ABSTRACTS

Analyses: Problem solving in mathematics. Part 1
Part 2 

Problem solving in mathematics. Introduction
Erkki Pehkonen, Helsinki (Finland)

The analyses 'problem solving in mathematics' are introduced. Firstly, we give a world-wide survey of the realisation of problem solving in mathematics instruction. There are five contributors to these analyses: John Mason, Nobuhiko Nohda, Alan H. Schoenfeld, Kaye Stacey, and Bernd Zimmermann. It is interesting to note that there are some common features in the papers contributed: When speaking about the teaching of problem solving, they all underline the value of mathematical discussions in the develoment of pupil's mathematical thinking. And instead of teaching heuristics explicitly (as a separate topic), everybody suggests that it should be taught implicitly. I.e. during discussions about methods for solving a certain problem, some heuristics tend to be brought up repeatedly by any group of pupils, and the teacher can then emphasise the use and scope of these specific heuristics.

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Problemlösen in der Mathematik. Einführung. Das Thema 'Problemlösen in der Mathematik' wird eingeführt. Zunächst geben wir einen weltweiten Überblick über die Verwirklichung des Problemlösens im Mathematikunterricht. Zum Thema gibt es fünf Referenten: John Mason, Nobuhiko Nohda, Alan H. Schoenfeld, Kaye Stacey und Bernd Zimmermann. Es ist interessant zu sehen, dass die Beiträge einige Gemeinsamkeiten aufweisen. Wenn sie das Unterrichten des Problemlösens behandeln, betonen alle die Bedeutung der mathematischen Diskussion bei der Entwicklung des mathematischen Denkens von Schülern. Und anstatt des expliziten Unterrichts der Heuristik (als einen separaten Inhalt) schlägt jeder vor, dass sie implizit unterrichtet worden sollte. D.h. während der Diskussionen über das Lösen eines bestimmten Problems scheinen einige Heuristiken von der Seite der Schüler fast regelmäßig aufzutauchen, und der Lehrer kann dann Anwendung und Umfang solch spezifischer Heuristiken betonen.

What's all the fuss about problem solving
Alan H. Schoenfeld, Berkeley, CA (USA)

This article offers an opinionated essay on the nature of problem solving and its uses in the curriculum. To establish a context for discussion, it begins with a brief historical description of curricular trends in the 20th century, leading up to the current emphasis on problem solving. Its main thrust is to illustrate how well chosen problems can be used as catalysts for discussions that lead students to think mathematically. Examples of problems that raise important issues about what it means to think mathematically are given, and a 'problem aesthetic' describing the characteristics of particular useful problems is discussed.

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Was soll der ganze Wirbel um das Problemlösen. Dieser Beitrag versteht sich als ein subjektives Essay über die Natur des Problemlösens sowie über das Problemlösen im Unterricht. Er beginnt mit einer kurzen historischen Übersicht über curriculare Trends im 20 Jahrhundert und leitet dann über zur heutigen Situation, in der Problemlösen eine große Rolle spielt. Vor allem soll aufgezeigt werden, dass geeignet ausgewählte Aufgabe, Diskussionen auslösen können, die die Schüler zu mathematischem Denken veranlassen. Anhand von Beispielaufgaben wird gezeigt, was mathematisches Denken bedeutet, und Merkmale besonders geeigneter Aufgaben werden diskutiert.

Linking application and acquisition of mathematical ideas through problem solving
Kaye Stacey, Parkville (Australia)

There have been substantial advances in teaching using open problem solving in Australia in the last decade, brought about by a desire for improving learning experiences and new curricula and assessment. The term 'problem solving' encompasses both real world applications of mathematics' and pure mathematical investigations. Experience of solving problems is essential, as is active reflection on that experience. Students' ability to solve problems can be improved by the acquisition of good habits of working. The successful implementation of heuristic strategies is difficult to teach, but the development of a classroom vocabulary for discussing process aspects contributes to awareness of mathematical thinking. Two contrasting problem solving programs have both assisted students to consider problems more fully, to be more prepared to explore and understand, and to be less prone to superficially manipulating the numbers in the question.

