Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen

Journal for Analysis and its Applications Volume 19 (2000), No. 1, 239–253

Konstruktive Verzweigungstheorie für Halbeigenwerte

M. Damm

Abstract. By linearization of nonlinear semi-eigenvalue problems, especially for analytic maps with completely continuous Fréchet derivative, we develop the (primary) branching solutions and the corresponding semi-eigenvalues into power series with respect to a real parameter. We consider the algebraically simple case of the semi-eigenvalue of the linearization using the implicit function theorem and the Fredholm alternative. Keywords: Semi-eigenvalue, semi-eigenvector, nonlinear eigenvalue problems, bifurcation,

analytic branching solutions, implicit function theorem, Fredholm alternative

AMS subject classification: 47 H 12, 58 C 40, 58 E 07

1. Einleitung

Im Jahre 1963 wurde von O. B. Moskalew erstmals die Problematik der so genannten Halbeigenwerte herausgearbeitet. In seiner Arbeit [4] stößt er bei der Modellierung des Zusammenhanges von Neutronenstrom Φ und Temperatur t als reellwertige nichtnegative Funktionen im Inneren Q ⊂ ℝ^{3} eines Kernreaktors schließlich auf das Integralgleichungssystem:

\begin{matrix}∫_{Q} G(x, y)a(t_{0} + t(y))Φ(y) dy & = λΦ(x) \\ ∫_{Q} G(x, y)b(t_{0} + t(y))Φ(y) dy & = t(x) \end{matrix} \}

wobei λ ∈ ℝ nichtnegativ und G die Greensche Funktion ist sowie a und b bestimmte stetige und reellwertige Funktionen sind. Das Problem waren Existenzaussagen über Lösungen dieses Integralgleichungssystems. Dieses wurde 1966 von I. A. Bachtin in [1] mit seinem bemerkenswerten Existenzsatz für Halbeigenvektoren vollstetiger Abbildungen in Banach-Räumen umfassend gelöst; auch der Begriff des Halbeigenwertes wurde von ihm in dieser Arbeit geprägt.

Seien nun (E_{1}, ∥ · ∥_{1}) und (E_{2}, ∥ · ∥_{2}) zwei Banach-Räume. Man erklärt den Banach-Raum E als das Produkt E = E_{1} ×E_{2}, versehen z.B. mit der Norm ∥·∥_{E} = ∥·∥_{1} +∥·∥_{2}.

M. Damm: (c/o Th. Riedrich) Techn. Univ., Inst. Anal., Zellescher Weg 12-14, D-01069 Dresden ISSN 0232-2064 / $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Heldermann Verlag Berlin

Wir betrachten für die Abbildung F : E → E die Gleichung

F (x, y) = (λx, y)  (x ∈ E_{1}, y ∈ E_{2}, λ ∈ ℝ).  (1)

Dabei heißen in Anlehnung zur Terminologie von Eigenwertaufgaben λ Halbeigenwert von F und (x, y) ∈ E mit x ≠ 0_{1} ein zum Halbeigenwert λ gehöriger Halbeigenvektor von F. Das Wirken des Parameters λ auf ausschließlich dem ersten der beiden Räume motivierten also zur Silbe ”Halb-”. Dass der Bezug auf Eigenwerte tatsächlich gerechtfertigt ist, zeigt z.B. in Spezialfällen die Rückführung auf bekannte Eigenwertprobleme wie in Folgerung 7 unten.

Im Jahre 1970 wurde der Existenzsatz von Bachtin durch E. Schulz ([6], veröffentlicht also erst 1973) auf topologische Vektorräume erweitert. Die vorerst letzte Arbeit über Halbeigenwerte wurde 1975 von T. Riedrich mit [5] publiziert, sie enthält einen Störungssatz zur Stabilität positiver Halbeigenwerte vollstetiger Abbildungen auf topologischen Vektorräumen.

Parameterabhängige Aufgaben allgemeiner Art, etwa

F (x, λ) = 0  (x ∈ X, λ ∈ Π)  (2)

wobei X und Π (Parameterraum) Banach-Räume über ℂ sein sollen, untersuchte Zeidler. Für λ ∈ ℂ^{n} (n ≥ 1) und F ∈ C^{2} bewies er in [7: S. 311 f] ein bemerkenswertes hinreichendes Kriterium für Verzweigungspunkte der Lösungen von (2). Für den Bereich der Anwendungen werden jedoch konstruktive Aussagen zu Verzweigungslösungen vermisst. Nachdem bereits für nichtlineare Eigenwertprobleme als Spezialfall von (2) konstruktive Verfahren zur Bestimmung der Eigenvektoren und Eigenwerte (auf Grundlage des Satzes über implizite Funktionen) entwickelt wurden (vgl. [3]), sollte dies für die Halbeigenwertprobleme, welche ebenfalls einen Spezialfall darstellen, im Rahmen der Diplomarbeit [2] nachgeholt werden. Vorliegender Artikel ist eine Zusammenfassung der wichtigsten Resultate daraus (vgl. [2]).

Wie das Beispiel von Moskalew nahe legt, sind Halbeigenwertaufgaben unter Umständen in der Steuerungs- und Regelungstechnik von Bedeutung. Eine schwache Motivation dafür soll das folgende Beispiel liefern. Seien dazu u (Input), x (Zustand) und y (Output) Vektorfunktionen von ℝ nach einem Banach-Raum X. Für ein nichtlineares Übertragungssystem

\begin{matrix}ẋ(t) & = V (x(t), u(t)) \\ y(t) & = W (x(t), u(t)) \end{matrix} \}

ist es in der Praxis durchaus sinnvoll, die Asymptotik y(t) → u(t) (für t → ∞ und ẋ(t) → 0, x(t) ↛ 0) und den Ansatz V (x, u) = Ṽ (x, u) − λx zu untersuchen. Man erhält dann eine nichtlineare Halbeigenwertaufgabe.

Wir beschränken uns im Weiteren durchgehend auf reelle Banach-Räume und (im Hinblick auf Potenzreihen für die Lösungen) auf analytische und nichtlineare Abbildungen F. Wir definieren (vgl. [6]) ein spezielles Produkt, welches mit x ∈ E_{1} und y ∈ E_{2} erklärt wird durch

λ ∗ (x, y) := (λx, y).

Unser Halbeigenwertproblem (1) kann damit geschrieben werden als

F (x, y) = λ ∗ (x, y).

Unter Verwendung der Komponentenabbildungen S : E_{1}×E_{2} → E_{1} und T : E_{1}×E_{2} → E_{2} von F lautet (1) auch

\begin{matrix}S(x, y) & = λ · x \\ T (x, y) & = y \end{matrix} \}

Der Hauptunterschied zu den bekannten Eigenwertaufgaben ist die offensichtliche Inkompatibilität der ∗-Multiplikation mit der den Vektorräumen zu Grunde liegenden skalaren Multiplikation (Bezeichnung mit ”·”). Die Zuordnung λ ↦ (λx, y) ist offenbar nichtlinear in λ. Dieser Unterschied verhindert eine vollständige Übertragung der Theorie über Eigenwertaufgaben auf Halbeigenwertaufgaben. Probleme tauchen dabei bereits bei linearen Problemen auf, wie die Bemerkungen 4 und 12 unten verdeutlichen werden.

