PUBLICATIONS DE L’INSTITUT MATHÉMATIQUE Nouvelle série, tome 98(112) (2015), 287–293 DOI: 10.2298/PIM141101010B

DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DE FONCTIONS HOLOMORPHES DES FONCTIONS D’UNE CLASSE DE GEVREY SUR L’INTERVALLE [−1, 1]

Elmostafa Bendib and Hicham Zoubeir

Abstract. We characterize Gevrey functions on the unit interval [−1, 1] as sums of holomorphic functions in specific neighborhoods of [−1, 1]. As an application of our main theorem, we perform a simple proof for Dyn’kin’s theorem of pseudoanalytic extension for Gevrey classes on [−1, 1].

1. Introduction

En 1926, Carleman a posé le problème de la représentation d’une fonction d’une classe quasi-analytique [4]. Il avait remarqué que ce problème ne pouvait pas être résolu au moyen des méthodes classiques de la théorie des fonctions quasi-analytiques, mais que la solution de ce problème nécessitait une méthode de décomposition.

En 1936, San Juan a présenté au congrés d’Oslo une méthode explicite de décomposition qui permet de résoudre ce problème [9].

En 1962, Badalyan [1] a proposé un procédé algorithmique qui permet de développer une fonction d’une classe quasi-analytique en une série de quasi-puis-sances. En 1970 [2], il a généralisé ce procédé à certaines classes non quasianalytiques, mais ce procédé reste local.

Plus récemment, Belghiti [3] a obtenu pour les fonctions de certaines classes de Carleman sur un domaine convexe borné du plan complexe une représentation en série de fonctions holomorphes. Cependant la méthode utilisée, qui s’appuie sur le théorème de Dyn’kin [6], n’est pas explicite.

Dans ce travail, nous proposons une méthode explicite de représentation d’une fonction d’une classe de Gevrey sur [−1, 1]. Cette méthode consiste à réaliser les fonctions de la classe comme étant des sommes de séries de fonctions holomorphes sur des voisinages appropriés de [−1, 1] dépendant de la classe, et uniformément contrôlées sur ces voisinages par les termes d’une série géométrique convergente. On dispose ainsi d’une caractérisation à la fois géométrique et analytique de la classe de Gevrey.

2010 Mathematics Subject Classification: 30D60.

Key words and phrases: Gevrey classes.

Communicated by Luigi Rodino.

Un avantage de notre étude est de retrouver de manière explicite et simplifiée le théorème de Dyn’kin du prolongement pseudo-analytique pour les classes de Gevrey sur [−1, 1].

2. Notations et résultat principal

Soit I un intervalle compact de la droite réelle et k un réel strictement positif. La classe de Gevrey d’ordre k sur l’intervalle I notée G_{k}(I) [8] est l’ensemble de toutes les fonctions indéfiniment dérivables f sur I satisfaisant les conditions

∥f^{(n)} ∥_{∞,I} := sup_{x∈I}|f^{(n)} (x)| ⩽ αβ^{n}n^{n(1+1/k)} , n = 0, 1, 2, …

avec la convention 0^{0} = 1, les constantes α et β ne dépendant que de f.

On note G_{k}(ℝ) l’ensemble de toutes les fonctions indéfiniment dérivables sur ℝ dont la restriction à chaque intervalle compact I de ℝ appartient à G_{k}(I).

Pour tout A > 0 et n ∈ ℕ^{∗}, on note D_{k,A,n} := [−1, 1] + B(0, An^{− \frac{1}{k}} ) et D_{A} := [−1, 1] + B(0, A) où B(0, r) désigne la boule euclidienne ouverte de centre 0 et de rayon r > 0.

Notre résultat principal est le suivant.

Théorème 2.1. (1) Soit f ∈ G_{k}([−1, 1]), alors il existe des constantes C, A > 0 , 0 < ρ < 1 et une suite (P_{n})_{n⩾1} de fonctions rationnelles de pôles éventuels i ou −i telles que

(a) (∀x ∈ [−1, 1]) f(x) = ∑ _{n=1}^{∞} P_{n}(x),

(b) ∥P_{n}∥_{∞,D_{k,A,n}} ⩽ Cρ^{n} pour n assez grand.

