PUBLICATIONS DE L’INSTITUT MATHÉMATIQUE Nouvelle série, tome 88(102) (2010), 123–127 DOI: 10.2298/PIM1002123J

EXTENSION DES FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES A TRAVERS DE “PETITS” SOUS-ENSEMBLES

Abidi Jamel

Communicated by Miroljib Jevtić

Abstract. We extend, in many variables, results established by Cegrell [2] on the continuation of the plurisubharmonic functions defined outside closed subsets, of open sets of ℂ^{n}, having zero Ronkin [8] gamma capacity. This will be achieved by the continuation of some plurisubharmonic functions, having on “a priori” growth, through some thin (meaning to be precised) closed subsets of ℂ^{n} (n ⩾ 1).

1. Introduction

Dans cet article on propose un élargissement des résultats établis par Cegrell, dans [2], concernant le prolongement des fonctions plurisousharmoniques. Les nouveaux obstacles seront mesurés au moyen de différentes précapacités introduites respectivement par Ronkin [8], Cegrell [3], Hyvönen et Rühentaus [4].

2. Notations et préliminaires

Dans toute la suite, G désigne un ouvert de ℂ^{n} (avec n ⩾ 1) et E un sousensemble fermé de G. H^{α} est la mesure α-dimensionnelle de Hausdorff associée à la distance euclidienne. h(G), sh(G), psh(G) et prh(G) désignent respectivement l’ensemble des fonctions harmoniques, sousharmoniques, plurisousharmoniques et pluriharmoniques dans G (Cf. [5], [6], [7], [8], [9] et [10]). C(G) est l’ensemble des fonctions continues dans G.

Si z^{0} ∈ ℂ^{n}, j ∈ {1, 2, …, n}, z^{0} = (z_{1}^{0}, …, z_{n}^{0}) on écrira z^{0} = (z_{j}^{0}, Z_{j}^{0}) où z_{j}^{0} ∈ ℂ et Z_{j}^{0} ∈ ℂ^{n−1}, Z_{j}^{0} = (z_{1}^{0}, …, z_{j−1}^{0}, z_{j+1}^{0}, …, z_{n}^{0}). Si r > 0 et r′ > 0, on note △(z_{j}^{0}, r) × △^{(n−1)}(Z_{j}^{0}, r′) = {(z_{j}, Z_{j}) = z ∈ ℂ^{n} | z_{j} ∈ △(z_{j}^{0}, r) et Z_{j} ∈ △^{(n−1)}(Z_{j}^{0}, r′)}. Ici m_{2n} est la mesure de Lebesgue dans ℂ^{n}. Dans [8] Ronkin à introduit la précapacité Γ_{n} sur ℂ^{n} associée à la précapacité g_{n}, définie par récurrence sur ℂ^{n}; si F ⊂ ℂ, g_{1}(F) = Cap^{∗}(F) et pour F ⊂ ℂ^{n} (avec n ⩾ 2), g_{n}(F) = MaxCap^{∗}({z_{j} ∈ ℂ | g_{n−1}({Z_{j} ∈ ℂ^{n−1} | (z_{j}, Z_{j}) ∈ F }) > 0; j = 1, 2, …, n}). Cap^{∗} étant la capacité logarithmique extérieure sur ℂ [8]; Γ_{n}(F) = Sup{g_{n}(α(F)), α ∈ U}, U étant le groupe des transformations unitaires complexes sur ℂ^{n}. De la même façon on définit \overline{Γ_{n}}(F) = Sup\{C^{n}(α(F)), α ∈ U\}, où C^{n} est la précapacité dans ℂ^{n} introduite par Hyvönen et Rühentaus [4]. Si F ⊂ ℂ, C^{1}(F) = Cap^{∗}(F) et si F ⊂ ℂ^{n} (avec n ⩾ 2), C^{n}(F) = MaxCap^{∗}({z_{j} ∈ ℂ | C^{n−1}({Z_{j} ∈ ℂ^{n−1} | (z_{j}, Z_{j}) ∈ F }) > 0; j = 1, 2, …, n}). Soit P un sous-ensemble borélien dans ℂ^{n}. P est dit déterminant dans ℂ^{n}, si pour toute fonction u ∈ psh(ℂ^{n}), tout z ∈ ℂ^{n}, u(z) = lim sup_{{ξ→z, ξ∈P }} u(ξ). De manière similaire, on définit la notion d’ensemble déterminant dans G. Soit maintenant P un fermé dans ℂ^{n}. Cegrell [2], montre que si le sous-ensemble P̃ = {(ξ, η) ∈ ℂ^{n} × ℂ^{n} | Cap^{∗}({λ ∈ ℂ | (λξ + η) ∈ P }) > 0} est de complémentaire ℂ^{2n} ∖ P̃ déterminant dans ℂ^{2n}, alors toute u ∈ psh(ℂ^{n} ∖ P), localement majorée le long de P, a une unique extension u^{∗} ∈ psh(ℂ^{n}).