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Problemlösen als Bindeglied zwischen Anwendung und Erwerb mathematischen Gedankenguts. Der Wunsch nach einer Verbesserung des Lernen, nach neuen Lehrplänen und Bewertungsmethoden hat in den letzten 10 Jahren in Australien zu wesentlichen Fortschritten im Mathematikunterricht im Hinblick auf offenes Problemlösen geführt. Der Begriff 'Problemlösen' umfasst sowohl Anwendungen der Mathematik im täglichen Leben als auch reine mathematische Untersuchungen. Die Erfahrung im Lösen von Problemen ist ebenso wesentlich wie die Reflexion darüber. Die Problemlösefähigkeit der Schüler lässt sich dadurch verbessern, indem sie an geeignete Arbeitsweisen gewöhnt werden. Die erfolgreiche Anwendung heuristischer Strategien ist schwierig zu unterrichten, aber die Entwicklung einer Unterrichtssprache um Aspekte des Problemlöseprozesses zu diskutieren, trägt zur Entwicklung eines Bewusstseins für mathematisches Denken bei. Zwei kontrastierende Programme zum Problemlösen unterstützen die Schüler dabei, Aufgaben sorgfältiger zu betrachten. Bereitschaft zum Erforschen und Verstehen zu entwickeln und die Neigung, oberflächlich mit den Zahlen der Aufgabenstellung zu jonglieren, abzubauen.

Mathematical problem solving: open, closed and exploratory in the UK
John Mason, Milton Keynes (UK)

Changes in the examination system at secondary level in 1988 led to a high profile for assessed exploratory mathematical activity. There have been positive and negative effects. More teachers are varying their teaching style, but many pupils are being taught how to do an investigation, without actually investigating anything. Demand for new investigation questions is high, but often teachers seem to be unclear what it is they are actually looking for. It is suggested that qualities such as interesting or relevant, open or closed, belong not to questions, but arise only in the presence of people. Arising from teachers experience in the U.K., six major issues in engaging pupils in productive mathematical thinking are identified and elaborated: Initiating mathematical thinking; Sustaining mathematical thinking; Reaching conclusions and writing up; Convincing yourself and others; How much help can a teacher give, and how is it best given. How can educationalists help mathematical thinking imbue the whole of mathematics teaching; and not just course work.

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Mathematisches Problemlösen in Großbritannien: offen, geschlossen und erforschend. Die Änderungen im Prüfungssystem der Sekundarstufe von 1988 haben zu einer hohen Profilierung exploratorischer Aktivitäten im Mathematikunterricht geführt. Dies hatte positive und negative Auswirkungen. Mehr Lehrer variieren ihren Unterrichtsstil, aber vielen Schülern wird beigebracht, wie eine Untersuchung zu machen ist, ohne dass sie in Wirklichkeit etwas untersuchen. Die Nachfrage nach neuen Untersuchungsaufgaben ist hoch, aber oft scheint es, dass die Lehrer gar nicht wissen, wonach sie überhaupt suchen. Es wird darauf hingewiesen, dass Merkmale wie interessant oder relevant, offen oder geschlossen nicht zu den Aufgaben selbst gehören, sondern erst durch menschliches Zutun entstehen. Aus der Unterrichtserfahrung von Lehrern in Großbritannien heraus wurden 6 Forderungen bzw. Fragen identifiziert und herausgearbeitet, die die Schüler zu produktivem mathematischem Denken führen sollen: mathematisches Denken initiieren; mathematisches Denken unterstützen; zu Schlussfolgerungen kommen und diese aufschreiben; sich selbst und andere überzeugen; wie viel Hilfe kann der Lehrer leisten und welches ist die beste Art. Wie können Pädagogen dazu beitragen, dass mathematisches Denken den gesamten Mathematikunterricht durchdringt.

    
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