(2) Réciproquement, supposons qu’il existe des constantes C, A > 0, 0 < ρ < 1 et une suite (f_{n})_{n⩾1} de fonctions holomorphes dans D_{k,A,n} telles que ∥f_{n}∥_{∞,D_{k,A,n}} ⩽ Cρ^{n}, n = 1, 2, . . .. Alors, la série de fonctions ∑ _{n⩾1} f_{n} converge uniformément sur [−1, 1] vers une fonction f appartenant à la classe G_{k}([−1, 1]).

3. Preuve du théorème principal

La preuve de la partie directe de ce théorème repose sur les résultats suivants.

Proposition 3.1. Soit g : [−π, π] → ℂ la restriction d’une fonction 2πpériodique et de classe C^{∞} sur ℝ. Supposons que g ∈ G_{k}([−π, π]), alors il existe des constantes A, C > 0, 0 < ρ < 1 et une suite (g_{n})_{n⩾1} de fonctions rationnelles de pôle éventuel 0 telles que

(1) ∥g_{n}∥_{∞,K_{n}} ⩽ Cρ^{n} pour n = 1, 2, …,

où K_{n} := {z ∈ ℂ, 1 − An^{−1/k} < |z| < 1 + An^{−1/k} },

(2) (∀θ ∈ [−π, π]) g(θ) = ∑ _{n=1}^{∞} g_{n}(e^{iθ}).

Preuve. Le développement en série de de Fourier de g s’écrit pour tout θ ∈ [−π, π]

g(θ) = ∑_{p∈ℤ} a_{p}e^{ipθ} avec a_{p} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g(θ)e^{−ipθ} dθ, p ∈ ℤ.

D’après [8] on a les estimations

(∀p ∈ ℤ) |a_{p}| ⩽ C_{0}e^{−C_{1} |p|^{k/(k+1)}}

où les constantes C_{0} et C_{1} ne dépendent que de g.

Considérons maintenant la suite (N_{n})_{n⩾1} de nombres réels strictement positifs définie par

N_{n} := ( \frac{C_{1}k}{2A(k + 1)} )^{k+1} 2^{−(k+1)/k} n^{(k+1)/k} , n = 1, 2, …

A > 0, est une constante qu’on choisira plus tard.

Posons pour z ∈ ℂ^{∗} et n ∈ ℕ^{∗}

g_{0}(z) := ∑_{|p|<N_{1}} a_{p}z^{p},  g_{n}(z) := ∑_{N_{n} ⩽|p|<N_{n+1}} a_{p}z^{p}

On a donc

(3.1)  |g_{n}(z)| ⩽ C_{0} ∑_{N_{n} ⩽p<N_{n+1}} e^{−C_{1} |p|^{k/(k+1)}} (|z|^{p} + |z|^{−p} ).

Si z appartient à K_{n}, alors les estimations (3.1) deviennent

|g_{n}(z)| ⩽ C_{0} ∑_{N_{n} ⩽p<N_{n+1}} e^{−C_{1} |p|^{k/(k+1)}} ((1 + An^{−1/k} )^{p} + (1 − An^{−1/k} )^{−p} ).

Mais pour n assez grand, on a (1 − An^{−1/k} )^{−1} ⩽ 1 + 2An^{−1/k} . Dans ce cas on obtient

∥g_{n}∥_{∞,K_{n}} ⩽ C_{0}(1 + N_{n+1} − N_{n}) max_{N_{n} ⩽p<N_{n+1}} 2e^{−C_{1} p^{k/(k+1)} +2pAn^{−1/k}}

Il résulte de l’étude des fonctions

]0, +∞[ → ℝ, x ↦ −C_{1}x^{k/(k+1)} + 2xAn^{−1/k} ,

sur l’intervalle [N_{n}, N_{n+1} ] que pour n assez grand, on a

∥g_{n}∥_{∞,K_{n}} ⩽ C_{0}(1 + N_{n+1} − N_{n})

× exp( − C_{1}2^{−1} ( \frac{C_{1}k}{2A(k + 1)} )^{k}n + 2^{−1/k} ( \frac{C_{1}k}{2A(k + 1)} )^{k+1} An)

Si on choisit A = C_{1}3^{−1} 2^{1/k}, on obtient pour n assez grand

∥g_{n}∥_{∞,K_{n}} ⩽ C_{0}(1 + N_{n+1} − N_{n}) exp( − C_{1}3^{−1} ( \frac{3k}{2^{1/k} (k + 1)} )^{k+1} n) .