Definition 1. Es gelte F (0_{E}) = 0_{E} = (0_{1}, 0_{2}). Eine Zahl λ_{0} ∈ ℝ heißt Verzweigungswert von (1), wenn für jedes ε > 0 ein Paar ((x, y), λ) ∈ E × ℝ existiert mit |λ−λ_{0}| ≤ ε und ∥(x, y)∥_{E} ≤ ε (x ≠ 0_{1}), welches (1) erfüllt. Die Paare ((x, y), λ) heißen dabei Verzweigungslösungen. Wir bezeichnen mit Λ die Menge aller Verzweigungswerte von (1).

Bemerkung 2. Wir untersuchen hier wegen der Existenze der trivialen Lösung und gesuchter nichttrivialer (x, y) ∈ E ausschließlich primäre Bifurkation, d.h. Verzweigung von der trivialen Lösung.

2. Linearisierung

Analog zu Eigenwertproblemen haben wir zur Linearisierung die Fréchet-Ableitung A = F′(0_{E}) von F an der Stelle 0_{E} zu bestimmen. Zusammen mit der Voraussetzung F (0_{E}) = 0_{E} erhalten wir für F die Darstellung

F = A + R.

Dabei hat für R wegen der Definition der Fréchet-Ableitung

lim_{(x,y)→0_{E}} \frac{R(x, y)}{∥(x, y)∥_{E}} = 0_{E}

zu gelten, R enthält also keine linearen Terme.

Mit dem eingeführten ∗-Produkt definieren wir

Φ_{λ} := A − λ ∗ I_{E}

wobei I_{E} die Identität auf E ist. Mit fixem λ_{0} ∈ ℝ und der Festlegung μ := λ − λ_{0} ist unser Halbeigenwertproblem (1) dann lokal äquivalent zu

Φ_{λ_{0}}(x, y) + R(x, y) − (μx, 0) = 0_{E}.  (3)

Unter Verwendung der (partiellen) Fréchet-Ableitungen der Komponenten von F, welche wir mit S_{1} = \frac{∂S}{∂x} |_{0_{E}}, S_{2} = \frac{∂S}{∂y} |_{0_{E}}, T_{1} = \frac{∂T}{∂x} |_{0_{E}} und T_{2} = \frac{∂T}{∂y} |_{0_{E}} bezeichnen, sowie mit der Definition von

Ω = T_{2} − I_{2}

wobei I_{E} = (I_{1}, I_{2}) ist erhalten wir für Φ_{λ} : E → E die Darstellung

Φ_{λ} = [ \begin{matrix}(S_{1} − λI_{1}) & S_{2} \\ T_{1} & Ω \end{matrix} ] .  (4)

2.1 Notwendiges Kriterium für Verzweigung. Ähnlich zur Spektraltheorie linearer Operatoren geben wir die folgende

Definition 3. Die Menge ρ_{h}(A) := {λ ∈ ℝ : ∃ Φ_{λ}^{−1} ∈ L[E]} heißt Halbresolventenmenge von A. Das reelle Komplement σ_{h}(A) = ℝ \ ρ_{h}(A) bezeichnen wir als Halbspektrum von A. Die Menge

σ_{hp}(A) = {λ_{0} ∈ ℝ : ∃ (x_{0}, y_{0}) ∈ E (x_{0} ≠ 0_{1}) mit Φ_{λ_{0}}(x_{0}, y_{0}) = 0_{E}}

soll Halbpunktspektrum von A heißen.

Beachte, dass wir ausschließlich auf reellen Banach-Räumen E arbeiten wollen, da für λ ∈ ℂ der Operator Φ_{λ} nicht erklärt zu sein braucht.

Bemerkung 4. Wichtig war bei der Definition von σ_{hp}(A) die Bedingung x_{0} ≠ 0_{1}, da das Auftreten nicht-trivialer Lösungen (0, y_{0}) von Φ_{λ_{0}}(x, y) = 0_{E}, z.B. für A = I_{E}, ein Problem ist. Dies würde im Unterschied zu Eigenwertaufgaben ρ_{h}(A) = ∅ verursachen, da dann die Invertierbarkeit von Φ_{λ} nicht mehr von λ abhängt:

Φ_{λ_{0}}(0, y_{0}) = 0_{E} (λ_{0} ∈ ℝ) ⟹ Φ_{λ}(0, y_{0}) = 0_{E} ∀ λ ∈ ℝ.

Ebenso möglich ist auch der andere Grenzfall σ_{h}(A) = ∅.

Wir haben im Folgenden darauf zu achten, dass ρ_{h}(A) und σ_{h}(A) nichtleer sind; entartete Lösungen (0, y_{0}) wie oben können dann nicht auftreten.

Satz 5 (Notwendiges Kriterium). Sei F : E → E stetig und gelte F (0_{E}) = 0_{E}. Es existiere die Fréchet-Ableitung A = F′(0_{E}). Für Λ als die Menge aller Verzweigungswerte von (1) gilt dann Λ ⊆ σ_{h}(A).

Beweis. Wir werden ihn indirekt führen, d.h. annehmen, dass λ_{0} ∈ ρ_{h}(A) für λ_{0} ∈ Λ gelte. Wegen der Linearität von λ ∗ I_{E} für festes λ ist Φ_{λ_{0}} die Fréchet-Ableitung des Operators F − λ ∗ I_{E} nach (x, y) an der Stelle (0_{E}, λ_{0}). Daher ist es unser Halbeigenwertproblem (1), d.h. F (x, y) − λ ∗ (x, y) = 0_{E}, welches wegen λ_{0} ∈ ρ_{h}(A) nach dem Satz über implitite Funktionen lokal um (0_{E}, λ_{0}) stetig nach (x, y) auflösbar ist. Wegen der Existenz der trivialen Lösung und Eindeutigkeit der Auflösung folgte jedoch (x, y) = 0_{E} für alle Lösungen von (1) mit λ aus einer gewissen Umgebung von λ_{0}. Das ist ein Widerspruch 2.2 Ergebnisse der Linearisierung. Für eine Untersuchung von σ_{hp}(A) bzw. von σ_{h}(A) betrachten wir wegen Definition 3 die folgenden beiden Gleichungen, welche auch noch im Abschnitt 2.3 eine wichtige Rolle spielen werden:

Φ_{λ_{0}}(x, y) = z  (5)
Φ_{λ_{0}}(x, y) = 0_{E}.  (6)

Satz 6. Es sei Φ_{λ_{0}} = A − λ_{0} ∗ I_{E} (vgl. (4)). Falls Ω : E_{2} → E_{2} stetig invertierbar (also bijektiv) ist, so gelten die folgenden Aussagen:

1. Φ_{λ_{0}} ist genau dann invertierbar, wenn (S_{1} − λ_{0}I_{1}) − S_{2}Ω^{−1}T_{1} : E_{1} → E_{1} invertierbar ist.

