Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  037.31105
Autor:  Erdös, Pál
Title:  Some asymptotic formulas for multiplicative functions. (In English)
Source:  Bull. Am. Math. Soc. 53, 536-544 (1947).
Review:  Es seien fk (n) (k = 1,2,...,v; v \geq 1; n = 1,2,...) nichtnegative multiplikative zahlentheoretische Funktionen, d. h. es sei fk(ab) = fk(a)· fk(b) für (a,b) = 1, und wir nehmen an, daß die Reihen

sump,r {1-fk (pr) \over pr} und sump,r {(1-fk (pr))2 \over pr}

konvergieren (p durchläuft alle Primzahlen, r alle positiven ganzen Zahlen). Folgende Sätze werden bewiesen:
a) Für v \geq 2 existiert der Grenzwert

limn ––> oo {1 \over nv-1} sumn1+n2+···+nv = n f1(n1) f2(n2) ··· fv(nv) = A.    (1)

b) für v \geq 1 existiert der Grenzwert

limn ––> oo 1/n sumk = 1n f1 (k+k1) f2 (k+k2) ··· fv (k+kv) = B,    (2)

wo k1,k2,...,kn beliebige positive ganze Zahlen bedeuten. Wenn in (2) v = 1 und f1 (pr) = f1 (p) für r = 2,3,... ist, so hat man

B = prodp = 2oo (1+{f1 (p)-1 \over p} ).    (3)

Auch im allgemeinen Fall kann man die Konstanten A und B angeben. Obige Sätze verallgemeinern frühere Ergebnisse des Verf. [Bull. Am. Math. Soc. 52, 527-537 (1946; Zbl 061.07901)] und A. Wintners [Am. J. Math. 67, 481-485 (1945; Zbl 060.10509)].
Reviewer:  A.Rényi
Classif.:  * 11N60 Distribution functions (additive and positive multipl. functions)
Index Words:  Number theory

© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

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