Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  065.02706
Autor:  Erdös, Pál
Title:  On amicable numbers. (In English)
Source:  Publ. Math., Debrecen 4, 108-112 (1955).
Review:  Der Verf. beweist den Satz: Die Dichte der befreundeten Zahlen ist Null. Der Beweis stützt sich auf drei Hilfssätze. Der erste ist ein Sonderfall eines Satzes von P. Turán (Zbl 014.00901) und lautet: Es sei {qi} eine Folge von Primzahlen, für die sumi = 1oo {1 \over qi} bestimmt divergiert; es sei vq(n) die Anzahl der verschiedenen qi, durch die die natürliche Zahl n teilbar ist. Schließlich sei A eine beliebig vorgegebene positive Zahl. Dann ist die Dichte der Menge aller n mit vq(n) < A gleich Null.
Der zweite Hilfssatz besagt: A sei eine beliebig vorgegebene natürliche Zahl; p bedeute eine Primzahl; \sigma(n) sei die Summe aller Teiler von n. Die Dichte aller n mit der Eigenschaft \sigma(n) \not\equiv 0 (mod prodp \leq A pA) ist gleich Null. Die Aussage von Hilfssatz 3 können wir so formulieren: Es sei \sigmaA(n) = sum \Sb{d | n}\\ {d \leq A}\endSb n/d . Zu jedem Paar positiver Zahlen \epsilon,\eta gibt es dann eine positive Zahl A0 so, daß für A > A0 die Anzahl der natürlichen Zahlen n \leq x mit \sigma(n)-\sigmaA(n) > \eta n kleiner als \epsilon x ist. Beim Beweis des oben erwähnten Satzes wird noch benutzt, daß die Dichte der Menge aller natürlicher Zahlen n mit \sigma(n)/n \leq c existiert und eine stetige Funktion von c ist.
Reviewer:  H.J.Kanold
Classif.:  * 11A25 Arithmetic functions, etc.
Index Words:  number theory

© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

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