2010 Mathematics Subject Classification: 32D20, 32U05.

Lemme 2.1. Soit P un sous-ensemble de type F_{σ} dans ℂ^{n}. Alors P̃ est déterminant dans ℂ^{2n} si \overline{Γ}_{n}(P) = 0.

Demonstration. Claire d’après les définitions de P̃ et \overline{Γ_{n}}(P). □

On construira un ouvert G de ℂ^{n} et un sous-ensemble E fermé de G tel que, sans que E soit fermé dans ℂ^{n} et (pour F ⊂ ℂ^{n}, \overline{F} est l’adhérence de F dans ℂ^{n}) vérifie aussi ˜ \overline{E} n’est pas déterminant dans ℂ^{2n} (on s’intéresse essentiellement au cas n ⩾ 2). L’obstacle \overline{E} ne s’intègre pas dans l’énoncé précédent de Cegrell. Mais E sera un ensemble singulier impropre dans G grâce au théorème qui suivra.

Soit G = D(0, 1) × ℂ où D(0, 1) est le disque unité de ℂ. Soit A = \{\frac{ξ_{l}}{1+1/l} | l ∈ ℕ^{∗}\} où \{ξ_{l} | l ∈ ℕ^{∗}\} = ∂D(0, 1)∩ℚ×ℚ. ∂D(0, 1) ⊂ \overline{A} car si z ∈ ∂D(0, 1)∖ℚ×ℚ, il existe une sous suite (ζ_{j})_{j⩾1} ⊂ ∂D(0, 1) ∩ ℚ × ℚ avec lim_{j→+∞} ζ_{j} = z. ζ_{j} = ξ_{k(j)} où (k(j))_{j⩾1} ⊂ ℕ^{∗} est non majorée, car (k(j))_{j⩾1} majorée par m_{0} ∈ ℕ^{∗} implique (ζ_{j})_{j⩾1} ⊂ {ξ_{1}, …, ξ_{m_{0}}}, donc z ∈ ∂D(0, 1) ∩ ℚ × ℚ. Ainsi, il existe une sous suite (ξ_{l(j)})_{j⩾1} ⊂ (ξ_{l})_{l⩾1} telle que z = lim_{j→+∞} ξ_{l}(j) = lim_{j→+∞} \frac{ξ_{l(j)}}{1+1/l(j)}.

Lemme 2.2. A est fermé dans D(0, 1).

Demonstration. Soit (z_{j})_{j⩾1} telle que lim_{j→+∞} z_{j} = z ∈ D(0, 1). Si (z_{j})_{j⩾1} était stationnaire, z serait dans A. Le résultat est alors trivial. Supposons (z_{j})_{j⩾1} non stationnaire; alors z_{j} = \frac{ξ_{s(j)}}{1+1/s(j)} où (s(j))_{j⩾1} est une suite d’entiers naturels non nuls. On notera que (s(j))_{j⩾1} n’est pas majorée (considérez |z_{j}|) et on supposera (s(j))_{j⩾1} strictement croissante vers +∞. On aura (1+ \frac{1}{s(j)})z_{j} = ξ_{s(j)} et il résultera que lim_{j→+∞} ξ_{s(j)} = z. Donc z ∈ D(0, 1). Ce qui est impossible. □