2. Wenn Φ_{λ_{0}} nicht invertierbar ist, gilt für alle nicht-trivialen Lösungen (x_{0}, y_{0}) der homogenen Gleichung (6) automatisch x_{0} ≠ 0_{1}, d.h. nicht-triviale Lösungen (0, y_{0}) wie in Bemerkung 4 sind ausgeschlossen.

3. Es gilt σ_{h}(A) ≠ ∅ und es existiert eine Zahl r_{h}(A) > 0, so dass für jedes λ_{0} ∈ σ_{h}(A) die Ungleichung |λ_{0}| ≤ r_{h}(A) gilt (Spektralradius). Die Neumannsche Reihe

− ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{λ_{0}^{k+1}} (S_{1} − S_{2}Ω^{−1}T_{1})^{k}  (7)

(für die Inverse von (S_{1} − λ_{0}I_{1}) − S_{2}Ω^{−1}T_{1}) konvergiert genau dann, wenn |λ_{0}| > r_{h}(A) gilt. Dabei berechnet sich r_{h}(A) nach der Gelfand-Formel für Halbeigenwerte:

r_{h}(A) = lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{∥(S_{1} − S_{2}Ω^{−1}T_{1})^{n}∥} = inf ^{n} \sqrt{∥(S_{1} − S_{2}Ω^{−1}T_{1})^{n}∥}.  (8)

4. Es existiert genau eine stetige Funktion ϕ, welche für x aus einer gewissen Nullumgebung in E_{1} die Gleichung T (x, ϕ(x)) = ϕ(x) und die Bedingung ϕ(0_{1}) = 0_{2} erfüllt.

Beweis. 1. Für stetig invertierbares Ω besitzt Φ_{λ_{0}} die Faktorisierung

Φ_{λ_{0}} = \underbrace{[ \begin{matrix}I_{1} & S_{2}Ω^{−1} \\ 0 & I_{2} \end{matrix} ]}_{=L_{2}} \underbrace{[ \begin{matrix}(S_{1} − λ_{0}I_{1}) − S_{2}Ω^{−1}T_{1} & 0 \\ 0 & Ω \end{matrix} ]}_{=B_{2}} \underbrace{[ \begin{matrix}I_{1} & 0 \\ Ω^{−1}T_{1} & I_{2} \end{matrix} ]}_{=R_{2}} .

Da L_{2} und R_{2} als Abbildungen von E nach E stets invertierbar sind, ist die Invertierbarkeit von Φ_{λ_{0}} gleichwertig zu der von B_{2}. Jedoch ist B_{2} invertierbar genau dann, wenn (S_{1} − λ_{0}I_{1}) − S_{2}Ω^{−1}T_{1} invertierbar ist.

2. Wir untersuchen die Lösungen des Gleichungssystems, welches nach Darstellung (4) gleichwertig zur homogenen Gleichung (6) ist:

\begin{matrix}(S_{1} − λ_{0}I_{1})x + S_{2}y & = 0_{1} \\ T_{1}xΩy & = 0_{2} \end{matrix} \} .  (9)

Nach Voraussetzung folgt aus (9)_{2} die Beziehung y_{0} = −Ω^{−1}T_{1}x_{0}. Also würde x_{0} = 0_{1} die triviale Lösung ergeben.

3. Für die Untersuchung von ρ_{h}(A) genügt es wegen Punkt 1 die stetige Inverse von (S_{1} − λ_{0}I_{1}) − S_{2}Ω^{−1}T_{1} zu betrachten. Es ist leicht nachzurechnen, dass die Reihe (7) formal diese Inverse ist. Mit H := S_{1} − S_{2}Ω^{−1}T_{1} haben wir die Eigenwertaufgabe (H − λ_{0}I_{1}) zu untersuchen, σ_{h}(A) ≠ ∅ ist damit klar. Für ∑ λ_{0}^{−k−1}H^{k} gilt als Konvergenzkriterium nach Cauchy-Hadamard zunächst |λ_{0}| > \overline{lim} ^{n} \sqrt{∥H^{n}∥}, dann zeigt man sogar \overline{lim} ≤ inf, d.h. \overline{lim} = inf = lim. Es gilt also (8).

4. Folgerung aus dem Satz über implizite Funktionen ist, dass die Gleichung T (x, y) = y dann die Auflösung ϕ(x) = y besitzt, da Ω = T_{2} − I_{2} gerade die partielle Ableitung des Operators (T − I_{2}) : E → E_{2} nach dem zweiten Argument y darstellt. Die Halbeigenvektoren von A lauten also (x, ϕ(x)), falls die x aus einer gewissen Nullumgebung von E_{1} die Gleichung

S(x, ϕ(x)) = λ · x  (10)

erfüllen

Folgerung 7. Punkt 4 von Satz 6 bedeutet, dass unser Halbeigenwertproblem (1) unter den genannten Voraussetzungen äquivalent zum Eigenwertproblem (10) ist. Der Operator S̃ : E_{1} → E_{1}, definiert durch S̃x = S(x, ϕ(x)), ist stetig, da sowohl S als auch ϕ stetig sind. Darüber hinaus ist wegen S̃(0_{1}) = S(0_{E}) = 0_{1} die triviale Lösung vorhanden. Die Theorie über nichtlineare Eigenwertprobleme lässt sich somit auf (10) anwenden.

Deshalb haben wir uns besonders solchen Halbeigenwertaufgaben zuzuwenden, bei denen Ω kein linearer Homöomorphismus auf E_{2} ist.

Satz 8. Es sei Φ_{λ_{0}} = A − λ_{0} ∗ I_{E}. Falls (S_{1} − λ_{0}I_{1}) : E_{1} → E_{1} stetig invertierbar ist, so gilt:

1. Φ_{λ_{0}} ist genau dann invertierbar, wenn Ω − T_{1}(S_{1} − λ_{0}I_{1})^{−1}S_{2} : E_{2} → E_{2} invertierbar ist.

2. Wenn Φ_{λ_{0}} nicht invertierbar ist, gilt für die nicht-trivialen Lösungen (x_{0}, y_{0}) der homogenen Gleichung (6) die Relation y_{0} ≠ 0_{2}.

Beweis. Er ist analog zum Beweis der Punkte 1 und 2 von Satz 6. Unter Punkt 1 besitzt Φ_{λ_{0}} hier die Darstellung Φ_{λ_{0}} = L_{1}B_{1}R_{1} mit

\begin{aligned}B_{1} & = [ \begin{matrix}(S_{1} − λ_{0}I_{1}) & 0 \\ 0 & Ω − T_{1}(S_{1} − λ_{0}I_{1})^{−1}S_{2} \end{matrix} ] \\ L_{1} & = [ \begin{matrix}I_{1} & 0 \\ T_{1}(S_{1} − λ_{0}I_{1})^{−1} & I_{2} \end{matrix} ] \\ R_{1} & = [ \begin{matrix}I_{1} & (S_{1} − λ_{0}I_{1})^{−1}S_{2} \\ 0 & I_{2} \end{matrix} ] . \end{aligned}

Für Punkt 2 folgt die Beziehung x_{0} = −(S_{1} − λ_{0}I_{1})^{−1}S_{2}y_{0} aus (9)_{1}. Aus der Relation y_{0} = 0_{2} würde also die triviale Lösung (x_{0}, y_{0}) = 0_{E} folgen

Hilfssatz 9. Sei dim E_{1} < ∞ und seien λ_{1}, …, λ_{n} (mit 1 ≤ n ≤ dim E_{1}) verschiedene Halbeigenwerte von A und (x_{k}, y_{k}) ein zum Halbeigenwert λ_{k} gehöriger Halbeigenvektor (k = 1, …, n). Dann gilt dim lin {x_{1}, …, x_{n}} = n.

