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Actes de la table ronde de Géométrie Différentielle en l'honneur de Marcel Berger
Arthur L. Besse (éditeur)
Séminaires et Congrès 1 (1996), xviii+642 pages

Équilinéarité et courbure scalaire conforme
Philippe Delanoë
Séminaires et Congrès 1 (1996), 273-289
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Résumé :
Sur une variété riemannienne complète non compacte (M,g), je montre que la possibilité de résoudre des équations semi-linéaires de la forme $\Delta u = f(x)F(u)$ équivaut à celle de résoudre l'équation linéaire $\Delta v = f(x)$, moyennant certaines hypothèses sur u et v, f et F. J'appelle ce phénomène « équilinéarité » . Lorsque M est de dimension n>2 et g scalaire-plate, non-parabolique, j'en déduis une caractérisation de l'ensemble $\underline {\overline {\mathcal {S}}}$ des fonctions qui sont courbures scalaires de métriques quasi-isométriques à g. Dans le cas particulier de l'espace euclidien, mon résultat améliore [13] et, combiné au théorème de Liouville, il en explique la condition ad hoc d'évanouissement partiel à l'infini. Je discute en annexe une liste d'incompatibilités de signe entre fonctions de $\underline {\overline {\mathcal {S}}}$, déduites de propriétés connues du laplacien sous trois hypothèses géométriques naturelles.

Abstract:
On a complete noncompact Riemannian manifold (M,g), I show that the solvability of semi-linear equations like $\Delta u = f(x)F(u)$ is equivalent to that of the linear equation $\Delta v = f(x)$, under some assumptions on u,v,f,F. I call this phenomenon ``equilinearity''. When M has dimension n > 2 and g is scalar-flat non-parabolic, I derive from this a characterization of the set $\underline {\overline {\mathcal {S}}}$ of functions which are scalar curvature of metrics quasi-isometric to g. In the particular case of euclidean space, my result improves [13] and, combined with Liouville's theorem, it explains the ad hoc condition of partial decay at infinity of [13]. Last, I discuss a list of sign incompatibilities between functions in $\underline {\overline {\mathcal {S}}}$, deduced from well-known properties of the laplacian under three natural geometric assumptions.

Class. math. : 53C21, 35J60, 35B99

ISBN : 2-85629-047-7