Soit B, D des fermés de ℂ (B compact dans D(0, 1)) vérifiant H^{2}(B) = H^{2}(D) = 0, H^{\frac{5}{3}} (B) > 0 et H^{\frac{5}{3}} (D) > 0. Considérons E = A×ℂ∪B×D. E n’est pas polaire dans ℂ^{2} (Considérez H^{3}(E)). E est fermé dans D(0, 1) × ℂ (se rappeler que A est dénombrable), \overline{E} ⊃ ∂D(0, 1)×ℂ∪B ×D. Mais ℂ^{4} ∖ ˜\overline{E} = C ˜\overline{E} n’est pas déterminant dans ℂ^{4}. En fait, en notant l’existence d’une fonction u_{1} ∈ h(ℂ ∖ ∂D(0, 1)) ∩ C(ℂ) telle que u_{1} ∉ h(ℂ) et en considérant u(z_{1}, z_{2}) = u_{1}(z_{1}) pour (z_{1}, z_{2}) ∈ ℂ^{2}, il est clair que u ∈ prh(ℂ^{2} ∖∂D(0, 1)×ℂ)∩C(ℂ^{2}) mais u ∉ prh(ℂ^{2}). D’après Cegrell [2], ceci implique bien que C( ˜\overline{E}) n’est pas déterminant dans ℂ^{4}.

3. Résultat principal

Théorème 3.1. Soit u ∈ psh(G ∖ E) avec \overline{Γ_{n}}(E) = 0. Supposons que u soit localement majorée le long de E. Alors u a une unique extension u^{∗} ∈ psh(G).

Ce théorème établit l’intérêt des obstacles E, non nécessairement fermés dans ℂ^{n}, mais qui sont des obstacles impropres par rapport à un ouvert G de ℂ^{n} pour les fonctions plurisousharmoniques localement majorées le long de E (c’est à dire toute u ∈ psh(G ∖ E) localement majorée le long de E a une unique extension u^{∗} ∈ psh(G)) telle que: (i) E ⊂ G (ii) E fermé dans G (iii) \overline{Γ_{n}}(E) = 0.

Demonstration. Le cas n = 1 est couvert par le résultat de Brelot [1]. Soit n ⩾ 2.

Lemme 3.1. Soit F un sous-ensemble de ℂ^{n} de type F_{σ}. Alors C^{n}(F) = 0 si et seulement si

max_{1⩽j⩽n} H^{2n−2}({Z_{j} ∈ ℂ^{n−1} | Cap^{∗}(F (Z_{j})) > 0}) = 0,

où F (Z_{j}) = {z_{j} ∈ ℂ | (z_{j}, Z_{j}) ∈ F }.

Demonstration. Voir Hyvönen et Rühentaus [4]. □

Lemme 3.2. Soit F un sous-ensemble borélien dans ℂ^{n} avec C^{n}(F) = 0. Alors pour tout (α_{1}, …, α_{n}) ∈ (ℝ_{+}^{∗})^{n}, C^{n}(T^{−1}(F)) = 0 si : T (z_{1}, …, z_{n}) = (α_{1}z_{1}, …, α_{n}z_{n}), (z_{1}, …, z_{n}) ∈ ℂ^{n}.

Demonstration. Par récurrence sur n. On note A = T^{−1}(F) pour simplifier et si z_{j} ∈ ℂ (resp. Z_{j} ∈ ℂ^{n−1}), F (z_{j}) = {Z′_{j} ∈ ℂ^{n−1} | (z_{j}, Z′_{j}) ∈ F } (resp. F (Z_{j}) = {z′_{j} ∈ ℂ | (z′_{j}, Z_{j}) ∈ F }). Si n = 2, on a

max_{1⩽j⩽2} H^{2}({z_{j} ∈ ℂ | Cap^{∗}(F (z_{j})) > 0}) = 0.