Mais dans ce cas,

(1 + N_{n+1} − N_{n}) ∼_{n→∞} \frac{k + 1}{k} ( \frac{3k}{2^{1/k} (k + 1)} ) ^{k+1} n^{1/k}

Il s’ensuit qu’il existe deux constantes C_{2}, C_{3} > 0 telles que ∀n ∈ ℕ ∥g_{n}∥_{∞,K_{n}} ⩽ C_{2}e^{−C_{3} n} . Ceci achève la preuve de la proposition 3.1. □

Proposition 3.2. Soit f ∈ G_{k}([−1, 1]), alors il existe une fonction F ∈ G_{k}(ℝ) telle que (1) F est à support compact contenu dans [−2, 2], (2) F_{|_{[−1,1]}} = f.

Preuve. D’après [7], il existe F_{1}, F_{2} ∈ G_{k}(ℝ) telles que
F_{1}^{(n)} (−1) = f^{(n)} (−1), F_{2}^{(n)} (1) = f^{(n)} (1), n ∈ ℕ

D’autre part, d’après [11] il existe Φ ∈ G_{k}(ℝ) à support contenu dans [−2, 2] avec Φ(x) = 1 pour tout x ∈ [−1, 1]. La fonction F définie par

F (x) = \{ \begin{matrix}f(x) & si x ∈ [−1, 1], \\ F_{1}(x)Φ(x) & si x ∈ ]−∞, −1[ , \\ F_{2}(x)Φ(x) & si x ∈ ]1, +∞[ \end{matrix}

satisfait les conditions voulues. □

Preuve de la partie directe du théorème principal. Soit f une fonction appartenant à la classe G_{k}([−1, 1]), il existe une fonction F dans la classe G_{k}(ℝ) dont le support est contenu dans l’intervalle [−2, 2] et qui coïncide avec f sur l’intervalle [−1, 1].

Considérons la fonction g définie sur l’intervalle [−π, π] par

g(θ) = \{ \begin{matrix}F (tan \frac{θ}{2}) & si θ ∈ ]−2 arctan(2), 2 arctan(2)[ , \\ 0 & sinon. \end{matrix}

D’après un théorème de Cartan [5, théorème III, pp. 24–27], la restriction de g à l’intervalle J := [−2 arctan(2), 2 arctan(2)] appartient à la classe G_{k}(J). Or, g est la restriction à [−π, π] d’une fonction 2π-périodique, de classe C^{∞} et qui s’annule sur [−π, π] ∖ J; donc g ∈ G_{k}([−π, π]).

Par application de la proposition 3.1, il existe des constantes 0 < A, ρ < 1, C > 0 et une suite (g_{n})_{n⩾1} de fonctions rationnelles de pôle éventuel 0 telles que

(1) ∥g_{n}∥_{∞,K_{n}} ⩽ Cρ^{n} pour n = 1, 2, …,

(2) (∀θ ∈ [−π, π]) g(θ) = ∑ _{n=0}^{∞} g_{n}(e^{iθ}).

Soit x ∈ [−2, 2]. Il existe un unique θ ∈ [−2 arctan(2), 2 arctan(2)] tel que x = tan(\frac{θ}{2}) de sorte que F (x) = g(θ) = ∑ _{n=1}^{+∞} g_{n}( \frac{i−x}{i+x} ). Soit d’autre part z ∈ ℂ tel que | Im(z)| < 1 (donc z ≠ i et z ≠ −i); posons ζ = \frac{i−z}{i+z} , on a | Im(z)| ⩾ \frac{|1−|ζ||}{1+|ζ|} . Donc