Der Beweis ist leicht mittels vollständiger Induktion möglich. Interessant ist dabei, dass das Wirken der Halbeigenwerte ausschließlich auf E_{1} dazu führt, dass keine derartige Aussage über die y_{k} gemacht werden kann, da für diese unter Umständen y_{1} = … = y_{m} = 0_{2} (1 ≤ m ≤ n) gilt.

Ein brauchbarer Zusammenhang zwischen dem betragsmäßig größten Eigenwert und dem betragsmäßig größten Halbeigenwert von A lässt sich deshalb nicht herstellen, weil dieser offenbar spezielle Voraussetzungen über S_{1}, S_{2} und T_{1}, T_{2} (also über A) erfordern würde.

2.3 Anwendung der Fredholm-Alternative. Sei A vollstetig. Für feste, nichtverschwindende und endliche λ ∈ ℝ ist der lineare und stetige Operator λ ∗ I_{E} : E → E bijektiv. Der Satz von Nikolski (1943) besagt, dass ein Operator genau dann der Fredholm-Alternative genügt, wenn er eine Darstellung als Summe eines vollstetigen und eines stetig invertierbaren Operators besitzt. Deshalb genügen für λ ≠ 0 und |λ| < ∞ alle Operatoren Φ_{λ} = A − λ ∗ I_{E} der Fredholm-Alternative.

Mit Φ_{λ} : E → E genügen auch (S_{1} − λI_{1}) : E_{1} → E_{1} und Ω : E_{2} → E_{2} der Fredholm-Alternative, da sie sich stetig (mittels geeigneter Projektionen) aus Φ_{λ} gewinnen lassen. Die Fredholm-Alternative besagt in unserem Fall, dass für λ_{0} ∈ ℝ

• entweder (5) für beliebige z ∈ E eindeutig und stetig lösbar ist, also eine stetige Inverse von Φ_{λ_{0}} existiert (d.h. λ_{0} ∈ ρ_{h}(A))

oder

• (6) eine nichtverschwindende und endliche Anzahl linear unabhängiger Lösungen (x_{0}, y_{0}) besitzt (d.h. λ_{0} ∈ σ_{hp}(A)).

Folgerung 10. Da nach der Fredholm-Alternative für vollstetiges A die Relation σ_{h}(A) ⊆ {0} ∪ σ_{hp}(A) gilt, lautet die Aussage von Satz 5 dann

Λ ⊆ {0} ∪ σ_{hp}(A).

Im Fall dim E_{1} < ∞ gilt nach Hilfssatz 9 außerdem card σ_{hp}(A) ≤ dim E_{1}.

Wir betrachten nun den Nullraum (Kern) und den Wertebereich von Φ_{λ_{0}}:

\begin{aligned}N (Φ_{λ_{0}}) & := \{(x_{0}, y_{0}) ∈ E : Φ_{λ_{0}}(x_{0}, y_{0}) = 0_{E}\} \\ R(Φ_{λ_{0}}) & := Φ_{λ_{0}}[E]. \end{aligned}

Analog zu den Eigenwerten geben wir die folgenden Begriffsdefinitionen:

Definition 11. Es bezeichnen γ(λ_{0}) := dim N (Φ_{λ_{0}}) die geometrische und α(λ_{0}) := dim ⋃_{k=1}^{∞} N (Φ_{λ_{0}}^{k}) die algebraische Vielfachheit des Halbeigenwertes λ_{0} von A. Falls eine natürliche Zahl ν < ∞ existiert mit N (Φ_{λ_{0}}^{ν−1}) ⊆ N (Φ_{λ_{0}}^{ν}) = N (Φ_{λ_{0}}^{ν+1}), so heißt diese der Index des Halbeigenwertes λ_{0} von A und wir bezeichnen diesen mit ν(λ_{0}).

Sei λ_{0} ∈ σ_{hp}(A). Die Fredholm-Alternative liefert a) 1 ≤ γ(λ_{0}) < ∞

b) codim R(Φ_{λ_{0}}) = γ(λ_{0})

c) R(Φ_{λ_{0}}) ist abgeschlossen.

Deshalb existieren abgeschlossene, nichtleere und nichttriviale Mengen M ⊂ E und N ⊂ E, so dass für E die folgenden Darstellungen als topologische direkte Summen existieren:

\begin{aligned}E & = N (Φ_{λ_{0}}) ⊕ N \\ E & = M ⊕ R(Φ_{λ_{0}}). \end{aligned}

Sei λ_{0} von beliebigem Index ν(λ_{0}) < ∞ und seien durch {z_{1}, …, z_{γ(λ_{0})}} eine Basis von M bzw. durch {(x_{1}, y_{1}), …, (x_{γ(λ_{0})}, y_{γ(λ_{0})})} eine Basis von N (Φ_{λ_{0}}) gegeben. Eine Folgerung aus dem Satz von Hahn-Banach besagt, dass zu jedem Vektor x_{0} ∈ E und jedem abgeschlossenen linearen Teilraum X ⊂ E mit x_{0} ∉ X ein lineares stetiges Funktional f ∈ E′ existiert mit f(x_{0}) = 1 und f(y) = 0 (y ∈ X). Deshalb existiert zu den (x_{k}, y_{k}) ein System {f_{1}, …, f_{γ(λ_{0})}} ⊂ E′ mit f_{i}(x_{j}, y_{j}) = δ_{ij} und f_{k}(x, y) = 0 für (x, y) ∈ N (k = 1, …, γ(λ_{0})). Diese f_{k} sind nur auf dem endlich-dimensionalen Raum N (Φ_{λ_{0}}) zu bestimmen. Wir definieren damit P : E → N (Φ_{λ_{0}}) durch

P (x, y) = ∑_{k=1}^{γ(λ_{0})} f_{k}(x, y) · (x_{k}, y_{k}).  (11)

Bemerkung 12. Der Projektor P und der lineare Operator A kommutieren im Unterschied zu Eigenwerten im allgemeinen nicht miteinander, d.h. im Allgemeinen ist AP ≠ P A.

Die Einschränkung Φ̂_{λ_{0}} von Φ_{λ_{0}} auf seinen Wertebereich R(Φ_{λ_{0}}) ist ein linearer Homöomorphismus, welchen wir nun auf ganz E fortsetzen wollen. Dazu definieren wir

Φ̄_{λ_{0}}(x, y) := Φ_{λ_{0}}(x, y) + ∑_{k=1}^{γ(λ_{0})} f_{k}(x, y) · z_{k}.