On déduit que pour chaque j = 1, 2 il existe B_{j} ⊂ ℂ, H^{2}(B_{j}) = 0 et ∀z_{j} ∈ ℂ ∖ B_{j}, F (z_{j}) est polaire dans ℂ. Fixons j = 1. On veut construire B′_{1} ⊂ ℂ vérifiant H^{2}(B′_{1}) = 0 et pour tout z_{1} ∈ ℂ ∖ B′_{1}, H^{2}(A(z_{1})) = 0 avec

A(z_{1}) = {z_{2} ∈ ℂ | (z_{1}, z_{2}) ∈ A} = {z_{2} ∈ ℂ | (α_{1}z_{1}, α_{2}z_{2}) ∈ F }

= \{z_{2} ∈ ℂ | z_{2} ∈ \frac{1}{α_{2}} F (α_{1}z_{1})\}.

Notons que ∀z_{1} ∈ ℂ ∖ B_{1}, F (z_{1}) est polaire dans ℂ. Donc si α_{1}z_{1} ∈ ℂ ∖ B_{1}, F (α_{1}z_{1}) est polaire (et il résultera que \frac{1}{α_{2}} F (α_{1}z_{1}) est polaire). Mais α_{1}z_{1} ∈ ℂ∖B_{1} équivaut à z_{1} ∈ ℂ ∖ (\frac{1}{α_{1}} B_{1}) avec H^{2}(\frac{1}{α_{1}} B_{1}) = 0. D’où, ∀z_{1} ∈ ℂ ∖ (\frac{1}{α_{1}} B_{1}), A(z_{1}) est polaire dans ℂ. On prendra B′_{1} = \frac{1}{α_{1}} B_{1}. Le reste de la preuve découle du cas n = 2. □

Le lemme suivant est dû à Lelong [7].

Lemme 3.3. Soit u : G → [−∞, +∞[ une fonction. u est plurisousharmonique dans G si et seulement si u ∘ T est sousharmonique dans T^{−1}(G), pour toute T transformation ℂ-linéaire et inversible sur ℂ^{n}.

Maintenant la démonstration du théorème est possible. Soit j ∈ {1, …, n}. Comme

max_{1⩽j⩽n} H^{2n−2}({Z_{j} ∈ ℂ^{n−1} | Cap^{∗}(E(Z_{j})) > 0}) = 0,

soit donc B_{j} ⊂ ℂ^{n−1}/H^{2n−2}(B_{j}) = 0 et ∀Z_{j} ∈ ℂ^{n−1} ∖ B_{j}, E(Z_{j}) est fermé polaire dans l’ouvert G(Z_{j}) = {z_{j} ∈ ℂ | (z_{j}, Z_{j}) ∈ G}. Fixons Z_{j} ∈ ℂ^{n−1} ∖ B_{j} avec G(Z_{j}) ≠ ∅. u_{Z_{j}} = u(., Z_{j}) est localement majorée le long de E(Z_{j}). Comme E(Z_{j}) est polaire, alors u_{Z_{j}} a une unique extension dans sh(G(Z_{j})) (notée encore u_{Z_{j}}).

Soit u_{k} = max(u, −k) pour k ⩾ 1. On a u_{k} ∈ psh(G ∖ E) ∩ L_{loc}^{∞}(G), u_{k} ⩾ −k, de plus ∀j ∈ {1, …, n}, ∀Z_{j} ∈ ℂ^{n−1} ∖ B_{j} (avec G(Z_{j}) ≠ ∅), u_{k}(., Z_{j}) ∈ sh(G(Z_{j})). Montrons que la distribution Δ(u_{k}) est positive pour chaque k ⩾ 1.

Soit φ une forme C^{∞}, à support compact dans G, du type Φ_{0} \frac{β^{n}}{n!} où

β = \frac{i}{2} ∑_{j=1}^{n} dz_{j} ∧ dz̄_{j} et Φ_{0} ∈ C_{c}^{∞}(G), Φ_{0} ⩾ 0 (\frac{β^{n}}{n!} = dm_{2n}).