(∀A′ ∈ ]0, 1[)(∀n ⩾ 1) | Im(z)| ⩽ A′n^{−1/k} ⇒ \frac{1 − A′n^{−1/k}}{1 + A′n^{−1/k}} ⩽ |ζ| ⩽ \frac{1 + A′n^{−1/k}}{1 − A′n^{−1/k}}

En choisissant A′ ∈ ]0, 1[ suffisamment petit, on obtient

(∀n ⩾ 1) 1 − An^{−1/k} < \frac{1 − A′n^{−1/k}}{1 + A′n^{−1/k}} et \frac{1 + A′n^{−1/k}}{1 − A′n^{−1/k}} < 1 + An^{−1/k} .

Posons B_{n} := {z ∈ ℂ | | Im(z)| < A′n^{−1/k} }. Les points i et −i sont en dehors de B_{n}. De plus \frac{i−z}{i+z} ∈ K_{n} pour tout z ∈ B_{n}. La fonction P_{n} définie par P_{n}(z) = g_{n}( \frac{i−z}{i+z} ) est une fonction rationnelle de pôles éventuels i ou −i et satisfait ∥P_{n}∥_{∞,B_{n}} ⩽ Cρ^{n} et on a pour tout x ∈ [−2, 2], F (x) = ∑ _{n=0}^{∞} P_{n}(x). Or, D_{k,A^{,} n} ⊂ B_{n} pour tout n ∈ ℕ^{∗}, il en résulte que

(1) (∀x ∈ [−1, 1]) f(x) = ∑ _{n=1}^{∞} P_{n}(x), (2) ∥P_{n}∥_{∞,D_{k,A′,n}} ⩽ Cρ^{n} pour n assez grand. □

Preuve de la partie réciproque du théorème principal. Soit (f_{n})_{n⩾1} une suite de fonctions holomorphes au voisinage de [−1, 1] telle qu’il existe des constantes A, C > 0, 0 < ρ < 1 telles que f_{n} ∈ O(D_{k,A,n} ) et ∥f_{n}∥_{∞,D_{n,A,k}} ⩽ Cρ^{n}, n = 1, 2, … La série ∑ f_{n} _{|[−1,1]} converge donc uniformément vers une fonction continue f sur [−1, 1]. On a [−1, 1] ⊂ \overline{D}_{k,A,2,n} ⊂ D_{k,A,n} . Par les inégalités de Cauchy, on a pour tout p ∈ ℕ

(3.2)  ∥f_{n}^{(p)} ∥_{∞,[−1,1]} ⩽ p!(2/A)^{p+1} Cn^{(p+1)/k} ρ^{n}.

Pour chaque p ∈ ℕ, la série ∑ f_{n}^{(p)} est normalement convergente sur [−1, 1], il s’ensuit que f est C^{∞} sur [−1, 1]. Nous allons montrer qu’en fait f ∈ G_{k}([−1, 1]).

En effet en vertu de (3.2) on peut écrire pour tout p ∈ ℕ et tout x ∈ [−1, 1]

|f^{(p)}(x)| ⩽ ∑_{n=0}^{+∞} \frac{2C}{A}( \frac{2}{A})^{p}p! n^{(p+1)/k} ρ^{n} ⩽ \frac{2C}{A}( \frac{2}{A})^{p}p!\frac{1}{1 − ρ} sup_{n⩾1}n^{(p+1)/k} ρ^{n/2} .

L’étude de la fonction t ↦ t^{(p+1)/k} ρ^{t/2} sur ]0, +∞[ montre que

sup_{n⩾1}n^{(p+1)/k} ρ^{n/2} ⩽ Qe^{1/k} (Qe^{1/k} )^{p}p^{p/k} où Q := \frac{2e^{−1}}{−k lnρ}

de sorte que

∥f^{(p)}∥_{∞,[−1,1]} ⩽ \frac{2C}{A(1 − \sqrt{ρ})} ( \frac{2}{A})^{p}p! Qe^{1/k} (Qe^{1/k} )^{p}p^{\frac{p}{k}}

⩽ \frac{2CQe^{1/k}}{A(1 − \sqrt{ρ})} ( \frac{2Qe^{1/k}}{A} )^{p}p^{p(1+1/k)} .