Das Schmidtsche Lemma liefert, dass für vollstetiges A die stetige Inverse Γ̄ := Φ̄_{λ_{0}}^{−1} existiert. Diese Inverse heißt allgemein Pseudoresolvente von A, hier wollen wir sie Pseudohalbresolvente von A nennen.

Die Räume M und N sind als topologische Komplemente nicht eindeutig bestimmt, wir können im Allgemeinen auch nicht M = N (Φ_{λ_{0}}) bzw. N = R(Φ_{λ_{0}}) wählen. Die bekannte Tatsache, dass sich für den Fredholm-Operator Φ_{λ_{0}} die Teilräume M und N genau dann als Nullraum bzw. Wertebereich wählen lassen, wenn ν(λ_{0}) = 1 ist, lässt sich jedoch ohne Probleme auf Halbeigenwerte übertragen (wir benötigen dazu lediglich N (Φ_{λ_{0}}) = N (Φ_{λ_{0}}^{2}), nicht aber die spezielle Gestalt von Φ_{λ_{0}}). Wir erhalten für ν(λ_{0}) = 1 also

E = N (Φ_{λ_{0}}) ⊕ R(Φ_{λ_{0}}).  (12)

Im diesem Falle können wir sogar z_{k} = (x_{k}, y_{k}) wählen und es gilt N (P) = R(Φ_{λ_{0}}) = (I_{E} − P)[E]. Es gelten dann außerdem die beiden folgenden wichtigen Hilfssätze.

Hilfssatz 13. Sei (x_{0}, y_{0}) ∈ N (Φ_{λ_{0}}) mit x_{0} ≠ 0_{1} und sei ν(λ_{0}) = 1. Dann gilt (x_{0}, 0) ∉ R(Φ_{λ_{0}}).

Beweis. Aus (x_{0}, y_{0}) ∈ N (Φ_{λ_{0}}) folgt also Φ_{λ_{0}}(x_{0}, 0) + Φ_{λ_{0}}(0, y_{0}) = 0_{E} wegen der Linearität von Φ_{λ_{0}}. Angenommen, es wäre (x_{0}, 0) ∈ R(Φ_{λ_{0}}). Wegen (12) wäre dann N (Φ_{λ_{0}}) ∩ R(Φ_{λ_{0}}) = {0_{E}}, d.h. Φ_{λ_{0}}(x_{0}, 0) ≠ 0_{E}. Wegen der Injektivität von Φ_{λ_{0}} auf R(Φ_{λ_{0}}) würde dann (x_{0}, 0) + (0, y_{0}) = 0_{E} folgen, was ein Widerspruch ist

Hilfssatz 14. Sei (ξ, η) ∈ R(Φ_{λ_{0}}) mit ξ ≠ 0_{1} und sei ν(λ_{0}) = 1. Dann gilt (ξ, 0) ∉ N (Φ_{λ_{0}}).

Beweis. Wegen N (Φ_{λ_{0}}) = N (Φ_{λ_{0}}^{2}) besitzt (ξ, η) ein Urbild (u, v) ∈ R(Φ_{λ_{0}}), d.h. (ξ, η) = Φ_{λ_{0}}(u, v). Weiterhin ist Φ_{λ_{0}}(ξ, η) = Φ_{λ_{0}}(ξ, 0) + Φ_{λ_{0}}(0, η) = Φ_{λ_{0}}^{2}(u, v). Wäre (ξ, 0) ∈ N (Φ_{λ_{0}}), dann wäre Φ_{λ_{0}}^{2}(u, v) = Φ_{λ_{0}}(0, η) ∈ R(Φ_{λ_{0}}). Wieder wegen der Injektivität von Φ_{λ_{0}} auf R(Φ_{λ_{0}}) folgte Φ_{λ_{0}}(u, v) = (0, η), also ξ = 0_{1}, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ξ ≠ 0_{1} ist

3. Konstruktion der Verzweigungslösungen

3.1 Gewinnung von Verzweigungsgleichungen. Aus (3) folgt für λ_{0} ∈ σ_{hp}(A) von zunächst beliebigem Index ν(λ_{0}) < ∞ und μ = λ − λ_{0} mit Anwendung von Γ̄ (beachte (x_{k}, y_{k}) = Γ̄z_{k})

(I_{E} − P)(x, y) + Γ̄{R(x, y) − (μx, 0)} = 0_{E}.  (13)

Für vollstetiges A erfüllen die lokalen Verzweigungslösungen ((x, y), λ) ∈ E × ℝ von (1) um den Punkt (0_{E}, λ_{0}) (falls sie existieren) die Gleichung (13). Wegen γ(λ_{0}) < ∞ können wir durch s_{k} := f_{k}(x, y) (k = 1, …, γ(λ_{0})) Verzweigungsparameter s_{k} ∈ ℝ einführen, im Falle ν(λ_{0}) = 1 gestatten sie wegen (12) und (11) für jedes (x, y) ∈ E die eindeutige Darstellung

(x, y) = ∑_{k=1}^{γ(λ_{0})} s_{k} · (x_{k}, y_{k}) + (u, v) ((u, v) ∈ R(Φ_{λ_{0}})).

Dies gestattet uns einen Rückzug auf R(Φ_{λ_{0}}) und liefert den folgenden

Satz 15. Sei A = F′(0_{E}) vollstetig und λ_{0} ∈ σ_{hp}(A) vom Index ν(λ_{0}) = 1. Die Gleichung (13) besitzt dann lokal um (0_{E}, λ_{0}) eine eindeutige und stetige Auflösung ϕ(μ, s_{1}, …, s_{γ(λ_{0})}) = (x, y), für welche ϕ(0, 0, …, 0) = 0_{E} gilt.

Beweis. Wir betrachten den Hilfsoperator

Ψ((x, y), μ, s_{1}, …, s_{γ(λ_{0})}) = (I_{E} − P)(x, y) + Γ̄{R(x, y) − (μx, 0)}

und haben die Gleichung

Ψ((x, y), μ, s_{1}, …, s_{γ(λ_{0})}) = 0_{E}

nach (x, y) aufzulösen. Dabei hat (x, y) = 0_{E} unmittelbar s_{k} = 0 und Ψ(0_{E}, 0, 0, …, 0) = 0_{E} zur Folge. Beim Term Γ̄{…} verschwindet die innere Ableitung, da a) R′(0_{E}) = 0 und

b) die Zuordnung (x, y) ↦ (μx, 0) linear ist (für festes μ ∈ ℝ). Daher lautet die partielle Ableitung nach den abhängigen Größen

\frac{∂Ψ}{∂(x, y)}|_{(0_{E},0,0,...,0)} = (I_{E} − P).