⟨Δu_{k}, Φ_{0} \frac{β^{n}}{n!} ⟩ = ∫_{G} u_{k}Δ(Φ_{0})dm_{2n}

= ∑_{j=1}^{n} ∫_{Z_{j}∈ℂ^{n−1}∖B_{j}}( ∫_{z_{j}∈G(Z_{j})}u_{k}(z_{j}, Z_{j})Δ_{j}(Φ_{0})(z_{j}, Z_{j}) dm_{2}(z_{j}))dm_{2n−2}(Z_{j}) ⩾ 0

(Δ_{j}(Φ_{0}) étant le laplacien de Φ_{0} par rapport à la mème variable complexe). Ceci implique que u_{k} possède un prolongement sousharmonique dans G, ∀k ⩾ 1. On déduit facilement un prolongement de u noté u^{∗} sousharmonique dans G. Un argument développé à partir du Lemme 3.3 de Lelong impliquera u^{∗} ∈ psh(G): On prouvera que pour toute transformation T_{ε} : ℂ^{n} → ℂ^{n}, de la forme

T_{ε}(z_{1}, z_{2}, …, z_{n}) = z_{1}b + ε ∑_{j=2}^{n} z_{j}v_{j}

avec ε > 0, (b, v_{2}, …, v_{n}) une base orthonormée de ℂ^{n} (T_{ε} = α∘T où α est unitaire sur ℂ^{n} et T (z_{1}, z_{2}, …, z_{n}) = (z_{1}, εz_{2}, …, εz_{n})), (cf. [10, p. 61]). Ce qui termine la démonstration. □

Remarques 1. (a) Soit G = D × ℂ; D = D(0, 1). E = \{1 − \frac{1}{n} | n ⩾ 1\} × ∂D. E est fermé pluripolaire (non pluripolaire complet) dans D × ℂ. C’est clair que E n’est pas compact dans D × ℂ. Toute fonction u ∈ psh(G ∖ E) se prolonge de façon unique dans psh(G). En effet, u ∈ psh(D(0, \frac{1}{2}) × ℂ ∖ \{0\} × ∂D). D(0, \frac{1}{2}) × ℂ est pseudo-convexe, {0} × ∂D étant compact pluripolaire. D’après Cegrell [2], u se prolonge de façon unique dans psh(D(0, \frac{1}{2}) × ℂ) et ainsi de suite.

(b) Soit D = D(0, 1). G = D × ℂ ∖ {0}. G n’est pas pseudo-convexe dans ℂ^{2}. Soit F = \{1 − \frac{1}{n} | n ⩾ 2\} × \overline{D}(0, 1). F est fermé pluripolaire dans G, F n’est pas compact. Toute fonction u ∈ psh(G ∖ F) se prolonge de manière unique dans psh(G).

Les remarques (a) et (b) montrent que dans [2, Theorem 6.5] les conditions l’ouvert est pseudo-convexe et l’obstacle est compact pluripolaire parfois ne sont pas nécessaires.

References

1. M. Brelot, Etude des fonctions sousharmoniques au voisinage d’un point, Actual. Sci. Industr. 139 (1934), 5–55.

2. U. Cegrell, Removable singularities for plurisubharmonic functions and related problems, Proc. Lond. Math. Soc. 36 (1978), 310–336.

3. U. Cegrell, Removable singularity sets for analytic functions having modulus with bounded Laplace mass, Proc. Am. Math. Soc. 88 (1983), 283–286.

4. J. Hyvönen and J. Rühentaus, On the extension in the Hardy classes and in the Nevanlinna class, Bull. Soc. Math. France 112 (1984), 469–480.

5. M. Klimek, Pluripotential Theory, Clarendon Press, Oxford, 1991.

6. S. G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, Wiley, New York, 1982.

7. P. Lelong, Plurisubharmonic Functions and Positive Differentiel Forms, Gordon and Breach, New York, 1969.

8. L. I. Ronkin, Introduction to the Theory of Entire Functions of Several Variables, Am. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1974.

9. W. Rudin, Function Theory in the Unit Ball of ℂ^{n}, Springer-Verlag, New York, 1980.

10. V. S. Vladimirov, Les fonctions de plusieurs variables complexes (et leur application à la théorie quantique des champs), Dunod, Paris, 1967.

Département de Mathématiques (Received 29 06 2009) Faculté des Sciences de Tunis 2092 Tunis Tunisia

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