Donc f ∈ G_{k}([−1, 1]). □

4. Application: théorème de Dyn’kin pour la classe G_{k}([−1, 1])

Corollaire 4.1 (E. M. Dyn’kin). Soit f : [−1, 1] → ℂ. Supposons que f ∈ G_{k}([−1, 1]), alors il existe une fonction F ∈ C^{∞} (ℂ) et à support compact telle que (1) F_{|[−1,1]} = f, (2) |\frac{∂F}{∂z̄} (z)| ⩽ C_{1}e^{−C_{2} (d(z,[−1,1]))^{−k}} , z ∈ ℂ ∖ [−1, 1] où C_{1} et C_{2} sont des constantes strictement positives.

Preuve. Par le théorème 2.1 si f ∈ G_{k}([−1, 1]) alors il existe des constantes A ∈ ]0, 1[, C > 0, ρ ∈ ]0, 1[ et une suite de fonctions rationnelles (f_{n})_{n⩾1} définies toutes dans la bande B := {z ∈ ℂ | | Im(z)| ⩽ A} telles que

(1) ∥f_{n}∥_{D_{k,A,n}} ⩽ Cρ^{n}, (2) ∑_{n=1}^{+∞} f_{n} _{|[−1,1]} = f.

Par ailleurs il existe une suite de constantes positives (L_{α}) [10] ne dépendant que du double indice α ∈ ℕ^{2} telle que pour tout n ∈ ℕ^{∗}, il existe une fonction h_{n} : ℝ^{2} ≃ ℂ → ℝ vérifiant

h_{n}(z) = 1 si z ∈ D_{k,A/8,n} , h_{n}(z) = 0 si z ∉ D_{k,A/2,n} ,

0 ⩽ h_{n} ⩽ 1, (∀α ∈ ℕ^{2})(∀z ∈ ℂ) |D^{α} h_{n}(z)| ⩽ L_{α} n^{|α|/k} .

où |α| = p + q et D^{α} := \frac{∂^{p+q}}{∂x^{p} ∂y^{q}} , pour α = (p, q).

En prolongeant par 0 la fonction h_{n}f_{n} sur ℂ ∖ D_{k,A,n} , on obtient une fonction F_{n} de classe C^{∞} sur ℂ telle que F_{n}_{|D_{k,A/8,n}} = f_{n} _{|D_{k,A/8,n}} . On a ∥f_{n}∥_{∞,ℂ} ⩽ Cρ^{n}, n = 1, 2, . . .. La série de fonctions ∑ f_{n} est donc uniformément convergente sur ℂ et y définit une fonction continue F à support compact contenu dans D_{A}; de plus (∀x ∈ [−1, 1]) F (x) = ∑ _{n=1}^{+∞} F_{n}(x) = ∑ _{n=1}^{+∞} f_{n}(x) = f(x). Ainsi F est un prolongement à ℂ de f.

Soient α ∈ ℕ^{2} et z ∈ ℂ. Si z ∉ D_{k,A/2,n} , par (3.2), on obtient D^{α} F_{n}(z) = 0; si z ∈ D_{k,A/2,n} , alors

|D^{α} F_{n}(z)| ⩽ ∑_{β⩽α} \binom{α}{β} |D^{β}h_{n}(z)||D^{α−β} f_{n}(z)|

⩽ ∑_{β⩽α} \binom{α}{β} L_{β}n^{|β|/k} |D^{α−β} f_{n}(z)| ⩽ ∑_{β⩽α} \binom{α}{β} L_{β}n^{|β|/k} |f_{n}^{(|α|−|β|)} (z)|

⩽ ∑_{β⩽α} \binom{α}{β} L_{β}n^{|β|/k} C(|α| − |β|)!( \frac{4}{A})^{|α|+1} ( \frac{A}{4})^{|β|} ρ^{n}n^{(|α|−|β|+1)/k}

⩽ \{ ∑_{β⩽α} \binom{α}{β} L_{β}C(|α| − |β|)!( \frac{4}{A})^{|α|+1} ( \frac{A}{4})^{|β|} \} n^{(|α|+1)/k} ρ^{n}.