Da wir uns auf R(Φ_{λ_{0}}) beschränken können, ist die Bijektivität von (I_{E} − P) klar, weil wegen N (P) = R(Φ_{λ_{0}}) nur die Identität auf R(Φ_{λ_{0}}) verbleibt. Der Rest folgt mittels des Satzes über implizite Funktionen: es existiert ein eindeutiges ϕ : ℝ × ℝ^{γ(λ_{0})} ⊃ U → V ⊂ E mit (x, y) = ϕ(μ, s_{1}, …, s_{γ(λ_{0})}) und ϕ(0, 0, …, 0) = 0_{E}

Die anschließende Anwendung der Funktionale f_{k} (k = 1, …, γ(λ_{0})) auf die gewonnene Auflösung liefert ein Gleichungssystem mit γ(λ_{0}) Gleichungen für γ(λ_{0}) + 1 Unbekannte (nämlich μ und die s_{k}). Die enthaltenen Gleichungen heißen Verzweigungsgleichungen von Ljapunov-Schmidt, die Verzweigungslösungen von (1) entsprechen genau den Lösungen dieses endlich-dimensionalen Gleichungssystems.

Über das Ergebnis von Satz 15 hinaus beabsichtigen wir eine Auflösung des Problems nach ((x, y), μ). Dazu haben wir eine Darstellung für μ nur als Funktion von den s_{k} zu finden. Vor großen Problemen stehen wir im Fall γ(λ_{0}) > 1, wenn wir weiter den Satz über implizite Funktionen verwenden wollen. Deshalb im Folgenden die Einschränkung auf γ(λ_{0}) = 1, d.h. (mit Berücksichtigung von ν(λ_{0}) = 1) auf α(λ_{0}) = 1.

3.2 Hinreichende Bedingung für Verzweigung und Lösungsdarstellung im algebraisch einfachen Fall. Für den Beweis des Hauptsatzes 17 benötigen wir den folgenden

Hilfssatz 16. Sei A vollstetig und λ_{0} ∈ σ_{hp}(A) (λ_{0} ≠ 0) ein Verzweigungswert mit γ(λ_{0}) = 1. Sei N (Φ_{λ_{0}}) = lin {(x_{1}, y_{1})}. Vorausgesetzt, es existieren Verzweigungslösungen ((x, y), λ) = ((x, y)(λ), λ) von (1) um (0_{E}, 0) mit stetiger Abhängigkeit von (x, y) ∈ E von λ ∈ ℝ, dann gilt für alle hinreichend kleinen δ > 0

inf_{|λ−λ_{0}|≤δ} dist (\frac{(x, y)(λ)}{∥(x, y)(λ)∥_{E}} , N (Φ_{λ_{0}})) = 0  (14)

mit dem durch dist (p, M) = inf_{z∈M} ∥p − z∥_{E} erklärten Punkt-Menge-Abstand.

Beweis. Für genügend kleine Umgebungen von (0_{E}, 0) gilt (x, y) → 0_{E} genau dann, wenn λ → λ_{0} konvergiert. Wir betrachten eine Folge {(x^{(n)}, y^{(n)})} von Halbeigenvektoren von F und zugehörige {λ^{(n)}} (mit (x^{(n)}, y^{(n)}) → 0_{E} und λ^{(n)} → λ_{0} für n → ∞). Da A vollstetig ist, können wir ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit die Folge so wählen, dass

\frac{A(x^{(n)}, y^{(n)})}{∥(x^{(n)}, y^{(n)})∥_{E}} → (u_{0}, v_{0}) (u_{0} ≠ 0_{1})

gilt. Wir finden stets ein (u, v) ∈ E, definiert durch (u_{0}, v_{0}) = λ_{0} ∗ (u, v). Wegen

\frac{λ^{(n)} ∗ (x^{(n)}, y^{(n)})}{∥(x^{(n)}, y^{(n)})∥_{E}} − λ^{(n)} ∗ (u, v) = \underbrace{\frac{R(x^{(n)}, y^{(n)})}{∥(x^{(n)}, y^{(n)})∥_{E}}}_{→0_{E}} + \underbrace{\frac{A(x^{(n)}, y^{(n)})}{∥(x^{(n)}, y^{(n)})∥_{E}} − λ^{(n)} ∗ (u, v)}_{→0_{E}}

und der Stetigkeit der ∗-Multiplikation haben wir also für n → ∞ die Konvergenz

\frac{(x^{(n)}, y^{(n)})}{∥(x^{(n)}, y^{(n)})∥_{E}} → (u, v).

Aus der Stetigkeit von A folgt für (u, v) außerdem A(u, v) = λ_{0} ∗ (u, v), daher ist also (u, v) ∈ lin {(x_{1}, y_{1})} (außerdem sogar ∥(u, v)∥_{E} = 1)

Wenn F über die Differenzierbarkeit hinaus sogar analytisch in einer gewissen Umgebung von 0_{E} ist, so konvergiert die folgende Reihe gleichmäßig für (x, y) aus einer gewissen Umgebung des Nullpunktes:

F (x, y) = ∑_{k=1}^{∞} M_{k}(x, y)^{k}.  (15)

Dabei ist (x, y) ∈ E = E_{1} ×E_{2} und die M_{k} : E ×…×E → E sind k-fach lineare, stetige und symmetrische Operatoren (so genannte Potenzoperatoren, die obige Schreibweise der Argumente ist symbolisch), es gilt M_{k} = \frac{1}{k!}F^{(k)}(0_{E}) (Taylor-Entwicklung).

Satz 17. Sei F : E → E stetig und analytisch in einer gewissen offenen Umgebung von 0_{E}. Es gelte F (0_{E}) = 0_{E} und die Fréchet-Ableitung A = F′(0_{E}) sei vollstetig. Falls für λ_{0} ∈ σ_{hp}(A) die Bedingungen N (Φ_{λ_{0}}) = lin {(x_{1}, y_{1})} (mit x_{1} ≠ 0_{1}) und α(λ_{0}) = 1 gelten, dann folgt λ_{0} ∈ Λ und es existieren Zahlen μ_{k} ∈ ℝ (k = 0, 1, …) und Elemente (ξ_{k}, η_{k}) ∈ R(Φ_{λ_{0}}) (k = 2, 3, …), so dass Verzweigungslösungen ((x, y), λ) der Aufgabe (1) existieren, für die die folgenden für |s| < μ_{0} gleichmäßig konvergenten Reihen gelten:

(x, y)(s) = s · (x_{1}, y_{1}) + ∑_{k=2}^{∞} s^{k} · (ξ_{k}, η_{k})  (16)

λ(s) = λ_{0} + ∑_{k=1}^{∞} s^{k}μ_{k}  (17)

Beweis. Die lokalen Verzweigungsgleichungen erfüllen die Gleichung (13), welche mit s := f_{1}(x, y) und P (x, y) = s · (x_{1}, y_{1}) lautet

(x, y) = s · (x_{1}, y_{1}) − Γ̄{R(x, y) − (μx, 0)}.  (18)

Es sind die Voraussetzungen von Satz 15 erfüllt. Deshalb ist (18) nach (x, y) nur als Funktion von μ = λ − λ_{0} und s auflösbar. Im Beweis von Satz 15 liefert der Satz über implizite Funktionen nun sogar die Analytizität der Auflösung, d.h.

