüber (33) sogar einen verbesserten logarithmischen Faktor liefert. Schließlich ergeben (35) und (32) die gegenüber (34) verbesserte Abschätzung (38). □

Beweis des Hauptsatzes. G. Kuba [5] zeigte, daß die Huxleysche Abschätzung beim Kreisproblem auf den vorliegenden Fall übertragen werden kann. Es ist

Δ_{k,2}(x) ≪ x^{\frac{46}{73} +ε}, ε > 0.

Dann folgt aus (36)

H_{k,p,2}(x) ≪ x^{(p−2)(1− \frac{165}{146k})+ \frac{46}{73} +ε.}

Weiter ist

Δ_{k,r}(x) ≪ x^{r−2+ \frac{2}{r+1}} ,

so daß aus (37) und (38)

H_{k,p,r}(x) ≪ x^{(p−r)(1− \frac{4r}{r^{2}−1} \frac{1}{k})+r−2+ \frac{2}{r+1}}

für 3 ⩽ r ⩽ p folgt, wobei für r = 3 noch der logarithmische Faktor angefügt werden muß. Es ist

(p − 2)(1 − \frac{165}{146k} ) + \frac{46}{73} > (p − r)(1 − \frac{4r}{r^{2} − 1} \frac{1}{k} ) + r − 2 + \frac{2}{r + 1}

für

k > \frac{165}{4} \frac{r + 1}{23r − 50} (p − 2) − \frac{146r(p − r)}{(r − 1)(23r − 50)}.

Es ist die rechte Seite dieser Ungleichung in r monoton wachsend. Folglich ergeben r = p die Abschätzung und Bedingung (10).

Nimmt man für k die gegenteilige Bedingung in (9) an, so erkennt man, daß

p − 2 + \frac{2}{p + 1} ⩾ (p − r)(1 − \frac{4r}{r^{2} − 1} \frac{1}{k} ) + r − 2 + \frac{2}{r + 1}

für 3 ⩽ r ⩽ p ist, sofern

k ⩽ 2(1 + \frac{1}{r − 1})(p + 1)

ist. Das ergibt dann (9). □

7. Zwei Bemerkugen

Erste Bemerkung. Es liegen für Δ_{k,p}(x) bessere Abschätzungen für p ⩾ 4 als die in der Arbeit benutzten vor. Herr Kuba teilte mir zudem mit, daß auch für p = 2 die verbesserte Huxleysche Abschätzung im Kreisproblem auf den hier vorliegenden Fall der Lameschen Kurven übertragen werden kann. Zu den Resultaten sei auf [2] verwiesen. Folglich können auch hier die Ergebnisse des Hauptsatzes geringfügig verbessert werden. Dies würde aber zu einer nicht sehr übersichtlichen Fallunterscheidung führen.

Zweite Bemerkung. Ausgangspunkt für die im Hauptsatz genannten Abschätzungen war der Satz 1 mit den asymptotischen Darstellungen der Faltungsprodukte. Dieser Satz ist verallgemeinerbar auf zwei Typen von Superellipsoiden SE_{k,p}.

Der erste Typ von Superellipsoiden SE_{k,p} = SE_{k,p}(A⃗, λ⃗) hängt von den Vektoren A⃗ = (A_{1}, A_{2}, …, A_{p}) und λ⃗ = (λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{p}) ab. Dabei seien die λ_{i} beliebige und die A_{i} positive reelle Zahlen. Für die Anzahl der Gitterpunkte

A(x; SE_{k,p}(A⃗, λ⃗)) = #{n⃗_{p} ∈ ℤ^{p} : ∑_{r=1}^{p} A_{r}^{k} |n_{r} + λ_{r}|^{k} ⩽ x^{k}}

gilt dann unter den Einschränkungen auf gerade k, k > p + 1, p ⩾ 5

A(x; SE_{k,p}(A⃗, λ⃗)) = \frac{V_{k,p}}{A} x^{p} + H_{k,p,1}(A⃗, λ⃗; x) + O (x^{ϑ_{k,p}})

mit

A = A_{1}A_{2} ⋯ A_{p},

H_{k,p,1}(A⃗, λ⃗; x) = \frac{V_{k,p−1}}{A} ∑_{j=1}^{p} ψ_{p/k}^{(k)}(λ_{j}, \frac{x}{A_{j}} ),

ψ_{ν}^{(k)}(λ, x) = 2\sqrt{π} Γ(ν + 1 − \frac{1}{k} ) ∑_{m=1}^{∞} cos 2πλm · (\frac{x}{πm})^{\frac{kν}{2}} J_{ν}^{(k)}(2πmx).

Die Exponenten ϑ_{k,p} sind wie im Hauptsatz angegeben mit den entsprechenden Bedingungen.

Der zweite Typ von Superellipsoiden SE_{k,p}(a⃗, (a_{ij})) hängt von dem Vektor a⃗ = (a_{1}, a_{2}, …, a_{p}) und der p-reihigen Matrix (a_{ij}) ab. Dabei seien die a_{i} und a_{ij} reelle Zahlen mit a_{i} > 0, a_{ii} > 0, a_{11} = 1, a_{ij} = 0 für i > j. Für die Anzahl der Gitterpunkte

A(x; SE_{k,p}(a⃗, (a_{ij})) = #{n⃗_{p} ∈ ℤ^{p} : ∑_{r=1}^{p} a_{r}^{k}|∑_{j=1}^{r} a_{jr}n_{j}|^{k} ⩽ x^{k}}

gilt dann unter den Einschränkungen auf gerade k, k > p + 1, p ⩾ 5

A(x; SE_{k,p}(a⃗, (a_{ij})) = \frac{V_{k,p}}{a} x^{p} + H_{k,p,1}(a⃗, (a_{ij}); x) + O (x^{ϑ_{k,p}})

mit

a = a_{1}a_{11}a_{2}a_{22} ⋯ a_{p}a_{pp},

H_{k,p,1}(a⃗, (a_{ij}); x) = \frac{V_{k,p−1}}{a} ∑_{j=1}^{p} a_{j}^{p}ψ_{p/k}^{(k)}(\frac{x}{a_{j}} ).

Die Exponenten ϑ_{k,p} entsprechen wieder dem Hauptsatz.

Literatur

[1] S. Höppner and E. Krätzel, The number of lattice points inside and on the surface |t_{1}|^{k} + |t_{2}|^{k} + ⋯ + |t_{p}|^{k} = x, Math. Nachr. 163 (1993), 257–268.

[2] A. Ivić, E. Krätzel, M. Kühleitner and W. G. Nowak, Lattice points in large regions and related arithmetic functions: Recent developments in a very classic topic; in: W. Schwarz and J. Steuding (eds.), Proceedings Conf. on Elementary and Analytic Number Theory ELAZ’04, held in Mainz, May 24–28, 2004, Franz Steiner Verlag, 2006, pp. 89–128

[3] E. Krätzel, Lattice Points, Dt. Verlag d. Wiss., Berlin and Kluwer, Dordrecht / Boston / London, 1988.

[4] E. Krätzel, Lattice points in super spheres, Comment. Math. Univ. Carolinae 40 (1999), 373– 391.

[5] G. Kuba, On sums of two k-th powers of numbers in residue classes II, Abh. Math. Sem. Univ Hamburg 63 (1993), 87–95.

Universität Wien (Received 22 11 2005) Institut für Mathematik Nordbergstr. 15 A-1090 Wien Austria