Il s’ensuit que F = ∑ _{n=1}^{∞} F_{n} est de classe C^{∞} sur ℂ.

Estimons \frac{∂F}{∂z̄} (z) pour z ∈ ℂ ∖ [−1, 1]. Soit z ∈ ℂ ∖ [−1, 1] on a \frac{∂F}{∂z̄} (z) = ∑ _{n=1}^{+∞} \frac{∂F_{n}}{∂z̄} (z). Or \frac{∂F_{n}}{∂z̄} (z) = 0 si d(z, [−1, 1]) ⩾ An^{−1/k} ou d(z, [−1, 1]) < \frac{A}{8}n^{−1/k} .

Si d(z, [−1, 1]) ∈ [ \frac{A}{8}n^{−1/k} , An^{−1/k} [ alors

\frac{∂F_{n}}{∂z̄} (z) = h_{n}(z)\frac{∂f_{n}}{∂z̄} (z) + f_{n}(z)\frac{∂h_{n}}{∂z̄} (z) = f_{n}(z)\frac{∂}{∂z̄}h_{n}(z),

donc

| \frac{∂F_{n}}{∂z̄} (z)| ⩽ |f_{n}(z)|| \frac{∂h_{n}}{∂z̄} (z)| ⩽ \frac{C}{2}ρ^{n}( | \frac{∂h_{n}}{∂x} (z)|+| \frac{∂h_{n}}{∂y} (z)|) ⩽ \frac{C}{2}(L_{(1,0)} +L_{(0,1)} )n^{1/k} ρ^{n}.

En posant C_{0} := \frac{1}{2}C(L_{(1,0)} + L_{(0,1)} ) et λ = − lnρ > 0, on obtient

| \frac{∂F}{∂z̄} (z)| ⩽ ∑_{\frac{A}{8} n^{−1/k} ⩽d(z,[−1,1])⩽An^{−1/k}} C_{0}n^{1/k} e^{n ln ρ}

⩽ C_{0} ∑_{( \frac{A}{8d(z,[−1,1])} )^{k} ⩽n}n^{1/k} e^{−λn} ⩽ C_{0} sup_{t>0}\{t^{1/k} e^{−λt/2} \} ∑_{( \frac{A}{4d(z,[−1,1])} )^{k} ⩽n}e^{−λn/2}

⩽ \frac{C_{0} sup_{t>0} \{t^{1/k} e^{−λt/2} \}}{1 − e^{−λ/2}}e^{− \frac{λ}{2} ( \frac{A}{8d(z,[−1,1])} )^{k}} ⩽ C_{1}e^{−C_{2} (d(z,[−1,1]))^{−k}}

où C_{1} = \frac{1}{1−e^{−λ/2}} C_{0} sup_{t>0} \{t^{1/k} e^{−λt/2} \} > 0 et C_{2} = \frac{λ}{2} (\frac{A}{8})^{k} > 0.

Ceci achève la preuve du corollaire. □

Remerciements. Nous tenons à remercier les professeurs Jean Pierre Demailly et Konstantin Mikhailovich Dyakonov pour leur aide précieuse. Nous exprimons également notre profonde gratitude au référé pour l’interet qu’il a accordé à notre travail.

References

1. G. V. Badalyan, Criteria for expanding functions into quasi-power series and quasi-analytic classes of functions, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 26 (1962), 839–864.

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4. T. Carleman, Les fonctions quasi-analytiques, Gauthier-Villars, Paris, 1926.

5. H. Cartan, Sur les classes de fonctions définies par des inégalités sur leurs dérivées successives, Hermann, Paris, 1940. Actualités Scientifiques et Industrielles 867.

6. E. M. Dyn’kin, Pseudo-analytic extension, uniform scale, Amer. Mat. Soc. Trans. 115 (1980), 33–48.

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11. W. Rudin, Functional Anlysis, Second edition, New York, 1991.

Département de Mathématiques (Received 30 04 2014) Université Ibn Tofail Faculté des sciences, B.P:133 Kénitra Maroc

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