(x, y) = ϕ(μ, s) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=0}^{∞} s^{k}μ^{l}x_{kl} = x_{00} + sx_{10} + μx_{01} + μsx_{11} + …  (19)

mit gewissen x_{kl} ∈ E_{1} × E_{2}. Das Absolutglied x_{00} verschwindet, da (x, y) = 0_{E} und s = 0 für μ = 0 zu gelten hat. Wir benutzen nun wesentlich Formel (12), d.h. jedes (x, y) ∈ E besitzt eine eindeutige Darstellung der Form (x, y) = s · (x_{1}, y_{1}) + (u, v) mit (u, v) ∈ R(Φ_{λ_{0}}). Da also genau dann (x, y) ∈ R(Φ_{λ_{0}}) ist, wenn s = 0 gilt und da die triviale Lösung bereits in R(Φ_{λ_{0}}) liegt, gilt s = 0 genau dann, wenn (x, y) = 0_{E} ist. Alle Terme von (19) müssen s enthalten, d.h. x_{0l} = 0_{E} (l ≥ 1). Außerdem gilt auch (x, y) = 0_{E} genau dann, wenn μ = 0 ist.

Der Hilfssatz 16 liefert x_{10} = (x_{1}, y_{1}), da Γ̄{…} ∈ R(Φ_{λ_{0}}) wegen (14) keine bezüglich s linearen Terme enthalten kann.

Da der nichtlineare Operator R von μ unabhängig ist, enthalten alle von (19) noch verbleibenden Summanden höchstens den Faktor μ. Das Einsetzen von (x, y) = s · (x_{1}, y_{1}) + … in (18) ergibt außerdem für den Reihenanfang

(x, y) = s · (x_{1}, y_{1}) + μsΓ̄(x_{1}, 0) − Γ̄R(s · (x_{1}, y_{1})) + …

Wegen (15) gilt

R = ∑_{k=2}^{∞} M_{k}, also Γ̄R(s · (x_{1}, y_{1})) = O(s^{2}) = s O(s).

Daher erhalten wir schließlich für (19) die Darstellung

(x, y) = s · (x_{1}, y_{1}) + μsΓ̄(x_{1}, 0) + s O(s) + μs O(s).

Die Anwendung von f_{1} ∈ E′ und anschließende Division durch s ≠ 0 ergibt

0 = μf_{1}Γ̄(x_{1}, 0) + O(s) + μ O(s).  (20)

Dies ist ein impliziter Zusammenhang von μ und s. Nach dem Satz über implizite Funktionen lautet die Bedingung für die Auflösung nach μ (Ableitung nach μ bei (μ, s) = (0, 0)) gerade f_{1}Γ̄(x_{1}, 0) ≠ 0, also Γ̄(x_{1}, 0) ∉ R(Φ_{λ_{0}}). Da die Pseudohalbresolvente Γ̄ jedoch ein linearer Homöomorphismus auf R(Φ_{λ_{0}}) ist, also Γ̄(x_{1}, 0) ∉ R(Φ_{λ_{0}}) äquivalent zu (x_{1}, 0) ∉ R(Φ_{λ_{0}}) ist, liefert Hilfssatz 13 die benötigte Bedingung.

Mit der Auflösung von (20) nach μ ist also (18) sogar als Funktion von s nach ((x, y), μ) auflösbar und es gelten wegen Analytizität die Reihen (16) und (17), die Absolutglieder verschwinden, da s = 0 äquivalent zu ((x, y), μ) = (0_{E}, 0) ist. Die (ξ_{k}, η_{k}) liegen dabei sämtlich in R(Φ_{λ_{0}}), da ∑_{k=2}^{∞} s^{k} · (ξ_{k}, η_{k}) ∈ R(Φ_{λ_{0}}) für alle s mit |s| < μ_{0} (Konstante μ_{0} > 0 aus dem Satz über implizite Funktionen) zu gelten hat.

Da die Reihen also insbesondere auch für s ≠ 0 (also (x, y) ≠ 0_{E}) gelten, haben wir auf konstruktivem Wege so auch λ_{0} ∈ Λ bewiesen

Über die hinreichende Bedingung von Satz 17 hinaus gilt der

Satz 18 (Hinreichende Bedingung). Sei F stetig, es gelte F (0_{E}) = 0_{E}, die Fréchet-Ableitung A = F′(0_{E}) existiere und sei vollstetig. Für λ_{0} ∈ σ_{hp}(A) gelte α(λ_{0}) = 1. Dann ist λ_{0} ∈ Λ.

Beweisidee (Uniformisierung der Verzweigungslösungen). Man benutzt den Ansatz

(x, y) = t · (x_{1}, y_{1}) + t · (ξ, η) ((ξ, η) ∈ R(Φ_{λ_{0}}))

und betrachtet (vgl. die Darstellung (3) des Halbeigenwertproblems) für den Hilfsoperator

U((ξ, η), μ, t)

= \{ \begin{matrix}Φ_{λ_{0}}(ξ, η) − (μ(x_{1} + ξ), 0) − \frac{1}{t}R(t · (x_{1}, y_{1}) + t · (ξ, η)) & für t ≠ 0 \\ Φ_{λ_{0}}(ξ, η) − (μ(x_{1} + ξ), 0) & für t = 0 \end{matrix}

die lokale Auflösbarkeit der Gleichung U((ξ, η), μ, t) = 0_{E}. Man hat zunächst die Stetigkeit der Fréchet-Ableitung nach ((ξ, η), μ) für ((ξ_{0}, η_{0}), μ_{0}, t_{0}) aus einer offenen Umgebung von (0_{E}, 0, 0) zu zeigen. Abschließend verwendet man eine spezielle Variante des Satzes über implizite Funktionen für den stetigen Fall. Die Ableitungen mit dem Argument ((h_{1}, h_{2}), δ) ∈ R(Φ_{λ_{0}}) × ℝ lauten Φ_{λ_{0}}(h_{1}, h_{2}) − (δx_{1}, 0) an der Stelle (0_{E}, 0, 0) und

Φ_{λ_{0}}(h_{1}, h_{2}) − (μ_{0}h_{1} + δx_{1} + δξ_{0}, 0) + \frac{1}{t_{0}} dR

mit

dR = R(t_{0} · (x_{1} + ξ_{0} + h_{1}, y_{1} + η_{0} + h_{2})) − R(t_{0} · (x_{1} + ξ_{0}, y_{1} + η_{0}))

an der Stelle ((ξ_{0}, η_{0}), μ_{0}, t_{0}). Interessant ist lediglich die Stetigkeit bei (0_{E}, 0, 0) selbst. Dazu haben wir

∥ − (μ_{0}h_{1} + δξ_{0}, 0) + \frac{1}{t_{0}} dR∥_{E} → 0 für ((ξ_{0}, η_{0}), μ_{0}, t_{0}) → (0_{E}, 0, 0)

zu zeigen. Für den für Halbeigenwerte spezifischen Term −(μ_{0}h_{1} + δξ_{0}, 0) ist leicht einzusehen, dass er verschwindet.

3.3 Bestimmung der Reihenkoeffizienten. Es sollen die Voraussetzungen von Satz 17 gelten. Wir setzen (15) zusammen mit den Reihen (16) und (17) in die Gleichung (3) ein, welche bekanntlich lokal um die Verzweigungsstelle äquivalent zum gestellten Problem (1) ist. Wir erhalten nach Koeffizientenvergleich nacheinander die Gleichungen

Φ_{λ_{0}}(ξ_{2}, η_{2}) + M_{2}(x_{1}, y_{1})^{2} = (μ_{1}x_{1}, 0) ; Φ_{λ_{0}}(ξ_{3}, η_{3}) + M_{3}(x_{1}, y_{1})^{3} = (μ_{1}ξ_{2} + μ_{2}x_{1}, 0) ; Φ_{λ_{0}}(ξ_{4}, η_{4}) + M_{2}(ξ_{2}, η_{2})^{2} + M_{4}(x_{1}, y_{1})^{4} = (μ_{1}ξ_{3} + μ_{2}ξ_{2} + μ_{3}x_{1}, 0) ; Φ_{λ_{0}}(ξ_{5}, η_{5}) + M_{5}(x_{1}, y_{1})^{5} = (μ_{1}ξ_{4} + μ_{2}ξ_{3} + μ_{3}ξ_{2} + μ_{4}x_{1}, 0) ; ⋮  (21)

Wenn k = 2, 3, … Teiler von j = 2, 3, … ist, taucht in der Gleichung mit Φ_{λ_{0}}(ξ_{j}, η_{j}) und der rechten Seite ∑_{i=1}^{j−1}(μ_{i}ξ_{j−i}, 0) neben M_{j}(x_{1}, y_{1})^{j} der Operator M_{k} mit dem k-fachen Argument (ξ_{p}, η_{p}) auf, wobei pk = j gilt. Da mit jeder Gleichung in (21) zwei neue Unbekannte hinzukommen, haben wir stets doppelt so viele Unbekannte zu bestimmen, wie Gleichungen zur Verfügung stehen.

Wir benutzen nun die Projektionen P : E → N (Φ_{λ_{0}}), analog (11) definiert durch P (x, y) = f_{1}(x, y) · (x_{1}, y_{1}), und Q : E → R(Φ_{λ_{0}}), definiert durch Q = I_{E} − P.

Außerdem verwenden wir Γ̂ = Φ̂_{λ_{0}}^{−1}, auch aufzufassen als Einschränkung von Γ̄ auf R(Φ_{λ_{0}}). Unter Verwendung von P und Q erhalten wir aus jeder Gleichung von (21) jeweils eine Gleichung in N (Φ_{λ_{0}}) und R(Φ_{λ_{0}}) (beachte dass P Φ_{λ_{0}}(ξ_{j}, η_{j}) = 0_{E} und QΦ_{λ_{0}}(ξ_{j}, η_{j}) = Φ_{λ_{0}}(ξ_{j}, η_{j}) ist), wobei wir auf die Gleichungen in R(Φ_{λ_{0}}) zusätzlich Γ̂ anwenden können. Insgesamt erhalten wir so

μ_{1} = \frac{f_{1}M_{2}(x_{1}, y_{1})^{2}}{f_{1}(x_{1}, 0)}
μ_{2} = \frac{f_{1}M_{3}(x_{1}, y_{1})^{3} − μ_{1}f_{1}(ξ_{2}, 0)}{f_{1}(x_{1}, 0)}
μ_{3} = \frac{f_{1}(M_{4}(x_{1}, y_{1})^{4} + M_{2}(ξ_{2}, η_{2})^{2}) − f_{1}(μ_{1}ξ_{3} + μ_{2}ξ_{2}, 0)}{f_{1}(x_{1}, 0)}
μ_{4} = \frac{f_{1}M_{5}(x_{1}, y_{1})^{5} − f_{1}(μ_{1}ξ_{4} + μ_{2}ξ_{3} + μ_{3}ξ_{2}, 0)}{f_{1}(x_{1}, 0)}
μ_{5} = \frac{f_{1}(M_{6}(x_{1}, y_{1})^{6} + M_{3}(ξ_{2}, η_{2})^{3} + M_{2}(ξ_{3}, η_{3})^{2})}{f_{1}(x_{1}, 0)}

− \frac{f_{1}(μ_{1}ξ_{5} + μ_{2}ξ_{4} + μ_{3}ξ_{3} + μ_{4}ξ_{2}, 0)}{f_{1}(x_{1}, 0)}

⋮

(wegen Hilfssatz 13 ist tatsächlich f_{1}(x_{1}, 0) ≠ 0) und

(ξ_{2}, η_{2}) = Γ̂Q(μ_{1}x_{1}, 0) − Γ̂QM_{2}(x_{1}, y_{1})^{2}
(ξ_{3}, η_{3}) = Γ̂Q(μ_{1}ξ_{2} + μ_{2}x_{1}, 0) − Γ̂QM_{3}(x_{1}, y_{1})^{3}
(ξ_{4}, η_{4}) = Γ̂Q(μ_{1}ξ_{3} + μ_{2}ξ_{2} + μ_{3}x_{1}, 0) − Γ̂Q(M_{4}(x_{1}, y_{1})^{4} + M_{2}(ξ_{2}, η_{2})^{2})
(ξ_{5}, η_{5}) = Γ̂Q(μ_{1}ξ_{4} + μ_{2}ξ_{3} + μ_{3}ξ_{2} + μ_{4}x_{1}, 0) − Γ̂QM_{5}(x_{1}, y_{1})^{5}
(ξ_{6}, η_{6}) = Γ̂Q(μ_{1}ξ_{5} + μ_{2}ξ_{4} + μ_{3}ξ_{3} + μ_{4}ξ_{2} + μ_{5}x_{1}, 0)
− Γ̂Q(M_{6}(x_{1}, y_{1})^{6} + M_{3}(ξ_{2}, η_{2})^{3} + M_{2}(ξ_{3}, η_{3})^{2})
⋮

Ausgehend von (x_{1}, y_{1}) und μ_{1} können nach den obigen Formeln schrittweise alle Koeffizienten (ξ_{k}, η_{k}) ∈ R(Φ_{λ_{0}}) und μ_{k} ∈ ℝ (k ≥ 2) in eindeutiger Weise aus ihren Vorgängern bestimmt werden. Für Koeffizienten höherer Ordnung als oben angegeben geht man sukzessive vor. Eine weitere Vereinfachung der Bestimmungsformeln, etwa rekursiv durch Termersetzungen wie bei den Eigenwertaufgaben (vgl. [3: S. 85 f]) ist hier problematisch. Das liegt vor allem daran, dass über die Lage der hier auftauchenden Vektoren (ξ_{k}, 0) nicht genügend bekannt ist. Wegen Hilfssatz 14 wissen wir lediglich, dass (ξ_{k}, 0) ∉ N (Φ_{λ_{0}}) ist.

Konstruktive Verzweigungstheorie 253

References

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Received 06.04.1999; in revised form 07.10.99